Tweety na temat @MinorMatematyka

Nowość! Snapchat: matematycznyswi

 Snapchat: matematycznyswi

Szukaj na tym blogu lub post nr 1-498

niedziela, 24 lutego 2013

Dzielniki naturalne liczby naturalnej

Dzielniki naturalne liczby naturalnej

Liczbę 1.000.000 rozkładamy na czynniki pierwsze  1.000.000 = 26·26.
Potęgi czynników powiększone o jeden mnożymy przez siebie (6+1)·(6+1)=49 i otrzymaliśmy wynik 49 czyli ilość dzielników naturalnych liczby1.000.000.
Jakie?
Jeśli liczba 26 jest dzielnikiem liczby 1.000.000 to wszystkie liczby 2n mniejsze od 26 też są dzielnikiem liczby 1.000.000, tak samo z drugim czynnikiem. Jeśli liczba 56 jest dzielnikiem liczby 1.000.000 to wszystkie liczby 5n mniejsze od 56 też są dzielnikiem liczby 1.000.000.
Ustawiamy wg zasady czyli stosując kombinacje:
20=1
21=2
teraz tworzymy kombinacje z 5n dla n={1, 2, 3, 4, 5, 6}, zatem otrzymujemy:
21·51=2·5=10
21·52=2·25=50
21·53=2·125=250
21·54=2·*625=1.250
21·55=2·3.125=6.250
21·56=2·15.625=31.250

22=4
teraz tworzymy kombinacje z 5n dla n={1, 2, 3, 4, 5, 6}, zatem otrzymujemy:
22·51=4·5=20
22·52=4·25=100
22·53=4·125=500
22·54=4·625=2.500
22·55=4·3.125=12.500
22·56=4·15.625=62.500

23=8
teraz tworzymy kombinacje z 5n dla n={1, 2, 3, 4, 5, 6}, zatem otrzymujemy:
23·51=8·5=40
23·52=8·25=200
23·53=8·125=1.000
23·54=8·625=5.000
23·55=8·3.125=25.000
23·56=8·15.625=125.000


24=16
teraz tworzymy kombinacje z 5n dla n={1, 2, 3, 4, 5, 6}, zatem otrzymujemy:
24·51=16·5=80
24·52=16·25=400
24·53=16·125=2.000
24·54=16·625=10.000
24·55=16·3.125=50.000
24·56=16·15.625=250.000


25=32
teraz tworzymy kombinacje z 5n dla n={1, 2, 3, 4, 5, 6}, zatem otrzymujemy:
25·51=32·5=160
25·52=32·25=800
25·53=32·125=4.000
25·54=32·625=20.000
25·55=32·3.125=100.000
25·56=32·15.625=500.000



26=32
teraz tworzymy kombinacje z 5n dla n={1, 2, 3, 4, 5, 6}, zatem otrzymujemy:
26·51=64·5=320
26·52=64·25=1.600
26·53=64·125=8.000
26·53=64·625=40.000
26·55=64·3.125=200.000
26·56=64·15.625=1.000.000

 Postać uporządkowana dzielników:
D1000000 = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50, 64, 80, 100, 125, 160, 200, 250, 320, 400, 500, 625, 800, 1000, 1250, 1600, 2000, 2500, 3125, 4000, 5000, 6250, 8000, 10000, 12500, 15625, 20000, 25000, 31250, 40000, 50000, 62500, 100000, 125000, 200000, 250000, 500000, 1000000}



Teraz wszystkie dzielniki tej liczby porządkujemy symetrycznie względem środkowego dzielnika, szukamy go wg algorytmu (d1+d49):2 =M (mediana dzielników), i zapisujemy w postaci iloczynu (d1·d49)(d2·d48)· ... · (d24·d26)·M
M=d25
 
(1·1.000.000)(2·500.000)(4·250.000)(5·200.000) (8·125.000)(10·100.000)(16·62.500)(20·50.000)(25·40.000)(32·32.250)(40·25.000)(50·20.000)(64·15.625)(80·12.500)(100·10.000)(125·8.000)(160·6.250)(200·5.000)(250·4.000)(320·3.125)(400·2.500)(500·2.000)(625·1.600)(800·1.250)·1.000
Iloczyn tak zapisanych dzielników równy jest danej liczbie 1.000.000

Ile wynosi iloczyn danych dzielników liczby 1.000.000?
Mamy 24 pary liczb, których iloczyn jest równy 1.000.000 oraz środkowy dzielnik, który nie ma pary i nazwaliśmy go jako M=d25=1.000, zatem ile wynosi iloczyn wszystkich dzielników tej liczby? 

Wiemy, że iloczyn wszystkich dzielników liczby możemy zapisać za pomocą czynników (1.000.000^24)·1.000.
Czyli [(106)^24](103)=10^(6·24+3)=10147

Jeżeli liczba naturalna ma nieparzystą ilość dzielników to iloczyn wszystkich dzielników możemy obliczyć z własności wykazanej powyżej tj. (N^p)*M, gdzie N to dana liczba naturalna, p ilość par dzielników liczby N takich, że iloczyn równy jest N, oraz M to mediana tych dzielników.

Post nr 61

Czytelniku, miło kiedy komentujesz posty. Chętnie zapoznam się także z innym Twoim punktem widzenia w podanym rozwiązaniu zadania. Jednak, aby ten blog stanowił dla Czytelników pewną wartość, nie mogę pozwolić, żeby każdy mógł tu pisać co tylko chce.

Blog wymaga wiele czasu pracy i jako jego autor chcę się na nim dobrze czuć. Korzystanie z bloga oznacza akceptację Regulaminu.

$1

Sprawy organizacyjne

1. Jeżeli uważasz, że w jakimś temacie czujesz się bardziej kompetentny, to napisz jak to wygląda z Twojego punktu widzenia.

2. Myśl zanim coś napiszesz – zanim zechcesz skrytykować moje sposoby rozwiązania zadań zastanów się jak możesz z tego skorzystać. Jeszcze raz – nie twierdzę, że wszystko co napiszę będzie dla Ciebie pomocne. Niemniej niektóre wskazówki po Twojej modyfikacji mogą dobrze Ci służyć. Myśl samodzielnie.

3. Ten blog to miejsce, w którym publikuję wskazówki, które mogą pomóc Czytelnikom zrozumieć i nauczyć się rozwiązywać zadania matematyczne.

4. Dozwolone jest kopiowanie zdjęć z bloga na portale społecznościowe lub inne blogi z bezwzględnym podaniem aktywnego linka do bloga. Niedozwolone jest kopiowanie zdjęć i treści bez podania aktywnego linka.

5. Pamiętaj, żeby w ramach kopiowania zdjęć z bloga korzystać z przycisków udostępniania dostępnych w postach na blogu.

6. Zdjęcia w postach na blogu są mojego autorstwa i własnością intelektualną, a zdjęcia kopiowane na mój blog są zawsze z podaniem źródła.

7. Blog posiada jednego autora. Autorem bloga jest Robert Karolewski.

8. Zabrania się, przerabiania, przystosowywania, usuwania logotypu lub dokonywania jakichkolwiek innych zmian w zdjęciach na potrzeby własnej publikacji i przypisywanie im autorstwa. Dopuszczalne jest na własne potrzeby bez ich publikacji.

9. Wszystkie zdjęcia na blogu mojego autorstwa zawierają logotyp Minor Matematyczny Świat.
10. Przykłady w zadaniach prezentowane na blogu są przygotowane przeze mnie i moją własnością intelektualną. Na blogu również dostępne są przykładowe zadania z jakimi można spotkać się na różnym poziomie nauczania.
11. Rozwiązania wszystkich zadań z arkuszy maturalnych posiadają logotyp wobec tego, że są to moje przykładowe odpowiedzi.

12. Niniejszy regulamin obowiązuje również na wszystkich moich portalach społecznościowych.

13. Korzystanie z bloga w całości jest nieodpłatne i dostępne dla wszystkich Czytelników.


$2

Komentarze

14. Wszystkie komentarze na blogu są publikowane automatycznie i moderowane przez autora bloga.

a) Jeśli komentarze są obraźliwe zarówno w stosunku do mnie jak i do innych Czytelników, to zostaną usunięte lub ukryte.

b) Jeśli komentarze są niezwiązane z tematem wpisu, to zostaną usunięte lub ukryte.

c). Jeśli komentarze są spamem. Za spam uznaję linki do innych stron, podpisywanie się adresem www, dodawanie adresu strony pod komentarzem, reklama, to zostaną usunięte lub ukryte.


Osoby, które nie będą stosowały się do powyższych zasad $2 mają gwarancję, że ich komentarz pojawi się chwilę na blogu. W skrajnych przypadkach Twoje konto zostanie zablokowane.