Tweety na temat @MinorMatematyka

Nowość! Snapchat: matematycznyswi

 Snapchat: matematycznyswi

Szukaj na tym blogu lub post nr 1-498

środa, 27 lutego 2013

Jaka to liczba?

Jaka to liczba, że pomniejszona o ...?


 Znaleźć najmniejszą liczbę naturalną spełniającą warunki:
- pomniejszona o 2013 jest podzielna przez 2013
- pomniejszona o 2014 jest podzielna przez 2014
- pomniejszona o 2015 jest podzielna przez 2015
- pomniejszona o 2016 jest podzielna przez 2016
a następnie wykazać, że liczba ta jest podzielna przez {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16}.
Ile dzielników naturalnych ma dana liczba?
Wykazać, że liczba dzielników naturalnych tej liczby jest podzielna odpowiednio przez naturalne potęgi liczby 2 mniejsze lub równe
210

tj. {20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 210}.
x- najmniejsza szukana liczba naturalna spełniająca warunek:
[(x-2013):2013][(x-2014):2014][(x-2015):2015][(x-2016):2016]
Otrzymujemy
(x-2013)(x-2014)(x-2015)(x-2016)
2013 = 3 · 11 · 61
2014 = 2 · 19 · 53
2015 = 5 · 13 · 31
2016 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7
Szukana liczba to:  2013 · 2014 · 2015 · 2016 = 16.469.060.287.680
Sprawdzenie:
16.469.060.287.680 – 2013 =  16.469.060.285.667
16.469.060.285.667 : 2013 =          8.181.351.359

16.469.060.287.680 – 2014 =  16.469.060.285.666
16.469.060.285.666 : 2014 =          8.177.289.119

16.469.060.287.680 – 2015 =  16.469.060.285.665
16.469.060.285.665 : 2015 =          8.173.230.911

16.469.060.287.680 – 2016 =  16.469.060.285.664
16.469.060.285.664 : 2016 =          8.169.176.729

Liczbę 16.469.060.287.680 = 2013 · 2014 · 2015 · 2016 w rozkładzie na czynniki pierwsze zapiszemy jako:
16.469.060.287.680 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2· 3 · 3 · 3 · 5 · 7· 11 · 13 · 19 · 31 · 53 · 61,
16.469.060.287.680 = 26 ·33 · 51 · 71· 111 · 131 · 191 · 311 · 531 · 611


Wykazać, że liczba jest podzielna odpowiednio przez:
{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16}
Zatem liczba jest podzielna przez te wszystkie podane liczby wtedy i tylko wtedy gdy te liczby są jej dzielnikami, możemy z podanych czynników zapisać jej wskazane dzielniki:
16.469.060.287.680 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2· 3 · 3 · 3 · 5 · 7· 11 · 13 · 19 · 31 · 53 · 61,
2 = 2
3 = 3
4 = 2 · 2
5 = 5
6 = 2 · 3
7 = 7
8 = 2 · 2 · 2
9 = 3 · 3
10 = 2 · 5
11 = 11
12 = 2 · 2 · 3
13 = 13
14 = 2 · 7
15 = 3 · 5
16 = 2 · 2 · 2 · 2
Ile dzielników ma dana liczba?
16.469.060.287.680 = 26 ·33 · 51 · 71· 111 · 131 · 191 · 311 · 531 · 611
Ile = (6+1)(3+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)
Ile = 7 · 4  · 2  · 2  · 2  · 2  · 2  · 2  · 2 · 2
Ile = 71 ·22  · 2  · 2  · 2  · 2  · 2  · 2  · 2 · 2
Ile = 71 ·210 

Wykazać, że liczba jej dzielników naturalnych jest podzielna odpowiednio przez naturalne potęgi liczby 2 mniejsze lub równe 210.
Jeśli liczba 71 ·210  jest podzielna przez 210  to jest podzielnia również przez wszystkie naturalne potęgi liczby 2 mniejsze lub równe 210. Zatem liczba dzielników naturalnych tej liczby jest podzielna odpowiednio przez {20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 210}.
 

Odpowiedź: Najmniejsza liczba naturalna spełniająca powyższe warunki to 16.469.060.287.680

Post nr 65

Czytelniku, miło kiedy komentujesz posty. Chętnie zapoznam się także z innym Twoim punktem widzenia w podanym rozwiązaniu zadania. Jednak, aby ten blog stanowił dla Czytelników pewną wartość, nie mogę pozwolić, żeby każdy mógł tu pisać co tylko chce.

Blog wymaga wiele czasu pracy i jako jego autor chcę się na nim dobrze czuć. Korzystanie z bloga oznacza akceptację Regulaminu.

$1

Sprawy organizacyjne

1. Jeżeli uważasz, że w jakimś temacie czujesz się bardziej kompetentny, to napisz jak to wygląda z Twojego punktu widzenia.

2. Myśl zanim coś napiszesz – zanim zechcesz skrytykować moje sposoby rozwiązania zadań zastanów się jak możesz z tego skorzystać. Jeszcze raz – nie twierdzę, że wszystko co napiszę będzie dla Ciebie pomocne. Niemniej niektóre wskazówki po Twojej modyfikacji mogą dobrze Ci służyć. Myśl samodzielnie.

3. Ten blog to miejsce, w którym publikuję wskazówki, które mogą pomóc Czytelnikom zrozumieć i nauczyć się rozwiązywać zadania matematyczne.

4. Dozwolone jest kopiowanie zdjęć z bloga na portale społecznościowe lub inne blogi z bezwzględnym podaniem aktywnego linka do bloga. Niedozwolone jest kopiowanie zdjęć i treści bez podania aktywnego linka.

5. Pamiętaj, żeby w ramach kopiowania zdjęć z bloga korzystać z przycisków udostępniania dostępnych w postach na blogu.

6. Zdjęcia w postach na blogu są mojego autorstwa i własnością intelektualną, a zdjęcia kopiowane na mój blog są zawsze z podaniem źródła.

7. Blog posiada jednego autora. Autorem bloga jest Robert Karolewski.

8. Zabrania się, przerabiania, przystosowywania, usuwania logotypu lub dokonywania jakichkolwiek innych zmian w zdjęciach na potrzeby własnej publikacji i przypisywanie im autorstwa. Dopuszczalne jest na własne potrzeby bez ich publikacji.

9. Wszystkie zdjęcia na blogu mojego autorstwa zawierają logotyp Minor Matematyczny Świat.
10. Przykłady w zadaniach prezentowane na blogu są przygotowane przeze mnie i moją własnością intelektualną. Na blogu również dostępne są przykładowe zadania z jakimi można spotkać się na różnym poziomie nauczania.
11. Rozwiązania wszystkich zadań z arkuszy maturalnych posiadają logotyp wobec tego, że są to moje przykładowe odpowiedzi.

12. Niniejszy regulamin obowiązuje również na wszystkich moich portalach społecznościowych.

13. Korzystanie z bloga w całości jest nieodpłatne i dostępne dla wszystkich Czytelników.


$2

Komentarze

14. Wszystkie komentarze na blogu są publikowane automatycznie i moderowane przez autora bloga.

a) Jeśli komentarze są obraźliwe zarówno w stosunku do mnie jak i do innych Czytelników, to zostaną usunięte lub ukryte.

b) Jeśli komentarze są niezwiązane z tematem wpisu, to zostaną usunięte lub ukryte.

c). Jeśli komentarze są spamem. Za spam uznaję linki do innych stron, podpisywanie się adresem www, dodawanie adresu strony pod komentarzem, reklama, to zostaną usunięte lub ukryte.


Osoby, które nie będą stosowały się do powyższych zasad $2 mają gwarancję, że ich komentarz pojawi się chwilę na blogu. W skrajnych przypadkach Twoje konto zostanie zablokowane.