Tweety na temat @MinorMatematyka

Pomoce dla klasy

Szukaj na tym blogu lub wpisz post nr 1-535

Kwadrat wpisany w kwadrat

Kwadraty wpisany ciągiem w kwadrat


W kwadrat 1 x 1 łącząc kolejno środki boków tego kwadratu wpisano kwadrat. Następnie w otrzymany kwadrat n1 x n1 łącząc kolejno środki boków tego kwadratu wpisano kwadrat. Czynność powtarzano wiele razy. Ile wynosi pole kwadratu n2013 x n2013 jeśli czynność powtórzymy 2013 razy?

Obliczamy długości odpowiednich boków kwadratów wpisanych b1, b2, b3, … korzystając z własności ciągu geometrycznego:
b0=20
b1=2-1/2
b2=2-1
b3=2-3/2
b4=2-2
b5=2-5/2
b6=2-3
b7=2-7/2
b8=2-4
b9=2-9/2
b10=2-5

Wzór na wyraz ogólny ciągu  an=2-n/2
zatem boki odpowiednich kwadratów wpisanych mają odpowiednio długości:
20, 2-1/2, 2-1, 2-3/2, 2-2, 2-5/2, 2-3, 2-7/2, 2-4, 2-9/2, 2-5, …
b0, b1, b2, b3, b4, b5, b6, b7, b8, b9, b10, b11
zatem b2013=2-2013/2
P2013=(2-2013/2)2
P2013=2-2013
P2013=1/22013

lub
Obliczamy długości odpowiednich boków kwadratów wpisanych b1, b2, b3, … korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:

Zatem wszystkie nieparzyste wyrazy w liczniku ułamka mają wartość 20,5, w mianowniku ułamka kolejne mianowniki to naturalne potęgi liczby 2 zapisane dwukrotnie 21, 21, 22, 22, 23, 23, …
Nasza długość szukanego boku to 2013 wyraz tego ciągu, który możemy zapisać:

 b2013=20,5 : 21007 , 1007 bo 2013:2=1006,5, czyli przed 2013 wyrazem mamy 1006 par z odpowiednimi mianownikami 21, 21, 22, 22, 23, 23, …, zatem mianownik wyrazu 2013 należy do 1007 pary a liczba 1007 jest jednocześnie wykładnikiem tej potęgi.

Zatem pole naszego 2013 kwadratu wynosi
  P2013=(20,5 : 21007)2

 
Własności kwadratu wpisanego w kwadrat:
Jeśli w kwadrat wpiszemy kwadrat łącząc kolejno środki boków tego kwadratu to obwód wpisanego kwadratu jest równy sumie długości przekątnych tego kwadratu
L2=d2+d2


Jaką własność mają długości promieni kół wpisanych r i opisanych R na odpowiednich kwadratach? 
 b0, b1, b2, b3, b4, b5, b6, b7, b8, b9, b10, b11


R0=b1, r0=b2

R1=b2, r1=b3

R2=b3, r2=b4

R3=b4, r3=b5

R4=b5. r4=b6

R5=b6, r5=b7

Post nr 67

Brak komentarzy:

Prześlij komentarz

WESPRZYJ BLOGA ZRZUTKĄ


Czytelniku, komentując nie każdy będzie mógł tu pisać co chce. 
Korzystanie z bloga oznacza akceptację Regulaminu.
Regulamin bloga
1. Myśl zanim coś napiszesz – zanim zechcesz skrytykować podane sposoby rozwiązania zadań zastanów się jak możesz z tego skorzystać. Niemniej niektóre wskazówki po Twojej modyfikacji mogą dobrze Ci służyć. Myśl samodzielnie.
2. Wskazówki mogą pomóc Ci zrozumieć matematykę.
3. Kopiując posty z bloga skorzystaj z przycisków udostępniania.
4. Wszystkie komentarze na blogu są moderowane przez autora bloga.
5. Korzystanie z bloga w całości jest nieodpłatne.