Tweety na temat @MinorMatematyka

Nowość! Snapchat: matematycznyswi

 Snapchat: matematycznyswi

Szukaj na tym blogu lub post nr 1-498

sobota, 2 marca 2013

Kwadrat wpisany w kwadrat

Kwadraty wpisany ciągiem w kwadrat


W kwadrat 1 x 1 łącząc kolejno środki boków tego kwadratu wpisano kwadrat. Następnie w otrzymany kwadrat n1 x n1 łącząc kolejno środki boków tego kwadratu wpisano kwadrat. Czynność powtarzano wiele razy. Ile wynosi pole kwadratu n2013 x n2013 jeśli czynność powtórzymy 2013 razy?

Obliczamy długości odpowiednich boków kwadratów wpisanych b1, b2, b3, … korzystając z własności ciągu geometrycznego:
b0=20
b1=2-1/2
b2=2-1
b3=2-3/2
b4=2-2
b5=2-5/2
b6=2-3
b7=2-7/2
b8=2-4
b9=2-9/2
b10=2-5

Wzór na wyraz ogólny ciągu  an=2-n/2
zatem boki odpowiednich kwadratów wpisanych mają odpowiednio długości:
20, 2-1/2, 2-1, 2-3/2, 2-2, 2-5/2, 2-3, 2-7/2, 2-4, 2-9/2, 2-5, …
b0, b1, b2, b3, b4, b5, b6, b7, b8, b9, b10, b11
zatem b2013=2-2013/2
P2013=(2-2013/2)2
P2013=2-2013
P2013=1/22013

lub
Obliczamy długości odpowiednich boków kwadratów wpisanych b1, b2, b3, … korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:

Zatem wszystkie nieparzyste wyrazy w liczniku ułamka mają wartość 20,5, w mianowniku ułamka kolejne mianowniki to naturalne potęgi liczby 2 zapisane dwukrotnie 21, 21, 22, 22, 23, 23, …
Nasza długość szukanego boku to 2013 wyraz tego ciągu, który możemy zapisać:

 b2013=20,5 : 21007 , 1007 bo 2013:2=1006,5, czyli przed 2013 wyrazem mamy 1006 par z odpowiednimi mianownikami 21, 21, 22, 22, 23, 23, …, zatem mianownik wyrazu 2013 należy do 1007 pary a liczba 1007 jest jednocześnie wykładnikiem tej potęgi.

Zatem pole naszego 2013 kwadratu wynosi
  P2013=(20,5 : 21007)2

 
Własności kwadratu wpisanego w kwadrat:
Jeśli w kwadrat wpiszemy kwadrat łącząc kolejno środki boków tego kwadratu to obwód wpisanego kwadratu jest równy sumie długości przekątnych tego kwadratu
L2=d2+d2


Jaką własność mają długości promieni kół wpisanych r i opisanych R na odpowiednich kwadratach? 
 b0, b1, b2, b3, b4, b5, b6, b7, b8, b9, b10, b11


R0=b1, r0=b2

R1=b2, r1=b3

R2=b3, r2=b4

R3=b4, r3=b5

R4=b5. r4=b6

R5=b6, r5=b7

Post nr 67

Czytelniku, miło kiedy komentujesz posty. Chętnie zapoznam się także z innym Twoim punktem widzenia w podanym rozwiązaniu zadania. Jednak, aby ten blog stanowił dla Czytelników pewną wartość, nie mogę pozwolić, żeby każdy mógł tu pisać co tylko chce.

Blog wymaga wiele czasu pracy i jako jego autor chcę się na nim dobrze czuć. Korzystanie z bloga oznacza akceptację Regulaminu.

$1

Sprawy organizacyjne

1. Jeżeli uważasz, że w jakimś temacie czujesz się bardziej kompetentny, to napisz jak to wygląda z Twojego punktu widzenia.

2. Myśl zanim coś napiszesz – zanim zechcesz skrytykować moje sposoby rozwiązania zadań zastanów się jak możesz z tego skorzystać. Jeszcze raz – nie twierdzę, że wszystko co napiszę będzie dla Ciebie pomocne. Niemniej niektóre wskazówki po Twojej modyfikacji mogą dobrze Ci służyć. Myśl samodzielnie.

3. Ten blog to miejsce, w którym publikuję wskazówki, które mogą pomóc Czytelnikom zrozumieć i nauczyć się rozwiązywać zadania matematyczne.

4. Dozwolone jest kopiowanie zdjęć z bloga na portale społecznościowe lub inne blogi z bezwzględnym podaniem aktywnego linka do bloga. Niedozwolone jest kopiowanie zdjęć i treści bez podania aktywnego linka.

5. Pamiętaj, żeby w ramach kopiowania zdjęć z bloga korzystać z przycisków udostępniania dostępnych w postach na blogu.

6. Zdjęcia w postach na blogu są mojego autorstwa i własnością intelektualną, a zdjęcia kopiowane na mój blog są zawsze z podaniem źródła.

7. Blog posiada jednego autora. Autorem bloga jest Robert Karolewski.

8. Zabrania się, przerabiania, przystosowywania, usuwania logotypu lub dokonywania jakichkolwiek innych zmian w zdjęciach na potrzeby własnej publikacji i przypisywanie im autorstwa. Dopuszczalne jest na własne potrzeby bez ich publikacji.

9. Wszystkie zdjęcia na blogu mojego autorstwa zawierają logotyp Minor Matematyczny Świat.
10. Przykłady w zadaniach prezentowane na blogu są przygotowane przeze mnie i moją własnością intelektualną. Na blogu również dostępne są przykładowe zadania z jakimi można spotkać się na różnym poziomie nauczania.
11. Rozwiązania wszystkich zadań z arkuszy maturalnych posiadają logotyp wobec tego, że są to moje przykładowe odpowiedzi.

12. Niniejszy regulamin obowiązuje również na wszystkich moich portalach społecznościowych.

13. Korzystanie z bloga w całości jest nieodpłatne i dostępne dla wszystkich Czytelników.


$2

Komentarze

14. Wszystkie komentarze na blogu są publikowane automatycznie i moderowane przez autora bloga.

a) Jeśli komentarze są obraźliwe zarówno w stosunku do mnie jak i do innych Czytelników, to zostaną usunięte lub ukryte.

b) Jeśli komentarze są niezwiązane z tematem wpisu, to zostaną usunięte lub ukryte.

c). Jeśli komentarze są spamem. Za spam uznaję linki do innych stron, podpisywanie się adresem www, dodawanie adresu strony pod komentarzem, reklama, to zostaną usunięte lub ukryte.


Osoby, które nie będą stosowały się do powyższych zasad $2 mają gwarancję, że ich komentarz pojawi się chwilę na blogu. W skrajnych przypadkach Twoje konto zostanie zablokowane.