Suma oczek kostek w sześcianie 6 x 6 x 6

Dane są 3 symetryczne sześcienne kostki do gry. Ustawiamy je najpierw pionowo 1 x 1 x 3 a następnie na górę dokładamy jeszcze raz takie ustawienie kostek 1 x 1 x 3, żeby razem utworzyły ustawienie 1 x 1 x 6. Następnie tak ustawione kostki 1 x 1 x 6 ustawiamy kolejno bez możliwości odwracania jedno ustawienie po drugim w sześcian 6 x 6 x 6. Ile wynosi suma wszystkich oczek  na ścianach  tego sześcianu 6 x 6 x 6? 

Rozwiązanie:

Wiemy, że suma oczek na przeciwległych bokach symetrycznej sześciennej kostce do gry zawsze wynosi odpowiednio 7:

1+6=7
2+5=7
3+4=7
4+3=7
5+2=7
6+1=7

Zatem jeśli ustawimy sześcienne symetryczne kostki w układzie 1 x 1 x 6 a następnie w sześcian 6 x 6 x 6  bez możliwości ich odwracania przy odpowiednim ustawieniu to otrzymamy na przeciwległych ścianach sześcianu 6 x 6 kostek, których suma ścian przeciwległych na jednej kostce zawsze wynosi 7, z tego wynika, że suma 36 kostek na przeciwległych ścianach wynosi:

 36 x 7 = 252

Sześcian ma 3 ściany które są względem siebie równe, równoległe i przeciwległe zatem suma wszystkich kostek ułożonych w sześcian 6 x 6 x 6 wynosi odpowiednio 3 x 252 = 756.

Równanie
6 x 6 x 3 x 7 = 756.

 Ile wynosi suma oczek jeśli ustawimy jeden na drugim 1 x 1 x n sześcianów, które składają się z 6 x 6 x 6 symetrycznych sześciennych kostek do gry?  

Mamy 2 pary ścian o wymiarach 6 x 6n i 1 parę ścian o wymiarach 6 x 6, zatem sumę wszystkich oczek można obliczyć 2 x 6 x 6n x 7 + 1 x 6 x 6 x 7, gdzie n to liczba naszych sześcianów.

Post nr 68