Tweety na temat @MinorMatematyka

Nowość! Snapchat: matematycznyswi

 Snapchat: matematycznyswi

Szukaj na tym blogu lub wpisz post nr 1-502

środa, 10 kwietnia 2013

Zero do potęgi zerowej

Zero do potęgi zerowej


Ile wynosi 00?
Jak przebiega wykres funkcji f(x)=xx?


Zero do potęgi zerowej nie jest jednoznaczny i jest jednym z siedmiu symboli nieoznaczonych, ponieważ przyjmuje dwie wartości 0 lub 1.


W większości przypadków, które nie wykorzystują ciągłości (na przykład, ograniczając się wyłącznie do wykładników całkowitych) interpretowanie 0^0 jako 1 upraszcza wzory i eliminuje konieczność rozważania przypadków szczególnych w twierdzeniach (por. przypadki niżej, które wykorzystują ciągłość). Na przykład:

Z drugiej strony 0^0 musi być uważane za wyrażenie nieoznaczone w kontekstach, gdzie wykładnik zmienia się w sposób ciągły:

  • jeżeli f(t) i g(t) są funkcjami o wartościach rzeczywistych zbiegającymi do 0 (gdy t zbiega do liczby rzeczywistej bądź \pm\infty), gdzie f(t) > 0, to funkcja f(t)^{g(t)} nie musi zbiegać do 1. Rzeczywiście, w zależności od f i g granica f(t)^{g(t)} może być dowolną nieujemną liczbą rzeczywistą bądź +\infty albo może być nieokreślona. Granice zawierające operacje algebraiczne mogą być często wyznaczone przez zamianę podwyrażeń ich granicami; jeśli wyrażenie wynikowe nie określa oryginalnej granicy, to wyrażenie nazywa się nieoznaczonym (ma postać nieoznaczoną)[9]

Przykładowo funkcje niżej są postaci f(t)^{g(t)}, gdzie f(t), g(t) \to 0 dla t \to 0^+ (zob. granica jednostronna), ale ich granice nie są równe:
\lim_{t \to 0^+} t^t = 1, \quad \lim_{t \to 0^+} (e^{-1/t^2})^t = 0, \quad \lim_{t \to 0^+} (e^{-1/t^2})^{-t} = +\infty, \quad \lim_{t \to 0^+} (e^{-1/t})^{at} = e^{-a}.
Tak więc 0^0 jest wyrażeniem nieoznaczonym. Takie zachowanie pokazuje, że funkcja x^y dwóch zmiennych choć jest ciągłą na zbiorze \{(x, y)\colon x > 0\}, nie może być rozszerzona do funkcji ciągłej na dowolnym zbiorze zawierającym (0, 0), nie ważne jak zdefiniuje się 0^0[10].

  • Funkcja z^z jest określona dla niezerowych liczb zespolonych z przez wybranie gałęzi \log z i przyjęcie z^z := e^{z \log z}, ponieważ nie ma gałęzi \log z zdefiniowanej w z = 0, tylko w otoczeniu zera[11]. Nie istnieje funkcja holomorficzna określona w otoczeniu zera, która byłaby zgodna z z^z dla wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych z
Źródło
Post nr 106   

Czytelniku, miło kiedy komentujesz posty. Chętnie zapoznam się także z innym Twoim punktem widzenia w podanym rozwiązaniu zadania. Jednak, aby ten blog stanowił dla Czytelników pewną wartość, nie mogę pozwolić, żeby każdy mógł tu pisać co tylko chce.

Blog wymaga wiele czasu pracy i jako jego autor chcę się na nim dobrze czuć. Korzystanie z bloga oznacza akceptację Regulaminu.

$1

Sprawy organizacyjne

1. Jeżeli uważasz, że w jakimś temacie czujesz się bardziej kompetentny, to napisz jak to wygląda z Twojego punktu widzenia.

2. Myśl zanim coś napiszesz – zanim zechcesz skrytykować moje sposoby rozwiązania zadań zastanów się jak możesz z tego skorzystać. Jeszcze raz – nie twierdzę, że wszystko co napiszę będzie dla Ciebie pomocne. Niemniej niektóre wskazówki po Twojej modyfikacji mogą dobrze Ci służyć. Myśl samodzielnie.

3. Ten blog to miejsce, w którym publikuję wskazówki, które mogą pomóc Czytelnikom zrozumieć i nauczyć się rozwiązywać zadania matematyczne.

4. Dozwolone jest kopiowanie zdjęć z bloga na portale społecznościowe lub inne blogi z bezwzględnym podaniem aktywnego linka do bloga. Niedozwolone jest kopiowanie zdjęć i treści bez podania aktywnego linka.

5. Pamiętaj, żeby w ramach kopiowania zdjęć z bloga korzystać z przycisków udostępniania dostępnych w postach na blogu.

6. Zdjęcia w postach na blogu są mojego autorstwa i własnością intelektualną, a zdjęcia kopiowane na mój blog są zawsze z podaniem źródła.

7. Blog posiada jednego autora. Autorem bloga jest Robert Karolewski.

8. Zabrania się, przerabiania, przystosowywania, usuwania logotypu lub dokonywania jakichkolwiek innych zmian w zdjęciach na potrzeby własnej publikacji i przypisywanie im autorstwa. Dopuszczalne jest na własne potrzeby bez ich publikacji.

9. Wszystkie zdjęcia na blogu mojego autorstwa zawierają logotyp Minor Matematyczny Świat.
10. Przykłady w zadaniach prezentowane na blogu są przygotowane przeze mnie i moją własnością intelektualną. Na blogu również dostępne są przykładowe zadania z jakimi można spotkać się na różnym poziomie nauczania.
11. Rozwiązania wszystkich zadań z arkuszy maturalnych posiadają logotyp wobec tego, że są to moje przykładowe odpowiedzi.

12. Niniejszy regulamin obowiązuje również na wszystkich moich portalach społecznościowych.

13. Korzystanie z bloga w całości jest nieodpłatne i dostępne dla wszystkich Czytelników.


$2

Komentarze

14. Wszystkie komentarze na blogu są publikowane automatycznie i moderowane przez autora bloga.

a) Jeśli komentarze są obraźliwe zarówno w stosunku do mnie jak i do innych Czytelników, to zostaną usunięte lub ukryte.

b) Jeśli komentarze są niezwiązane z tematem wpisu, to zostaną usunięte lub ukryte.

c). Jeśli komentarze są spamem. Za spam uznaję linki do innych stron, podpisywanie się adresem www, dodawanie adresu strony pod komentarzem, reklama, to zostaną usunięte lub ukryte.


Osoby, które nie będą stosowały się do powyższych zasad $2 mają gwarancję, że ich komentarz pojawi się chwilę na blogu. W skrajnych przypadkach Twoje konto zostanie zablokowane.