Ułamki łańcuchowe

Ułamki łańcuchowe z ciągiem Fibonacciego

 

Dane są początkowe, kolejne wyrazy ciągu liczbowego, które zapisano za pomocą ułamków łańcuchowych. Oblicz siódmy wyraz ciągu. 

Rozwiązanie:

 

Ciąg Fibonacciego to:

f_1, f_2, f_3, f_4, f_5, f_6, f_7, f_8, f_9, f_10, f_11, f_12,

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

f₁=1

f₂=1

f₃=2

f₄=3

f₅=5

…

 

zatem liczniki i mianowniki podanych ułamków to kolejne wyrazy ciągu Fibonacciego.

Kolejne, początkowe wyrazy ciągu możemy zapisać:

a₁=1+1

a₂=1+1/2

a₃=1+2/3

a₄=1+3/5

a₅=1+5/8

…

oraz oznaczając wyrazy ciągu (a_n)  kolejnymi wyrazami ciągu Fibonacciego (f_n)

a₁=f₁+f₂

a₂=1+f₂/f₃

a₃=1+f₃/f₄

a₄=1+f₄/f₅

a₅=1+f₅/f₆

…

a_n+1=1+f_n+1/f_n+2

Wartości kolejnych wyrazów ciągu zapisanych za pomocą ułamków łańcuchowych można zapisać rekurencyjnie:

a₁=f₁+f₂

a_n+1=1+f_n+1/f_n+2

lub

Kolejne, początkowe wyrazy ciągu możemy zapisać:

a₁=1+1=2

a₂=1+1/2=3/2

a₃=1+2/3=5/3

a₄=1+3/5=8/5

a₅=1+5/8=13/8

…

oraz oznaczając wyrazy ciągu (a_n)  kolejnymi wyrazami ciągu Fibonacciego (f_n)

a₁=f₃/f₂

a₂=f₄/f₃

a₃=f₅/f₄

a₄=f₆/f₅

a₅=f₇/f₆

…

a_n=f_n+2/f_n+1

Wartości kolejnych wyrazów ciągu zapisanych za pomocą ułamków łańcuchowych można zapisać rekurencyjnie:

a_n=f_n+2/f_n+1

Post nr 154