Tweety na temat @MinorMatematyka

Nowość! Snapchat: matematycznyswi

 Snapchat: matematycznyswi

Szukaj na tym blogu lub wpisz post nr 1-502

czwartek, 4 lipca 2013

Liczby Kaprekara

Liczby Kaprekara i stała Kaprekara dla liczb trzycyfrowych 495 i czterocyforwych 6.174

Liczby Kaprekara i stała Kaprekara dla liczb trzycyfrowych 495 i czterocyforwych 6.174




Liczby Kaprekara - liczby naturalne dodatnie, które można zapisać:

X² = Abn + B, gdzie 0 < B < bn
X
= A + B
X
² = AN + B, gdzie 0 < B < N
X
= A + B
Liczby Kaprekara i stała Kaprekara dla liczb trzycyfrowych 495 i czterocyforwych 6.174
Liczby Kaprekara i stała Kaprekara dla liczb trzycyfrowych 495 i czterocyforwych 6.174
Liczby Kaprekara i stała Kaprekara dla liczb trzycyfrowych 495 i czterocyforwych 6.174



Liczby, których cyfry składają się z samych 9 należą do liczb Kaprekara:
92=81=(8+1)2
992=9801=(98+01)2
9992=998001=(998+001)2
99992=99980001=(9998+0001)2
999992=9999800001=(99998+00001)2
9999992=999998000001=(999998+000001)2
99999992=99999980000001=(9999998+0000001)2
999999992=9999999800000001=(99999998+00000001)2
9999999992=999999998000000001=(999999998+000000001)2
99999999992=99999999980000000001=(9999999998+0000000001)2
  
Liczby trójkątne, które należą do liczb Kaprekara:

T1=1
12=1

T100=1+2+3+...+99+100=5050 =>
 50502=25502500=(2550+2500)2

T1000=1+2+3+...+999+1000=500500 =>
 5005002=250500250000=(250500+250000)2

T10000=1+2+3+...+9999+10000=50005000 =>
 500050002=2500500025000000=(25005000+25000000)2

T100000=1+2+3+...+99999+100000=5000050000 => 50000500002=25000500002500000000=(2500050000+2500000000)2



Stała Kaprekara  wynosi 6174 i posiada ciekawą właściwość, którą odkrył hinduski matematyk D. R. Kaprekar w 1949 roku. Właściwość tę obrazuje poniższy algorytm:
  1. Weźmy dowolną liczbę czterocyfrową, w której istnieją choć dwie różne cyfry.
    2013
  2. Utwórzmy nową liczbę czterocyfrową zapisując cyfry badanej liczby w porządku malejącym.
    3210
  3. Utwórzmy nową liczbę czterocyfrową, która jest lustrzanym odbiciem liczby z punktu 2.
    0123
  4. Nową liczbą badaną niech będzie wynik odejmowania liczby z punktu 3 od liczby z punktu 2.
    3210 - 0123 = 3087
  5. Wróćmy do punktu 2.
Najpóźniej po 7 iteracjach badaną liczbą staje się 6174 i nie zmienia się ona, ponieważ 7641 - 1467 = 6174. Wśród liczb trzycyfrowych istnieje liczba o podobnej właściwości wynosząca 495. Wśród liczb dwu-, pięcio-, sześcio- i siedmiocyfrowych podobnej liczby nie ma, gdyż proces kończy się cyklem. Cykl u liczb dwucyfrowych rozpocznie się od liczby 63, a w przypadku pięcio-, sześcio- i siedmiocyfrowych kolejno: 97641, 865530 i 9865422.


 Obliczmy stałą Kaprekara, rozpoczynając od liczby 2013.


Liczby Kaprekara i stała Kaprekara dla liczb trzycyfrowych 495 i czterocyforwych 6.174



Obliczmy stałą Kaprekara, rozpoczynając od liczby 4527.


Post nr 208  

    Czytelniku, miło kiedy komentujesz posty. Chętnie zapoznam się także z innym Twoim punktem widzenia w podanym rozwiązaniu zadania. Jednak, aby ten blog stanowił dla Czytelników pewną wartość, nie mogę pozwolić, żeby każdy mógł tu pisać co tylko chce.

    Blog wymaga wiele czasu pracy i jako jego autor chcę się na nim dobrze czuć. Korzystanie z bloga oznacza akceptację Regulaminu.

    $1

    Sprawy organizacyjne

    1. Jeżeli uważasz, że w jakimś temacie czujesz się bardziej kompetentny, to napisz jak to wygląda z Twojego punktu widzenia.

    2. Myśl zanim coś napiszesz – zanim zechcesz skrytykować moje sposoby rozwiązania zadań zastanów się jak możesz z tego skorzystać. Jeszcze raz – nie twierdzę, że wszystko co napiszę będzie dla Ciebie pomocne. Niemniej niektóre wskazówki po Twojej modyfikacji mogą dobrze Ci służyć. Myśl samodzielnie.

    3. Ten blog to miejsce, w którym publikuję wskazówki, które mogą pomóc Czytelnikom zrozumieć i nauczyć się rozwiązywać zadania matematyczne.

    4. Dozwolone jest kopiowanie zdjęć z bloga na portale społecznościowe lub inne blogi z bezwzględnym podaniem aktywnego linka do bloga. Niedozwolone jest kopiowanie zdjęć i treści bez podania aktywnego linka.

    5. Pamiętaj, żeby w ramach kopiowania zdjęć z bloga korzystać z przycisków udostępniania dostępnych w postach na blogu.

    6. Zdjęcia w postach na blogu są mojego autorstwa i własnością intelektualną, a zdjęcia kopiowane na mój blog są zawsze z podaniem źródła.

    7. Blog posiada jednego autora. Autorem bloga jest Robert Karolewski.

    8. Zabrania się, przerabiania, przystosowywania, usuwania logotypu lub dokonywania jakichkolwiek innych zmian w zdjęciach na potrzeby własnej publikacji i przypisywanie im autorstwa. Dopuszczalne jest na własne potrzeby bez ich publikacji.

    9. Wszystkie zdjęcia na blogu mojego autorstwa zawierają logotyp Minor Matematyczny Świat.
    10. Przykłady w zadaniach prezentowane na blogu są przygotowane przeze mnie i moją własnością intelektualną. Na blogu również dostępne są przykładowe zadania z jakimi można spotkać się na różnym poziomie nauczania.
    11. Rozwiązania wszystkich zadań z arkuszy maturalnych posiadają logotyp wobec tego, że są to moje przykładowe odpowiedzi.

    12. Niniejszy regulamin obowiązuje również na wszystkich moich portalach społecznościowych.

    13. Korzystanie z bloga w całości jest nieodpłatne i dostępne dla wszystkich Czytelników.


    $2

    Komentarze

    14. Wszystkie komentarze na blogu są publikowane automatycznie i moderowane przez autora bloga.

    a) Jeśli komentarze są obraźliwe zarówno w stosunku do mnie jak i do innych Czytelników, to zostaną usunięte lub ukryte.

    b) Jeśli komentarze są niezwiązane z tematem wpisu, to zostaną usunięte lub ukryte.

    c). Jeśli komentarze są spamem. Za spam uznaję linki do innych stron, podpisywanie się adresem www, dodawanie adresu strony pod komentarzem, reklama, to zostaną usunięte lub ukryte.


    Osoby, które nie będą stosowały się do powyższych zasad $2 mają gwarancję, że ich komentarz pojawi się chwilę na blogu. W skrajnych przypadkach Twoje konto zostanie zablokowane.