Liczby Kaprekara i stała Kaprekara dla liczb trzycyfrowych 495 i czterocyforwych 6.174
Liczby
Kaprekara - liczby naturalne dodatnie, które można zapisać:
X² = Abn
+ B, gdzie 0 < B < bn
X = A + B
X² = AN + B, gdzie 0 < B < N
X = A + B
X = A + B
X² = AN + B, gdzie 0 < B < N
X = A + B
Liczby, których cyfry składają się z samych 9 należą do liczb Kaprekara:
92=81=(8+1)2
992=9801=(98+01)29992=998001=(998+001)2
99992=99980001=(9998+0001)2
999992=9999800001=(99998+00001)2
9999992=999998000001=(999998+000001)2
99999992=99999980000001=(9999998+0000001)2
999999992=9999999800000001=(99999998+00000001)2
9999999992=999999998000000001=(999999998+000000001)2
99999999992=99999999980000000001=(9999999998+0000000001)2
Liczby trójkątne, które należą do liczb Kaprekara:
T1=1
12=1
12=1
T100=1+2+3+...+99+100=5050 =>
50502=25502500=(2550+2500)2
50502=25502500=(2550+2500)2
T1000=1+2+3+...+999+1000=500500 =>
5005002=250500250000=(250500+250000)2
5005002=250500250000=(250500+250000)2
T10000=1+2+3+...+9999+10000=50005000 =>
500050002=2500500025000000=(25005000+25000000)2
500050002=2500500025000000=(25005000+25000000)2
T100000=1+2+3+...+99999+100000=5000050000 => 50000500002=25000500002500000000=(2500050000+2500000000)2
Stała Kaprekara wynosi 6174 i posiada ciekawą właściwość, którą odkrył hinduski matematyk D. R. Kaprekar w 1949 roku. Właściwość tę obrazuje poniższy algorytm:
- Weźmy dowolną liczbę czterocyfrową, w której istnieją choć dwie różne cyfry.
2013 - Utwórzmy nową liczbę czterocyfrową zapisując cyfry badanej liczby w porządku malejącym.
3210 - Utwórzmy nową liczbę czterocyfrową, która jest lustrzanym odbiciem liczby z punktu 2.
0123 - Nową liczbą badaną niech będzie wynik odejmowania liczby z punktu 3 od liczby z punktu 2.
3210 - 0123 = 3087 - Wróćmy do punktu 2.
Najpóźniej po 7 iteracjach badaną liczbą staje się 6174 i nie zmienia
się ona, ponieważ 7641 - 1467 = 6174. Wśród liczb trzycyfrowych
istnieje liczba o podobnej właściwości wynosząca 495. Wśród liczb dwu-,
pięcio-, sześcio- i siedmiocyfrowych podobnej liczby nie ma, gdyż proces
kończy się cyklem. Cykl u liczb dwucyfrowych rozpocznie się od liczby
63, a w przypadku pięcio-, sześcio- i siedmiocyfrowych kolejno: 97641,
865530 i 9865422.
Obliczmy stałą Kaprekara, rozpoczynając od liczby 2013.
Obliczmy stałą Kaprekara, rozpoczynając od liczby 2013.
Obliczmy stałą Kaprekara, rozpoczynając od liczby 4527.
Post nr 208
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz