Układ równań z logarytmami

Rozwiązanie układu równań z dwiema niewiadomymi i logarytmami

 

Dla jakich wartości t i s układ równań posiada rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych? 

Rozwiązanie:

Przy wyznaczeniu zbioru rozwiązań układu równań należy wyznaczyć dziedzinę. Podstawa logarytmu należy do przedziału (0, 1) v (1, +∞), liczba logarytmowana należy do przedziału (0, +∞).

Logarytmowanie polega na obliczaniu wykładnika potęgi, gdy znamy podstawę potęgi i wartość tej potęgi.  

Post nr 275

Równanie homograficzne

Równanie homograficzne z dwiema niewiadomymi

 

 

Rozwiąż równanie homograficzne w zbiorze liczb całkowitych.

Rozwiązanie:

 

Post nr 274

Ile kwadratów wpisano w ośmiokąt

Ile kwadratów wpisano w podany ośmiokąt?

 

Ile kwadratów wpisano w ośmiokąt? 

Rozwiązanie:

Ile = 4+5+5+2 = 16

Post nr 273

Liczby sfeniczne

Liczby sfeniczne jako iloczyn trzech różnych liczb pierwszych

 

Liczby naturalne, które są iloczynem trzech różnych liczb pierwszych nazywamy liczbami sfenicznymi.
Każda liczba sfeniczna ma dokładnie 8 dzielników naturalnych. 

Początkowe, kolejne liczby sfeniczne:

  30 = 2 · 3 · 5
  42 = 2 · 3 · 7
  66 = 2 · 3 · 11
  70 = 2 · 5 · 7
  78 = 2 · 3 · 13
102 = 2 · 3 · 17
105 = 3 · 5 · 7
110 = 2 · 5 · 11
114 = 2 · 3 · 19
130 = 2 · 5 · 13
138 = 2 · 3 · 23
154 = 2 · 7 · 11
165 = 3 · 5 · 11
170 = 2 · 5 · 17
174 = 2 · 3 · 29
182 = 2 · 7 · 13
186 = 2 · 3 · 31
190 = 2 · 5 · 19
195 = 2 · 5 · 13
222 = 2 · 3 · 37
230 = 2 · 5 · 23
231 = 3 · 7 · 11
238 = 2 · 7 · 17
246 = 2 · 3 · 41
255 = 3 · 5 · 17
258 = 2 · 3 · 43
266 = 2 · 7 · 19
273 = 3 · 7 · 13
282 = 2 · 3 · 47
285 = 3 · 5 · 19
286 = 2 · 11 · 13
290 = 2 · 5 · 29
310 = 2 · 5 · 31
318 = 2 · 3 · 53
322 = 2 · 7 · 23
345 = 3 · 5 · 23
354 = 2 · 3 · 59
357 = 3 · 7 · 17
366 = 2 · 3 · 61
370 = 2 · 5 · 37
374 = 2 · 11 · 17
385 = 5 · 7 · 11
399 = 3 · 7 · 19
402 = 2 · 3 · 67
406 = 2 · 7 · 29
410 = 2 · 5 · 41
418 = 2 · 11 · 19
426 = 2 · 3 · 71
429 = 3 · 11 · 13
430 = 2 · 5 · 43
434 = 2 · 7 · 31
435 = 3 · 5 · 29
438 = 2 · 3 · 73
442 = 2 · 3 · 17
455 = 5 · 7 · 13
465 = 3 · 5 · 31
470 = 2 · 5 · 47
474 = 2 · 3 · 79
483 = 3 · 7 · 23
494 = 2 · 13 · 19
498 = 2 · 3 ·83

  ...

Jeśli liczbę sfeniczną oznaczymy przez s=p₁·p₂·p₃, gdzie {p_1, p₂, p₃}€{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...}, to dzielnikami naturalnymi tej liczby są {1, p_1, p₂, p₃, p₁·p₂, p₂·p_3,  p₁·p_{3, p1·p2·p3}.}

Post nr 272

Własności elementów kombinatoryki

Własności elementów kombinatoryki - kombinacje, wariacje, permutacje.

Jakie własności mają elementy kombinatoryki? Jaki wzór zastosować? Przedstawiam na powyższym schemacie działań. 

Kombinacją k-elementową zbioru n-elementowego nazywamy każdy podzbiór k-elementowy tego zbioru, gdzie 0≤k≤n. Jeżeli nϵN₁, kϵn i k≤n, to liczba różnych kombinacji k-elementowych spośród n elementów wyraża się wzorem C_n^k=(ⁿ_k) n!/[k!∙(n-k)!].

Stosujemy wtedy gdy:

• losowanie odbywa się bez zwracania
• kolejność wylosowanych elementów jest nieistotna

Permutacją n elementów nazywamy ciąg n-wyrazowy utworzony ze wszystkich elementów danego zbioru. Liczba permutacji zbioru n-elementowego wyraża się wzorem P_n= n!.

Stosujemy wtedy gdy:

• przestawiamy litery w pewnym wyrazie różnoliterowym
• ustawiamy osoby w szeregu lub sadzamy je w koło
• przestawiamy cyfry w liczbie, uwzględniając pewne warunki

Ciąg k-wyrazowy którego wszystkie wyrazy są różne i należą do n-elementowego zbioru Z (0≤k≤n) nazywamy k-elementową wariacją bez powtórzeń n-elementowego zbioru i wyraża się wzorem V_n^k = n!/[n-k]!.

Stosujemy wtedy gdy:

• losowanie odbywa się bez zwracania
• kolejność wylosowanych elementów jest nieistotna

Każdy k wyrazowy ciąg o wyrazach należących do n-elementowego zbioru Z nazywamy k-elementową wariacją z powtórzeniami n-elementowego zbioru i wyraża się wzorem W_n^k = n^k

Stosujemy wtedy gdy:

• losowanie odbywa się ze zwracaniem
• kolejność wylosowanych elementów jest istotna

Post nr 271