Tweety na temat @MinorMatematyka

Pomoce dla klasy

Szukaj na tym blogu lub wpisz post nr 1-535

Wielkanocne pisanki matematycznie

Wielkanocne pisanki matematycznie

 

 
Wielkanocne pisanki matematycznie

 

 

Wielkanocne pisanki matematycznie

Święta, święta więc się bierz
i pisanki rób jak chcesz,
malowane czy skrobane
byle były tak matematycznie przybrane,
by cieszyły Wasze oczy.
Wesołych Świąt! 


Wielkanocne pisanki matematycznie



Algorytm wyznaczania daty Wielkanocy w danym roku sprawdź



Post nr 96

Cyfra jedności liczby

  Cyfra jedności liczby - potęgowanie potęgi






Z podanej tablicy cyfr można wyznaczyć cyfrę jedności wartości potęgi. Należy zauważyć, że cyfra jedności wartości potęgi się powtarza co pewien okres, jeśli cyfrą jedności podstawy potęgi jest {2, 3, 4, 7, 8, 9}. Wykonaj dzielenie wykładnika przez ten okres i określ jaką cyfrą jedności kończy się dana liczba. 




Wyznaczamy cyfry jedności potęgi:
a)
c.j.l.(25(25^25))=...5

c.j.l.[149(149^149)]=
149:2=74 r 1, c.j.l.(149149)=...9
c.j.l.(149...9)=9
 zatem c.j.l.[149(149^149)]=...9

c.j.l.[2013(2013^2013)]=
2013:4=503 r 1, c.j.l.(20132013)=...3
c.j.l.(2013...3 )=3
zatem c.j.l.[2013(2013^2013)]=...3

c.j.l. [(25(25^25))+(149(149^149))+(2013(2013^2013))]=...7


b)
c.j.l.[1999(1999^1999)]=
1999:2=999 r 1, c.j.l.(19991999)=...9
c.j.l.(1999...9)=9
 zatem c.j.l.[149(149^149)]=...9


c.j.l.[207(207^207)]=
207:4=51 r 3, c.j.l.(207207)=...3
c.j.l.(207...3)=3
 zatem c.j.l.[207(207^207)]=...3

c.j.l.[456(456^456)]=...6


c.j.l. [(1999(1999^1999))+(207(207^207))+(456(456^456)]=...8


c)
c.j.l.[888(888^888)]=
888:4=222 r 0, c.j.l.(888888)=...6
c.j.l.(888...6)=9
 zatem c.j.l.[888(888^888)]=...6

c.j.l.[2004(2004^2004)]=
2004:2=1002 r 0, c.j.l.(20042004)=...6
c.j.l.(2004...6)=6
 zatem c.j.l.[2004(2004^2004)]=...6

c.j.l.[2222(2222^2222)]=
2222:4=555 r 2, c.j.l.(22222222)=...6
c.j.l.(2222...6)=6
 zatem c.j.l.[2222(2222^2222)]=...6

c.j.l. [888(888^888))+2004(2004^2004)+2222(2222^2222)]=...8


Uwagi: Co to jest cyfra jedności liczby?
Cyfry służą do zapisu liczb. W dziesiątkowym systemie pozycyjnym, tym w którym liczymy, do zapisu liczb wykorzystujemy cyfry {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Na przykład liczba 125 składa się z cyfr {1, 2, 5}, bywa tak, że cyfra jest liczbą na przykład {0, 1, 2, ... 9}.
Cyfra jedności, to ostatnia cyfra w liczbie.


Potęgi - więcej 



Post nr 95 

Reszta z dzielenia sumy potęg reszt

Reszta z dzielenia sumy potęg reszt



Znamy trzy liczby które przy dzieleniu przez 5 dają odpowiednio reszty 1, 2, 3. Aby znaleźć reszty z dzielenia sumy potęg reszt przez 5 znamy twierdzenie, reszta z dzielenia sumy potęg reszt jest równa reszty z sumy potęg reszt.
Ile wynosi reszta z dzielenia sumy kwadratów liczb a, b, c  przez 7 wiedząc, że:
r(a, 7)=2
r(b, 7)=3
r(c, 7)=5?

r(a2 +
b2 + c2,7)=r[r(a2 , m)+r(b2 ,m)+r(c2,m)]
r(22+32+52,7)=r(38,7)=3

Post nr 94 


Liczby koliste

Liczby koliste


Kolejne liczby koliste to 1/7, 1/17, 1/19, 1/23, 1/29, 1/47, 1/59, 1/61, 1/97, 1/109, 1/113, 1/131, 1/149, 1/167, 1/179, 1/181, 1/193, 1/223, 1/229, 1/233, 1/257, 1/263, 1/269, 1/313, 1/337, 1/367, …

Dla 1/7 = 0,(142857) można również zauważyć, że:
142+857=999
714+285=999
571+428=999
857+142=999
285+714=999
428+571=999
oraz
124+875=999
741+258=999
517+482=999
875+124=999
258+741=999
482+517=999

14+28+57=99
71+42+85=99+99
57+14+28=99
85+71+42=99+99
28+57+14=99
42+85+71=99+99


Iloczyny złożone z tych samych cyfr:
142857 ∙ (7 ∙ 1)/9 = 111111
142857 ∙ (7 ∙ 2)/9 = 222222
142857 ∙ (7 ∙ 3)/9 = 333333 
142857 ∙ (7 ∙ 4)/9 = 444444
142857 ∙ (7 ∙ 5)/9 = 555555
142857 ∙ (7 ∙ 6)/9 = 666666
142857 ∙ (7 ∙ 7)/9 = 777777
142857 ∙ (7 ∙ 8)/9 = 888888 
142857 ∙ (7 ∙ 9)/9 = 999999

Iloczyny kolejnych cyfr 142857 i 7 dopełnione w odpowiedniej kolejności liczbami z zakresu 1, ..., n-1 tj. 3, 2, 6, 4, 5, 1 dają kolejne potęgi naturalne liczby 10:

                                                       1
∙ 7 + 3 =  10                              
                                                     14 ∙ 7 + 2 = 100
                                                  142 ∙ 7 + 6 = 1000
                                               1428 ∙ 7 + 4 = 10000
                                            14285 ∙ 7 + 5 = 100000
                                         142857 ∙ 7 + 1 = 1000000
                                      1428571 ∙ 7 + 3 = 10000000
                                   14285714 ∙ 7 + 2 = 100000000
                                142857142 ∙ 7 + 6 = 1000000000
                             1428571428 ∙ 7 + 4 = 10000000000
                          14285714285 ∙ 7 + 5 = 100000000000
                       142857142857 ∙ 7 + 1 = 1000000000000


Większe liczby koliste to 1/1861, 1/7699, 1/17389.

Hipotetycznie uznajemy, że liczb kolistych jest nieskończenie wiele. Ułamek liczb kolistych przypadający na wszystkie liczby pierwsze zawarte w określonym przedziale zbiega się do stałej Artina, CA=0,3739558136…


gdzie pk to kolejne liczby pierwsze.

Post nr 93 

Liczby trójkątne a dopełnienie do liczb kwadratowych

Liczby trójkątne a dopełnienie do liczb kwadratowych










 Istnieje pewna własność dla liczb trójkątnych. Jeśli dowolną liczbę trójkątną

Tpomnożymy przez 8 i dodamy 1 to zawsze otrzymamy liczę kwadratową
K2n+1, gdzie n – to wskaźnik porządkowy liczby trójkątnej.

Którą i jaką liczbę kwadratową otrzymamy mnożąc 36-tą liczbę trójkątną przez 8 i dodając 1?



T36=K2x36+1=K73


Jaką liczbę kwadratową uzyskamy mnożąc liczbę trójkątną T2012 +2013 przez 8 i dodając 1?
T2012 +2013=T2013=K2x2013+1=K4027

Jaką liczbę trójkątną uzyskamy z K9!! liczby kwadratowej?
K9!!=K945 => T472
Dla przypomnienia - podwójna silnia:
(2n-1)!! = 1·3·5·...·(2n-1)
(2n)!! = 2·4·6·...·(2n)

Ile dzielników naturalnych ma liczba (3·K3!!)(3·T4!!)?
(3·K3!!)(3·T4!!)=3·9·3·36=36·22=n
D(n) = (6+1)(2+1)= 21




Liczby trójkątne a dopełnienie do liczb kwadratowych





Post nr 92 

WESPRZYJ BLOGA ZRZUTKĄ


Czytelniku, komentując nie każdy będzie mógł tu pisać co chce. 
Korzystanie z bloga oznacza akceptację Regulaminu.
Regulamin bloga
1. Myśl zanim coś napiszesz – zanim zechcesz skrytykować podane sposoby rozwiązania zadań zastanów się jak możesz z tego skorzystać. Niemniej niektóre wskazówki po Twojej modyfikacji mogą dobrze Ci służyć. Myśl samodzielnie.
2. Wskazówki mogą pomóc Ci zrozumieć matematykę.
3. Kopiując posty z bloga skorzystaj z przycisków udostępniania.
4. Wszystkie komentarze na blogu są moderowane przez autora bloga.
5. Korzystanie z bloga w całości jest nieodpłatne.