Tweety na temat @MinorMatematyka

Pomoce dla klasy

Szukaj na tym blogu lub wpisz post nr 1-535

Promień okręgu opisanego i wpisanego w trójkąt prostokątny

Promień okręgu opisanego i wpisanego w trójkąt prostokątny a jego pole

Promień okręgu opisanego i wpisanego w trójkąt prostokątny a jego pole




Jeżeli na trójkącie prostokątnym jest opisany okrąg i w ten trójkąt jest wpisany okrąg, to można wykazać, że:
1⁰.  W trójkącie prostokątnym suma długości obu przyprostokątnych jest równa sumie długości średnic okręgów wpisanego i opisanego na tym trójkącie
2⁰. W trójkącie prostokątnym suma długości promieni okręgów wpisanego i opisanego na tym trójkącie jest równa średniej arytmetycznej długości przyprostokątnych tego trójkąta.

Otwórz aplet
Promień okręgu opisanego i wpisanego w trójkąt prostokątny a jego pole

Promień okręgu opisanego i wpisanego w trójkąt prostokątny a jego pole


Ponadto:
1⁰. Wyznaczając promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny należy sumę długości przyprostokątnych a i b trójkąta ABC pomniejszyć o długość przeciwprostokątnej c i podzielić przez 2. Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątnych jest równy średniej arytmetycznej różnicy sumy długości przyprostokątnych (a i b) i długości przeciwprostokątnej c.
2⁰. Pole trójkąta prostokątnego jest równe ilorazowi różnicy  kwadratu sumy długości przyprostokątnych (a i b) i kwadratu długości przeciwprostokątnej przez 4. 





Post nr 397

Równanie pierwiastkowe

Równanie pierwiastkowe z pierwiastkami drugiego stopnia



Wyznacz wszystkie możliwe pierwiastki równania pierwiastkowego. Oblicz wszystkie możliwe rozwiązania równania  pierwiastkowego z pierwiastkami drugiego stopnia.

Rozwiązanie:
- wyznaczamy dziedzinę równania pierwiastkowego (wartość pod pierwiastkami drugiego stopnia w liczniku i mianowniku ułamka musi być większa lub równa 0 dla każdego pierwiastka i mianownik ułamka jest różny od 0)
- równanie przekształcamy do postaci iloczynowej mnożąc mianownik ułamka przez 5
- po przekształceniu redukujemy wyrazy podobne
- otrzymaliśmy równanie zawierające po lewej i prawej stronie wyrażenia pod pierwiastkiem drugiego stopnia dlatego uwalniamy się od pierwiastków podnosząc jednocześnie strony do potęgi drugiej
- wyrażenia podpierwiastkowe są sobie równa dla x = -2,4 lub x = 5
- sprawdzamy czy rozwiązaniem równania są liczby -2,4 lub 5, to należą do wyznaczonej dziedziny

Dziedzina równania



Rozwiązanie równania

Rozwiązanie graficzne (pierwiastkami równania są te argumenty dla których funkcje przyjmują równe wartości, wykresy przecinają się w odpowiednim punkcie).


Sprawdzenie równania pierwiastkowego w sposób porównania strony lewej z prawą po podstawieniu w miejsce x otrzymanych wartości, dla x = -2,4 i x = 5.


 Wykres online
 Wykres online






Post nr 396

Wysokość w trójkącie prostokątnym równa sumie długości promieni

Wysokość w trójkącie prostokątnym równa sumie długości promieni okręgów wpisanych w trójkąty wyznaczone przez wysokość i tego trójkąta

Z wierzchołka C kąta prostego w trójkącie prostokątnym ABC, gdzie |∡ACB|=90° poprowadzono wysokość CD. Wykaż, że długość wysokości CD jest równa sumie promieni okręgów wpisanych w trójkąt ABC, trójkąt ADC, trójkąt BDC.




Z wierzchołka C kąta prostego w trójkącie prostokątnym ABC, gdzie |∡ACB|=90° poprowadzono wysokość CD. Wykaż, że długość wysokości CD jest równa sumie promieni okręgów wpisanych w trójkąt ABC, trójkąt ADC, trójkąt BDC. 



Jeżeli w trójkącie prostokątnym ABC z wierzchołka kąt prostego C poprowadzimy wysokość CD, to podzieli nam ten trójkąt na dwa trójkąty prostokątne ADC i BDC. Wysokość CD jest równa sumie promieni okręgów wpisanych w trójkąt ABC, trójkąt ADC, trójkąt BDC.
Niech liczby r1, r2, r3 będą długościami promieniu okręgów wpisanych odpowiednio w trójkąty ADC, BDC, ABC oraz |AD|=x, |BD|=c-x i liczby a, b, c niech będą długościami boków trójkąta ABC, |AB|=c, |BC|=b, |AC|=a.
Założenie:
Trójkąt ABC jest prostokątny, |∡ACB|=90°, |CD|⊥ |AB|
Teza:
|CD| = r1 + r2 + r3
Dowód:

Z wierzchołka C kąta prostego w trójkącie prostokątnym ABC, gdzie |∡ACB|=90° poprowadzono wysokość CD. Wykaż, że długość wysokości CD jest równa sumie promieni okręgów wpisanych w trójkąt ABC, trójkąt ADC, trójkąt BDC.
Z wierzchołka C kąta prostego w trójkącie prostokątnym ABC, gdzie |∡ACB|=90° poprowadzono wysokość CD. Wykaż, że długość wysokości CD jest równa sumie promieni okręgów wpisanych w trójkąt ABC, trójkąt ADC, trójkąt BDC.

Pole obszaru między krzywymi (funkcjami kwadratowymi) obliczane całką

Pole obszaru między krzywymi (funkcjami kwadratowymi) obliczane całką

Wyznaczyć pole obszaru między krzywymi (funkcjami kwadratowymi)
I przykład


f(x) = -x2 - x + 6
g(x) = x2 + 5x - 14


Wyznaczyć pole obszaru między krzywymi (funkcjami kwadratowymi)





































1°. Wyznaczamy dla jakich argumentów x funkcje f(x) i g(x) przyjmują równe wartości tj. spełniają warunek f(x)=g(x)
2°.  Wyznaczone argumenty tworzą przedział w jakim całkujemy <a, b>, a<b
3°. Obliczamy funkcję pierwotną F poprzez całkowanie do pochodnej różnicy funkcji
[f(x) -  g(x)]dx, bo g(x)<f(x)
4°.  Obliczamy różnicę |D| = F(b)- F(a) wartości funkcji pierwotnej dla a i b, która wyznacza nam pole obszaru D między wykresami.

Pole obszaru między krzywymi, wykresami funkcji kwadratowej obliczamy na dwa sposoby w zależności, który wykres funkcji znajduje się nad którym.







Wyznaczyć pole obszaru między krzywymi (funkcjami kwadratowymi)
II przykład


f(x) = -x2 + 4x + 5
g(x) = 2x2 + 3x + 3

Wyznaczyć pole obszaru między krzywymi (funkcjami kwadratowymi)




































1°. Wyznaczamy dla jakich argumentów x funkcje f(x) i g(x) przyjmują równe wartości tj. spełniają warunek f(x)=g(x)
2°. Wyznaczone argumenty tworzą przedział w jakim całkujemy <a, b>, a<b
3°. Obliczamy funkcję pierwotną F poprzez całkowanie do pochodnej różnicy funkcji
[f(x) -  g(x)]dx, bo g(x)<f(x)
4°. Obliczamy różnicę |D| = F(b)- F(a) wartości funkcji pierwotnej dla a i b, która wyznacza nam pole obszaru D między wykresami.

Pole obszaru między krzywymi, wykresami funkcji kwadratowej obliczamy na dwa sposoby w zależności, który wykres funkcji znajduje się nad którym.



Wyznaczyć pole obszaru między krzywymi (funkcjami kwadratowymi)
III przykład


f(x) = 8x2 + 6x + 1
g(x) = -x2 - 4x
 

Wyznaczyć pole obszaru między krzywymi (funkcjami kwadratowymi)



1°Wyznaczamy dla jakich argumentów x funkcje f(x) i g(x) przyjmują równe wartości tj. spełniają warunek f(x)=g(x)
2°. Wyznaczone argumenty tworzą przedział w jakim całkujemy <a, b>, a<b
3°. Obliczamy funkcję pierwotną F poprzez całkowanie do pochodnej różnicy funkcji
[g(x) -  f(x)]dx, bo f(x)<g(x)
4°. Obliczamy różnicę |D| = F(b)- F(a) wartości funkcji pierwotnej dla a i b, która wyznacza nam pole obszaru D między wykresami.


Pole obszaru między krzywymi, wykresami funkcji kwadratowej obliczamy na dwa sposoby w zależności, który wykres funkcji znajduje się nad którym.



Wyznaczyć pole obszaru między krzywymi (funkcjami kwadratowymi)
IV przykład


f(x) = x2 - 6x + 11
g(x) = -2x2 + 12x - 13
 

Wyznaczyć pole obszaru między krzywymi (funkcjami kwadratowymi)



1°. Wyznaczamy dla jakich argumentów x funkcje f(x) i g(x) przyjmują równe wartości tj. spełniają warunek f(x)=g(x)
2°. Wyznaczone argumenty tworzą przedział w jakim całkujemy <a, b>, a<b
3°. Obliczamy funkcję pierwotną F poprzez całkowanie do pochodnej różnicy funkcji
[g(x) -  f(x)]dx, bo f(x)<g(x)
4°. Obliczamy różnicę |D| = F(b)- F(a) wartości funkcji pierwotnej dla a i b, która wyznacza nam pole obszaru D między wykresami.


Pole obszaru między krzywymi, wykresami funkcji kwadratowej obliczamy na dwa sposoby w zależności, który wykres funkcji znajduje się nad którym.


Wyznaczyć pole obszaru między krzywymi (funkcjami kwadratowymi)
V przykład


f(x) = -3x2 - 6x + 22
g(x) = 4x2 + x - 20
 

Wyznaczyć pole obszaru między krzywymi (funkcjami kwadratowymi)

1°. Wyznaczamy dla jakich argumentów x funkcje f(x) i g(x) przyjmują równe wartości tj. spełniają warunek f(x)=g(x)
2°. Wyznaczone argumenty tworzą przedział w jakim całkujemy <a, b>, a<b
3°. Obliczamy funkcję pierwotną F poprzez całkowanie do pochodnej różnicy funkcji
[f(x) -  g(x)]dx, bo g(x)<f(x)
4°. Obliczamy różnicę |D|= F(b)- F(a) wartości funkcji pierwotnej dla a i b, która wyznacza nam pole obszaru D między wykresami.


Pole obszaru między krzywymi, wykresami funkcji kwadratowej obliczamy na dwa sposoby w zależności, który wykres funkcji znajduje się nad którym.



Podsumowanie:
Pole obszaru między krzywymi, wykresami funkcji kwadratowej obliczamy na dwa sposoby w zależności, który wykres funkcji znajduje się nad którym.

Pole obszaru między krzywymi, wykresami funkcji kwadratowej obliczamy na dwa sposoby w zależności, który wykres funkcji znajduje się nad którym.










Post nr 394

WESPRZYJ BLOGA ZRZUTKĄ


Czytelniku, komentując nie każdy będzie mógł tu pisać co chce. 
Korzystanie z bloga oznacza akceptację Regulaminu.
Regulamin bloga
1. Myśl zanim coś napiszesz – zanim zechcesz skrytykować podane sposoby rozwiązania zadań zastanów się jak możesz z tego skorzystać. Niemniej niektóre wskazówki po Twojej modyfikacji mogą dobrze Ci służyć. Myśl samodzielnie.
2. Wskazówki mogą pomóc Ci zrozumieć matematykę.
3. Kopiując posty z bloga skorzystaj z przycisków udostępniania.
4. Wszystkie komentarze na blogu są moderowane przez autora bloga.
5. Korzystanie z bloga w całości jest nieodpłatne.