Układ równań z pierwiastkami i modułem

Układ równań z dwiema niewiadomymi, z pierwiastkami trzeciego stopnia i wartością bezwzględną (modułem)

 

Rozwiąż układ równań z dwiema niewiadomymi, z pierwiastkami trzeciego stopnia i wartością bezwzględną.

Rozwiązanie algebraiczne:
- układ równań zawiera wartość bezwzględną dla wartości y, dlatego należy rozpatrzyć dwa warunki ze względu na dwie wartości (może przyjmować wartość ujemną y<0 lub wartość równą 0 i dodatnią y≥0)
- układ równań rozwiązany jest metodą przeciwnych współczynników, doprowadzamy współczynniki liczbowe przy niewiadomych x, y do liczb przeciwnych.

 Ilustracja graficzna rozwiązania układu równań.
Rozwiązaniem graficznym układu równań są punkty przecięcia się wykresów funkcji. Argumenty dla których funkcje przyjmują równe wartości. 

 Wykres online

Post nr 413

Równanie kwadratowe z logarytmami

Wyznacz wszystkie możliwe rozwiązania równania kwadratowego z logarytmami. 

Rozwiązanie:
- lewą stroną równania doprowadzamy do najprostszej postaci korzystając z własności logarytmów
- obliczamy pierwiastki równania kwadratowego.

I sposób

II sposób

Ilustracja graficzna rozwiązania równania.

Post nr 412 

Pole obszaru między wykresem funkcji kwadratowej a osią OX

Pole obszaru między wykresem funkcji kwadratowej a osią OX obliczane całką

I przykład

Oblicz pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji kwadratowej
g(x) = 3x²+6x-24 a osią OX.

1°. Wyznaczamy dla jakich argumentów x funkcja g(x) przyjmuje wartość równą 0 tj. spełnia warunek g(x)=0

2°.  Wyznaczone argumenty tworzą przedział (granice) w jakim całkujemy <a, b>, a<b

3°. Obliczamy funkcję pierwotną F poprzez całkowanie do pochodnej różnicy funkcji

[f(x) -  g(x)]dx, bo g(x)<f(x)

4°.  Obliczamy różnicę |D| = F(b)- F(a) wartości funkcji pierwotnej dla a i b, która wyznacza nam pole obszaru D między wykresami.

II przykład

Oblicz pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji kwadratowej
g(x) = -3x²-6x+24 a osią OX. 

1°. Wyznaczamy dla jakich argumentów x funkcja g(x) przyjmuje wartość równą 0 tj. spełnia warunek g(x)=0

2°.  Wyznaczone argumenty tworzą przedział (granice) w jakim całkujemy <a, b>, a<b
3°. Obliczamy funkcję pierwotną F poprzez całkowanie do pochodnej różnicy funkcji
[g(x) -  f(x)]dx, bo f(x)<g(x)
4°.  Obliczamy różnicę |D| = F(b)- F(a) wartości funkcji pierwotnej dla a i b, która wyznacza nam pole obszaru D między wykresami.

 


III przykład

Oblicz pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji kwadratowej
g(x) = 4x²-36 a osią OX. 

1°. Wyznaczamy dla jakich argumentów x funkcja g(x) przyjmuje wartość równą 0 tj. spełnia warunek g(x)=0

2°.  Wyznaczone argumenty tworzą przedział (granice) w jakim całkujemy <a, b>, a<b

3°. Obliczamy funkcję pierwotną F poprzez całkowanie do pochodnej różnicy funkcji

[f(x) -  g(x)]dx, bo g(x)<f(x)

4°.  Obliczamy różnicę |D| = F(b)- F(a) wartości funkcji pierwotnej dla a i b, która wyznacza nam pole obszaru D między wykresami.

IV przykład

Oblicz pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji kwadratowej
g(x) = -4x²+36 a osią OX. 

1°. Wyznaczamy dla jakich argumentów x funkcja g(x) przyjmuje wartość równą 0 tj. spełnia warunek g(x)=0

2°.  Wyznaczone argumenty tworzą przedział (granice) w jakim całkujemy <a, b>, a<b

3°. Obliczamy funkcję pierwotną F poprzez całkowanie do pochodnej różnicy funkcji

[g(x) -  f(x)]dx, bo f(x)<g(x)

4°.  Obliczamy różnicę |D| = F(b)- F(a) wartości funkcji pierwotnej dla a i b, która wyznacza nam pole obszaru D między wykresami.

Pole D wyznaczone jest w jednostkach kwadratowych.

Zobacz także jak obliczyć pole obszaru między wykresami (krzywymi) więcej


Zobacz także jak obliczyć pole obszaru między wykresami funkcji kwadratowych (więcej)


Zobacz także jak obliczyć pole obszaru między wykresami funkcji kwadratowej a osią OX więcej 

GeoGebra - wybrane zagadnienia z zakresu studiów 



Post nr 411