Tweety na temat @MinorMatematyka

Nowość! Snapchat: matematycznyswi

 Snapchat: matematycznyswi

Szukaj na tym blogu lub wpisz post nr 1-505

środa, 16 kwietnia 2014

Długości boków trójkąta prostokątnego

Długości boków trójkąta prostokątnego

 

Pole trójkąta prostokątnego ABC jest równe 210, a wysokość poprowadzona z wierzchołka A kąta prostego tego trójkąta ma długość 420/29. Oblicz długości pozostałych boków trójkąta prostokątnego.


Pole trójkąta prostokątnego ABC jest równe 210, a wysokość poprowadzona z wierzchołka A kąta prostego tego trójkąta ma długość 420/29. Oblicz długości pozostałych boków trójkąta prostokątnego.  


Rozwiązanie:
- z treści zadania nie wynika jednoznacznie, która z przyprostokątnych jest dłuższa lub są równe
- wyznaczamy długość przeciwprostokątnej BC z pola trójkąta S ∆ ABC = ½ · |BC| · |AD|. Zatem |BC| = 29
- zakładamy, że |AC| = a, |AB| = b wiedząc, że A jest wierzchołkiem kąta prostego. W założeniu nie uwzględniamy, która z przyprostokątnych jest dłuższa
- obliczamy a, b korzystając z układ równań liniowych drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi a, b. Pierwszy układ to iloczyn długości przyprostokątnych a · b = 420 wyznaczony z pola trójkąta. Drugi układ tworzymy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa wiedząc, że a² + b² = |BC|²
- doprowadzamy układ do równania dwukwadratowego z jedną niewiadomą, za a² podstawiamy pomocniczą t (wprowadzając równanie pomocnicze a² = t, zatem t≥0) w celu obniżenia stopnia równania do równania kwadratowego t² - 841t + 176400 = 0, wyznaczamy  pierwiastki równania kwadratowego
- obliczamy a z równania pomocniczego a² = t, zatem t≥0
- obliczamy b z pierwszego układu równań a · b = 420
- z treści zadania nie wynika jednoznacznie, która z przyprostokątnych jest dłuższa. Zatem mamy dwa takie trójkąty  20, 21, 29 lub 21, 20, 29.

Pole trójkąta prostokątnego ABC jest równe 210, a wysokość poprowadzona z wierzchołka A kąta prostego tego trójkąta ma długość 420/29. Oblicz długości pozostałych boków trójkąta prostokątnego.

Pole trójkąta prostokątnego ABC jest równe 210, a wysokość poprowadzona z wierzchołka A kąta prostego tego trójkąta ma długość 420/29. Oblicz długości pozostałych boków trójkąta prostokątnego.


W tym zadaniu pokazano jak ważne jest prawidłowe sformułowanie treści zadania. W treści brakuje informacji która z przyprostokątnych jest dłuższa. Zadanie jest z niedomiarem informacji, dlatego rozwiązaniem są dwa trójkąty. 



Treść zadania uzupełniono o informację "wiedząc, że AC jest krótszą przyprostokątną trójkąta ABC".  
Pole trójkąta prostokątnego ABC jest równe 210, a wysokość poprowadzona z wierzchołka A kąta prostego tego trójkąta ma długość 420/29. Oblicz długości pozostałych boków trójkąta prostokątnego.  

Rozwiązanie:
- z treści zadania wynika jednoznacznie, która z przyprostokątnych jest dłuższa
- wyznaczamy długość przeciwprostokątnej BC z pola trójkąta S ∆ ABC = ½ • |BC| • |AD|. Zatem |BC| = 29
- zakładamy, że |AC| = a, |AB| = b wiedząc, że A jest wierzchołkiem kąta prostego. W założeniu uwzględniamy, że przyprostokątna b jest dłuższa od przyprostokątnej a (a<b)
- obliczamy a, b korzystając z układ równań liniowych drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi a, b. Pierwszy układ to iloczyn długości przyprostokątnych a • b = 420 wyznaczony ze stosunku długości odpowiednich boków tworzących proporcję. Korzystamy z własności podobieństwa trójkątów. Drugi układ tworzymy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa wiedząc, że a² + b² = |BC|²
- doprowadzamy układ do równania dwukwadratowego z jedną niewiadomą, za a² podstawiamy pomocniczą t (wprowadzając równanie pomocnicze a² = t, zatem t≥0) w celu obniżenia stopnia równania do równania kwadratowego t² - 841t + 176400 = 0, wyznaczamy  pierwiastki równania kwadratowego
- obliczamy a z równania pomocniczego a² = t, zatem t≥0
- obliczamy b z pierwszego układu równań a • b = 420
- z treści zadania wynika jednoznacznie, która z przyprostokątnych jest dłuższa. Zatem szukany trójkąt to  20, 21, 29.






Post nr 410

Regulamin bloga

Czytelniku, miło kiedy komentujesz posty. Chętnie zapoznam się także z innym Twoim punktem widzenia w podanym rozwiązaniu zadania. Jednak, aby ten blog stanowił dla Czytelników pewną wartość, nie mogę pozwolić, żeby każdy mógł tu pisać co tylko chce.

Blog wymaga wiele czasu pracy, godzin pracy, których nie widać i jako jego autor chcę się na nim dobrze czuć.
Niniejszy Regulamin określa zasady korzystania z bloga www.matematyczny-swiat.pl. Korzystanie z bloga oznacza akceptację Regulaminu.



$1

Sprawy organizacyjne

1. Jeżeli uważasz, że w jakimś temacie czujesz się bardziej kompetentny, to napisz jak to wygląda z Twojego punktu widzenia.

2. Myśl zanim coś napiszesz – zanim zechcesz skrytykować moje sposoby rozwiązania zadań zastanów się jak możesz z tego skorzystać. Jeszcze raz – nie twierdzę, że wszystko co napiszę będzie dla Ciebie pomocne. Niemniej niektóre wskazówki po Twojej modyfikacji mogą dobrze Ci służyć. Myśl samodzielnie.

3. Ten blog to miejsce, w którym publikuję wskazówki, które mogą pomóc Czytelnikom zrozumieć i nauczyć się rozwiązywać zadania matematyczne.

4. Dozwolone jest kopiowanie zdjęć z bloga na portale społecznościowe lub inne blogi z bezwzględnym podaniem aktywnego linka do bloga. Niedozwolone jest kopiowanie zdjęć i treści bez podania aktywnego linka.

5. Pamiętaj, żeby w ramach kopiowania zdjęć z bloga korzystać z przycisków udostępniania dostępnych w postach na blogu.

6. Zdjęcia w postach na blogu są mojego autorstwa i własnością intelektualną, a zdjęcia kopiowane na mój blog są zawsze z podaniem źródła.

7. Blog posiada jednego autora. Autorem bloga jest Robert Karolewski.

8. Zabrania się, przerabiania, przystosowywania, usuwania logotypu lub dokonywania jakichkolwiek innych zmian w zdjęciach na potrzeby własnej publikacji i przypisywanie im autorstwa. Dopuszczalne jest na własne potrzeby bez ich publikacji.

9. Wszystkie zdjęcia na blogu mojego autorstwa zawierają logotyp Minor Matematyczny Świat.
10. Przykłady w zadaniach prezentowane na blogu są przygotowane przeze mnie i moją własnością intelektualną. Na blogu również dostępne są przykładowe zadania z jakimi można spotkać się na różnym poziomie nauczania.
11. Rozwiązania wszystkich zadań z arkuszy maturalnych posiadają logotyp wobec tego, że są to moje przykładowe odpowiedzi.

12. Niniejszy regulamin obowiązuje również na wszystkich moich portalach społecznościowych.

13. Korzystanie z bloga w całości jest nieodpłatne i dostępne dla wszystkich Czytelników.


$2

Komentarze

14. Wszystkie komentarze na blogu są publikowane automatycznie i moderowane przez autora bloga.

a) Jeśli komentarze są obraźliwe zarówno w stosunku do mnie jak i do innych Czytelników, to zostaną usunięte lub ukryte.

b) Jeśli komentarze są niezwiązane z tematem wpisu, to zostaną usunięte lub ukryte.

c). Jeśli komentarze są spamem. Za spam uznaję linki do innych stron, podpisywanie się adresem www, dodawanie adresu strony pod komentarzem, reklama, to zostaną usunięte lub ukryte.


Osoby, które nie będą stosowały się do powyższych zasad $2 mają gwarancję, że ich komentarz pojawi się chwilę na blogu. W skrajnych przypadkach Twoje konto zostanie zablokowane.