Tweety na temat @MinorMatematyka

Pomoce dla klasy

Szukaj na tym blogu lub wpisz post nr 1-535

Równanie wymierne z pierwiastkami

Równanie wymierne z pierwiastkami drugiego stopnia

 

Rozwiąż równanie wymierne z pierwiastkami drugiego stopnia.



Rozwiąż równanie wymierne z pierwiastkami drugiego stopnia.


Rozwiązanie:
- wyznaczamy dziedzinę pamiętając, że wyrażenie pod pierwiastkiem drugiego stopnia przyjmuje tylko wartość większą lub równą 0 i wyrażenia w mianownikach ułamków są różne od 0
- sprowadzamy lewą stronę równania wymiernego do wspólnego mianownika, w licznikach stosujemy wzór na kwadrat dwumianu, wynika z własności mnożenia potęg o tych samych podstawach c · c = c2,   d · d = d2
- korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia na kwadrat sumy lub różnicy tj.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
, oraz doprowadzamy liczniki ułamków do najprostszej postaci poprzez redukcję wyrazów podobnych
- zapisujemy wyrażenie wymierne po lewej stronie w postaci jednego ułamka
- mianownik ułamka przekształcamy do postaci różnicy kwadratów dwóch a2 - b2
- doprowadzamy wyrażenia w liczniku i mianowniku ułamka do najprostszej postaci poprzez redukcję wyrazów podobnych
- skracamy ułamki bo wyrażenia w liczniku i mianowniku ułamka mają wspólny czynnik 4(x+ 2) z założeniem, że nie dzielimy przez 0 i obliczamy x (I sposób)
- korzystamy z metody proporcji, że iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych i obliczamy x (II sposób)
- sprawdzamy obliczoną wartość x z dziedziną.



Rozwiąż równanie wymierne z pierwiastkami drugiego stopnia.
Rozwiąż równanie wymierne z pierwiastkami drugiego stopnia.

Sprawdzamy rozwiązanie równania wymiernego dla x = 2 porównując lewą i prawą stronę równia poprzez podstawienie rozwiązania w miejsce niewiadomej x.


Rozwiąż równanie wymierne z pierwiastkami drugiego stopnia.


Post nr 423

Pole trójkąta utworzonego z trzech zewnętrznie stycznych okręgów

Pole trójkąta wyznaczone przez trzy parami styczne zewnętrznie okręgi, a stosunek pola tego trójkąta do pola trójkąta wyznaczonego przez środki okręgów

 
Dane są trzy okręgi o środkach A, B, C i promieniach równych odpowiednio r, 2r, 3r gdzie zapisujemy o(A, r), o(B, 2r), o(C, 3r). Każde dwa z tych okręgów są zewnętrznie styczne: pierwszy z drugim w punkcie K, drugi z trzecim w punkcie L i pierwszy z trzecim w punkcie M. Oblicz stosunek pola trójkąta KLM do pola trójkąta ABC.







Dane są trzy okręgi o środkach A, B, C i promieniach równych odpowiednio r, 2r, 3r. Każde dwa z tych okręgów są zewnętrznie styczne: pierwszy z drugim w punkcie K, drugi z trzecim w punkcie L i pierwszy z trzecim w punkcie M. Oblicz stosunek pola trójkąta KLM do pola trójkąta ABC. 

Okręgi o środkach A, B, C i promieniach równych odpowiednio r, 2r, 3r zapisujemy o(A, r), o(B, 2r), o(C, 3r).

Rozwiązanie:
- obliczamy pole trójkąta ABC stosując wzór (|AB| · |AC|)/2 ze względu, że trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym, kąt przy wierzchołku A jest prosty, promienie okręgu o środku A są prostopadłe względem siebie
- pole trójkąta KLM należy pomniejszyć o sumę pól poszczególnych trójkątów tj. AKM, BKL, CLM
- pola trójkątów BKL i CLM należy obliczyć połowę iloczynu długości dwóch kolejnych boków i sinusa kąta zawartego między nimi
- wiemy także, że kąty |ABC|=|KBL| i |ACB|=|MCL| co wyznacza nam sinusy
tych kątów w trójkącie ABC.
Ponadto:
10. Jeżeli trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym w,  którym boki są odpowiednio równe 3r, 4r, 5r, to długości tych boków wyznaczają nam ciąg arytmetyczny. Różnica pomiędzy długościami tych boków trójkąta ABC jest równa r.
20. Promienie okręgów są odpowiednio równe r, 2r, 3r, to długości tych promieni wyznaczają nam ciąg arytmetyczny. Różnica pomiędzy długościami tych promieni okręgów jest równa r. 


Dane są trzy okręgi o środkach A, B, C i promieniach równych odpowiednio r, 2r, 3r gdzie zapisujemy o(A, r), o(B, 2r), o(C, 3r). Każde dwa z tych okręgów są zewnętrznie styczne: pierwszy z drugim w punkcie K, drugi z trzecim w punkcie L i pierwszy z trzecim w punkcie M. Oblicz stosunek pola trójkąta KLM do pola trójkąta ABC.
Dane są trzy okręgi o środkach A, B, C i promieniach równych odpowiednio r, 2r, 3r gdzie zapisujemy o(A, r), o(B, 2r), o(C, 3r). Każde dwa z tych okręgów są zewnętrznie styczne: pierwszy z drugim w punkcie K, drugi z trzecim w punkcie L i pierwszy z trzecim w punkcie M. Oblicz stosunek pola trójkąta KLM do pola trójkąta ABC.


Źródło:
Zadanie pobrano z arkusza egzaminacyjnego, matura z matematyki na poziomie rozszerzonym, zadanie nr 5,  w celu podania przykładowego rozwiązania. Zadanie opracowane przez CKE Warszawa. Egzamin przeprowadzono w terminie głównym wśród maturzystów w dn. 9.05.2014 r. 



Równania okręgów online




Post nr 422

Promień okręgu opisanego i wpisanego w trójkąt prostokątny równoramienny

Promień okręgu opisanego i wpisanego w trójkąt prostokątny równoramienny a jego pole i obwód

 

Promień okręgu opisanego i wpisanego w trójkąt prostokątny równoramienny a jego pole i obwód




Jeżeli na trójkącie prostokątnym równoramiennym jest opisany okrąg  i w ten trójkąt jest wpisany okrąg, to można wykazać, że:

1⁰. W trójkącie prostokątnym suma długości promieni okręgów wpisanego i opisanego w tym trójkącie jest równa długości przyprostokątnej tego trójkąta R + r = a.


Ponadto:

1⁰. Wyznaczając promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny równoramienny należy różnicę sumy długości przyprostokątnych a i a trójkąta ABC pomniejszyć o długość przeciwprostokątnej a√2 i podzielić przez 2. Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątnych równoramienny jest równy średniej arytmetycznej różnicy sumy długości przyprostokątnych (a i a) i długości przeciwprostokątnej a√2.
2⁰. Pole trójkąta prostokątnego równoramiennego jest równe ilorazowi długości kwadratu przyprostokątnej a przez 2.
S ∆ ABC = a²/2.
3⁰. Pole trójkąta prostokątnego równoramiennego jest równe iloczynowi średniej arytmetycznej długości obwodu pomnożone przez długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt. Pole S ∆ ABC = p · r dowodził wzór Herona.
S ∆ ABC = p · r, gdzie p = 2a + a√2.
4⁰. Obwód p trójkąta prostokątnego równoramiennego jest równy sumie długości wszystkich boków trójkąta tj. p = 2a + a√2.


Wyznaczamy długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny równoramienny:

Promień okręgu opisanego i wpisanego w trójkąt prostokątny równoramienny a jego pole i obwód

Wykażemy, że w trójkącie prostokątnym równoramiennym suma długości promieni okręgów wpisanego i opisanego w tym trójkącie jest równa długości przyprostokątnej tego trójkąta R + r = a.

Promień okręgu opisanego i wpisanego w trójkąt prostokątny równoramienny a jego pole i obwód

Wykażemy, że długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny równoramienny jest równa r = (2a + a√2)/2 i zwraca nam wzór na pole trójkąta prostokątnego równoramiennego o przyprostokątnych długości a.
Obwód p trójkąta prostokątnego równoramiennego jest równy sumie długości wszystkich boków trójkąta tj. p = 2a + a√2.

Promień okręgu opisanego i wpisanego w trójkąt prostokątny równoramienny a jego pole i obwód




WESPRZYJ BLOGA ZRZUTKĄ


Czytelniku, komentując nie każdy będzie mógł tu pisać co chce. 
Korzystanie z bloga oznacza akceptację Regulaminu.
Regulamin bloga
1. Myśl zanim coś napiszesz – zanim zechcesz skrytykować podane sposoby rozwiązania zadań zastanów się jak możesz z tego skorzystać. Niemniej niektóre wskazówki po Twojej modyfikacji mogą dobrze Ci służyć. Myśl samodzielnie.
2. Wskazówki mogą pomóc Ci zrozumieć matematykę.
3. Kopiując posty z bloga skorzystaj z przycisków udostępniania.
4. Wszystkie komentarze na blogu są moderowane przez autora bloga.
5. Korzystanie z bloga w całości jest nieodpłatne.