Tweety na temat @MinorMatematyka

Pomoce dla klasy

Szukaj na tym blogu lub wpisz post nr 1-535

Układ równań z pierwiastkami

Układ równań z pierwiastkami drugiego i trzeciego stopnia

Wyznacz wszystkie możliwe rozwiązania układu równań w zbiorze liczb rzeczywistych i sprawdź układ.

 




Wyznacz wszystkie możliwe rozwiązania układu równań w zbiorze liczb rzeczywistych i sprawdź układ.



Rozwiązanie:
- wprowadzamy pomocniczą u i v odpowiednio za wartości  ∛(x+y)=u i √(x-y)=v, otrzymamy postać zredukowaną układu równań z założeniem, że x-y≥0
- z otrzymanego układu równań obliczmy wartości u=2 i v=2,
- otrzymane wartości podstawiamy do naszego pomocniczego układu równań
{∛(x+y)=u
{√(x-y)=v i wyznaczamy dla jakich wartości (x, y) układ równań posiada rozwiązanie
- jedynym rozwiązaniem układu równań jest para liczb (x, y)=(6, 2), zatem sprawdzamy układ równań. 

Wyznacz wszystkie możliwe rozwiązania układu równań w zbiorze liczb rzeczywistych i sprawdź układ.
Wyznacz wszystkie możliwe rozwiązania układu równań w zbiorze liczb rzeczywistych i sprawdź układ.
Wyznacz wszystkie możliwe rozwiązania układu równań w zbiorze liczb rzeczywistych i sprawdź układ.

Wykres online 
Wyznacz wszystkie możliwe rozwiązania układu równań w zbiorze liczb rzeczywistych i sprawdź układ.

Post nr 432

Układ równań

Nietypowy układ równań z dwiema niewiadomymi

 

Nietypowy układ równań z dwiema niewiadomymi

Wyznacz wszystkie możliwe rozwiązania układu równań w zbiorze liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie:
- z pierwszego układu równań wyznaczamy wartości x wtedy i tylko wtedy, gdy dwie potęgi są sobie równe.  Dwie potęgi są sobie równe, gdy mają równe podstawy i równe wykładniki, zatem porównując stronami podstawy i wykładniki potęg otrzymamy z pierwszego układu równanie kwadratowe x² + 7x + 12 = 0, z którego wyznaczamy jego pierwiastki.
- gdy y=1, to podstawy potęgi w pierwszym układzie po obu stronach są sobie równe, zatem wyznaczamy dla jakiego x i sprawdzamy czy spełnia warunki zadania
- gdy y=-1, to podstawa potęgi w pierwszym układzie po lewej stronie podniesiona tylko do parzystej potęgi jest równa 1, zatem wyznaczamy dla jakiego x i sprawdzamy czy spełnia warunki zadania.

Nietypowy układ równań z dwiema niewiadomymi


Nietypowy układ równań z dwiema niewiadomymi
Nietypowy układ równań z dwiema niewiadomymi

Wykres online
Nietypowy układ równań z dwiema niewiadomymi


Post nr 431

Średnica okręgu wpisanego w trapez równoramienny

Średnica okręgu wpisanego w trapez równoramienny równa średniej geometrycznej długości podstaw trapezu

 

Średnica okręgu wpisanego w trapez równoramienny równa średniej geometrycznej długości podstaw trapezu







Udowodnij, że średnica okręgu wpisanego w trapez równoramienny ma długość równą średniej geometrycznej długości podstaw trapezu.




Rozwiązanie:
- jeżeli a i b są długościami podstaw trapezu równoramiennego, to ponieważ w trapez równoramienny można wpisać okrąg to spełniony jest warunek, że: |AB|+|CD|=|AD|+|BC|
- ponadto długość odcinka |AE| jest średnią arytmetyczną różnicy długości podstaw trapezu równoramiennego tj. |AE|=(a-b)/2
- w trójkącie AED korzystamy z Twierdzenia Pitagorasa i wyznaczamy długość odcinka |ED|, gdzie jest to wysokość trapezu a także średnica okręgu wpisanego w ten trapez
- odcinek KL jest równy długości średnicy okręgu wpisanego w trapez równoramienny ABCD, zatem |KL|=|ED|=√ab.
Udowodniliśmy, że średnica okręgu wpisanego w trapez równoramienny jest równa średniej geometrycznej długości podstaw tego trapezu a promień jest średnią arytmetyczną średniej geometrycznej długość podstaw tego trapezu.

Średnica okręgu wpisanego w trapez równoramienny równa średniej geometrycznej długości podstaw trapezu
Średnica okręgu wpisanego w trapez równoramienny równa średniej geometrycznej długości podstaw trapezu



Post nr 430

Walec wpisany w stożek

Obliczanie promienia podstawy walca wpisanego w stożek

 

W stożek o promieniu podstawy długości 6 wpisano walec, w ten sposób, że jedna podstawa walca zawiera się w podstawie stożka, a brzeg jego drugiej podstawy zawiera się w powierzchni bocznej stożka. Oblicz promień podstawy walca, jeżeli jego objętość stanowi 4/9 objętości stożka.








W stożek o promieniu podstawy długości 6 wpisano walec, w ten sposób, że jedna podstawa walca zawiera się w podstawie stożka, a brzeg jego drugiej podstawy zawiera się w powierzchni bocznej stożka. Oblicz promień podstawy walca, jeżeli jego objętość stanowi 4/9 objętości stożka.


Rozwiązanie:

- rysujemy przekrój osiowy stożka i oznaczamy przez H i r wysokość i promień podstawy walca
- zauważmy, że trójkąty ACF i AOS są podobne. Korzystając z tego podobieństwa otrzymamy proporcję, że: |AC|/|CF|=|AO|/|OS|. Wyznaczamy długość wysokości walca.
- korzystając z informacji, że objętość walca stanowi 4/9 objętości stożka wyznaczamy długość promienia podstawy walca. Po przekształceniu otrzymujemy równanie trzeciego stopnia, które rozwiązujemy stosując odpowiednie grupowanie wyrazów.
- zatem jedynym rozwiązaniem równania jest 4, zatem promień podstawy walca ma długość 4.

W stożek o promieniu podstawy długości 6 wpisano walec, w ten sposób, że jedna podstawa walca zawiera się w podstawie stożka, a brzeg jego drugiej podstawy zawiera się w powierzchni bocznej stożka. Oblicz promień podstawy walca, jeżeli jego objętość stanowi 4/9 objętości stożka.


W stożek o promieniu podstawy długości 6 wpisano walec, w ten sposób, że jedna podstawa walca zawiera się w podstawie stożka, a brzeg jego drugiej podstawy zawiera się w powierzchni bocznej stożka. Oblicz promień podstawy walca, jeżeli jego objętość stanowi 4/9 objętości stożka.


Post nr 429
 

Promień okręgu stycznego do dwóch okręgów

Promień mniejszego okręgu stycznego do dwóch większych okręgów wpisanych w prostokąt

Promień mniejszego okręgu stycznego do dwóch większych okręgów wpisanych w prostokąt


















W prostokąt wpisano trzy parami styczne okręgi w ten sposób, że dwa z nich są styczne do trzech boków, prostokąta, a trzeci jest styczny do jednego z boków prostokąta (patrz rysunek). Oblicz promień okręgu EF mniejszego okręgu jeżeli promień większego okręgu jest równy R.

Rozwiązanie:
- łączymy środki okręgów większego i mniejszego z punktem styczności większych okręgów, otrzymujemy w ten sposób trójkąt prostokątny
- korzystamy z Twierdzenia Pitagorasa, gdzie przyprostokątne tego trójkąta mają długość R, R-|EF| a przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość R+|EF|
- obliczmy z otrzymanej równości długość odcinka EF. Długość EF jest długością promienia mniejszego okręgu.

Promień mniejszego okręgu stycznego do dwóch większych okręgów wpisanych w prostokąt


Post nr 428

WESPRZYJ BLOGA ZRZUTKĄ


Czytelniku, komentując nie każdy będzie mógł tu pisać co chce. 
Korzystanie z bloga oznacza akceptację Regulaminu.
Regulamin bloga
1. Myśl zanim coś napiszesz – zanim zechcesz skrytykować podane sposoby rozwiązania zadań zastanów się jak możesz z tego skorzystać. Niemniej niektóre wskazówki po Twojej modyfikacji mogą dobrze Ci służyć. Myśl samodzielnie.
2. Wskazówki mogą pomóc Ci zrozumieć matematykę.
3. Kopiując posty z bloga skorzystaj z przycisków udostępniania.
4. Wszystkie komentarze na blogu są moderowane przez autora bloga.
5. Korzystanie z bloga w całości jest nieodpłatne.