Tweety na temat @MinorMatematyka

Pomoce dla klasy

Szukaj na tym blogu lub wpisz post nr 1-535

Wielościany foremne, bryły platońskie

Wielościany foremne, bryły platońskie

 

Wielościany foremne, bryły platońskie
                                               Źródło: Animacja Walter Fendt


Wielościan foremny (bryła platońska)wielościan spełniający następujące trzy warunki:
Wielościany foremne są szczególnym przypadkiem wielościanów półforemnych (archimedesowskich), w których foremne ściany nie muszą być identyczne (tj. wzajemnie przystające).


Wielościanem foremnym (bryłą platońską) nazywamy wielościan wypukły, którego wszystkie ściany są  przystającymi wielokątami foremnymi i wszystkie katy dwuścienne wyznaczone przez ściany są równe.
Istnieje tylko pięć wielościanów foremnych - czworościan,
sześcian, ośmiościan, dwunastościan, dwudziestościan.

Czworościan (tetraedr)
4 ściany trójkątne, 4 wierzchołki, 6 krawędzi.
Każda z jego ścian jest trójkątem równobocznym. Jest on szczególnym przypadkiem ostrosłupa prawidłowego trójkątnego.
  

Sześcian (heksaedr)
6 ścian kwadratowych, 8 wierzchołków, 12 krawędzi.
Sześcian foremny to wielościan foremny o sześciu ścianach w kształcie identycznych kwadratów. Kąt między ścianami sześcianu jest kątem prostym. Sześcian foremny jest szczególnym przypadkiem graniastosłupa prawidłowego, prostopadłościanu i romboedru.


Ośmiościan (oktaedr)
8 ścian trójkątnych, 6 wierzchołków, 12 krawędzi.
Ośmiościan foremny to wielościan foremny o ośmiu ścianach w kształcie identycznych trójkątów równobocznych. Ma cztery pary ścian do siebie równoległych. Jest także antygraniastosłupem.


Dwunastościan (dodekaedr)
12 ścian pięciokątnych, 20 wierzchołków, 30 krawędzi.

Dwudziestościan (ikosaedr)
20 ścian trójkątnych, 12 wierzchołków, 30 krawędzi

Dlaczego wielościanów foremnych nie może być więcej niż pięć?
Suma wszystkich kątów płaskich kąta bryłowego musi być mniejsza od 360°.

Z trójkątów można zbudować trzy wielościany foremne, gdzie z jednego wierzchołka mogą wychodzić:
- 3 krawędzie (60° × 3 = 180° < 360°)
- 4 krawędzie (60° × 4 = 240° < 360°)
- 5 krawędzi (60° × 5 = 300° < 360°).

Z kwadratów składać się może tylko jeden wielościan (3 × 90° = 270°).

Z pięciokątów foremnych składać się może również tylko jeden, gdyż kąt pięciokąta foremnego ma miarę 108°  (3 × 108° < 360°).

Z sześciokątów, ani tym bardziej z wielokątów o większej liczbie boków, wielościanu foremnego zbudować się nie można.  


Wielościany foremne w przestrzeni trójwymiarowej:
 Wielościany foremne, bryły platońskie
 
 Źródło: Zdjęcie Wikipedia


Wielościany foremne, bryły platońskie



Post nr 438

Tunele w kostce sześciennej zbudowanej z kart

14 tuneli w tym 6 kwadratowych i 8 trójkątnych prowadzących do środka sześcianu foremnego zbudowanego z kart, George Hart

 

14 tuneli w tym 6 kwadratowych i 8 trójkątnych prowadzących do środka sześcianu foremnego zbudowanego z kart, George Hart





Stanowi ciekawą rzeźbę 10 cm kostki. Powinien on być wyświetlany stojący na rogu, jak przedstawiono, 15 cm wysokości. Pamiętaj, że to jest trudniejsze niż się wydaje i wymaga trochę starań, aby uniknąć zginania lub uszkodzenia karty. Mamy wstępnie wycięte szczeliny w każdej karcie z właściwą długością i kątami.


14 tuneli w tym 6 kwadratowych i 8 trójkątnych prowadzących do środka sześcianu foremnego zbudowanego z kart, George Hart


Przy prawidłowym montażu, istnieje 6 tuneli kwadratowych prowadzących do centrum, jak ten pokazany powyżej.
Każdy kwadratowy tunel zaczyna się w środku ściany powierzchni, przechodzi przez środek kostki sześciennej i do przeciwległej ściany powierzchni. Boki tunelu są obrócone o 45 stopni w stosunku do boków sześciennej kostki.




14 tuneli w tym 6 kwadratowych i 8 trójkątnych prowadzących do środka sześcianu foremnego zbudowanego z kart, George Hart


Istnieje również 8 trójkątnych tuneli prowadzących do centrum, jak ten pokazany powyżej. Każdy zaczyna się w kącie narożnika (wierzchołka), przechodzi przez środek sześcianu, do przeciwległego narożnika (wierzchołka). Więc centrum sześcianu jest kompleksem tuneli układów przecinających się na czternaście sposobów wyjść.

Film przedstawiający proces budowania sześcianu z kart z 14 tunelami w tym 6 tuneli kwadratowych i 8 tuneli trójkątnych.




Źródło: Film George Hart


14 tuneli w tym 6 kwadratowych i 8 trójkątnych prowadzących do środka sześcianu foremnego zbudowanego z kart, George Hart






George Hart przedstawił również ciekawe rzeźby z ołówków (więcej)


Post nr 437

Sprawdzanie czy podane zdanie jest tautologią

Metoda zero-jedynkowa dla zdań składowych p, q, r, s sprawdzająca czy badane zdanie jest tautologią

Sprawdzanie czy podane zdanie jest tautologią za pomocą tabelki zero-jedynkowej.


Zdania, które są zawsze prawdziwe, niezależnie od wartości logicznej zdań składowych, nazywamy TAUTOLOGIAMI.
Budujemy tabelę tzw. zero-jedynkową i zapisujemy wszystkie możliwe wartości logiczne zdań składowych p, q, r, s, które zdania te mogą przyjmować niezależnie od siebie. Następnie zapisujemy wartości logiczne zdań, z których zbudowane jest zdanie badane. Jeśli w ostatniej kolumnie wartości logiczne badanego zdania są jedynie jedynkami, to zdanie jest Tautologią.
Jeśli w ostatniej kolumnie wartości logiczne badanego zdania są jedynie zerami, to zdanie jest Kontrtautologią.
Jeśli w ostatniej kolumnie wartości logiczne badanego zdania są jedynkami lub zerami, to zdanie nie jest Tautologią i nie jest Kontrtautologią.
 
Wyznaczyć brakujące wartości logiczne zdań składowych. 

Sprawdzanie czy podane zdanie jest tautologią za pomocą tabelki zero-jedynkowej.

Otrzymaliśmy w ostatniej kolumnie jedynie jedynki, zatem badane zdanie jest tautologią.

W jaki sposób wypisać wszystkie możliwości liczbowe zdań składowych p, q, r, s?
W tym celu można posłużyć się drzewem lub schematem, który przedstawiłem w powyższej tabeli.

W jaki sposób wypisać wszystkie możliwości liczbowe zdań składowych p, q, r, s?


Jak zapisać wartości logiczne zdań w tabeli?
Drzewo opisuje przebieg jak budujemy tabelę tzw. zero-jedynkową.
Zaczynamy od górnej gałązki 0 (zdanie p), następnie po odpowiednich gałązkach schodzimy do ostatniej wartości logicznej 0 (zdanie s). Zatem otrzymujemy pierwszą (1) możliwość wartości logicznych zdań: 0000.
Dalej postępujemy zgodnie z powyższym opisem schodząc odpowiednio do drugiej (2), trzeciej (3), itd. możliwości  wartości logicznych zdań
(1)    0000
(2)    0001
(3)    0010
...


W rozważaniach matematycznych spotykamy się ze zdaniami zbudowanymi z prostych zdań twierdzących lub ich zaprzeczeń, połączonych takimi wyrażeniami (spójnikami) jak: i, lub, jeżeli, to; wtedy i tylko wtedy, gdy; nieprawda, że. Wyrażenie te nazywamy spójnikami zdaniotwórczymi. Zdaniami prostymi będziemy nazywać takie stwierdzenia, o których możemy powiedzieć, że są prawdziwe (mają wartość logiczną 1) lub fałszywe (mają wartość logiczną 0).

Analizą zdań złożonych, tzn. zbudowanych ze zdań prostych połączonych spójnikami, zajmuje się rachunek zdań.



Z tego materiału dowiesz się z klasycznego rachunku zdań o:
1. Schematy zdań
2. Tabelki zero-jedynkowe i ich zastosowanie
3. Tautologie i Kontrtautologie
4. Skrócona metoda zero-jedynkowa
5. Prawda logiczna i zdania wewnętrznie sprzeczne
6. Wynikanie logiczne
7. Wnioskowanie
i inne zagadnienia.

Post nr 436

Wartości logiczne zdań składowych

Jak zapamiętać wartości logiczne zdań składowych?



Jak zapamiętać wartości logiczne zdań składowych?




Po prawej stronie tabel opisano jakie zdanie/a składowe należy zapamiętać i ich wartości w rachunku zdań tak, żeby sposób zapamiętania był najłatwiejszy. 
W pewnym sensie spójniki logiczne nam same podpowiadają.
W alternatywie ze spójnika v możemy zrobić 0, zatem tylko 0 i 0 daje 0, pozostałe dają 1.
W koniunkcji spójnik
przypomina 1, zatem tylko 1 i 1 daje 1, pozostałe dają 0.
W implikacji => tylko wartości 10 po dopisaniu 0 dają 100, pozostałe dają 1.
W równoważności <=> takie same spójniki dają prawdę tj. 1, zasada równowagi, pozostałe dają 0.
W dysjunkcji mamy zaprzeczenie koniunkcji, zatem 1 i 1 daje 0, pozostałe dają 1.
Jak zapamiętać wartości logiczne zdań składowych?






Na wesoło:

Wartości logiczne zdań składowych


W rozważaniach matematycznych spotykamy się ze zdaniami zbudowanymi z prostych zdań twierdzących lub ich zaprzeczeń, połączonych takimi wyrażeniami (spójnikami) jak: i, lub, jeżeli, to; wtedy i tylko wtedy, gdy; nieprawda, że. Wyrażenie te nazywamy spójnikami zdaniotwórczymi. Zdaniami prostymi będziemy nazywać takie stwierdzenia, o których możemy powiedzieć, że są prawdziwe (mają wartość logiczną 1) lub fałszywe (mają wartość logiczną 0).

Analizą zdań złożonych, tzn. zbudowanych ze zdań prostych połączonych spójnikami, zajmuje się rachunek zdań.

Alternatywa zdań
Zdanie złożone p v q, w którym zdania proste p, q są połączone spójnikiem lub nazywamy alternatywą zdań.
Alternatywa dwóch zdań (p v q) jest fałszywa (przyjmuje wartość logiczną 0) wtedy i tylko wtedy, gdy pierwszy i drugi człon zdania jest fałszywy [0v0, fałsz].


Koniunkcja zdań
Zdanie złożone p Λ q, w którym zdania proste p, q są połączone spójnikiem i nazywamy koniunkcją zdań.
Koniunkcja dwóch zdań (p Λ q) jest prawdziwa (przyjmuje wartość logiczną 1) wtedy i tylko wtedy, gdy pierwszy i drugi człon zdania jest prawdziwy [1 Λ 1, prawda].


Implikacja zdań
Zdanie złożone p => q, w którym zdania proste p, q są połączone spójnikiem jeżeli, to;  nazywamy implikacją zdań.
Implikacja dwóch zdań (p => q) jest fałszywa (przyjmuje wartość logiczną 0) wtedy i tylko wtedy, gdy poprzednik jest prawdziwy i następnik jest fałszywy, z prawdy nigdy nie wynika fałsz [1=>0, fałsz].


Uwaga: Poprzednik i następnik występuje tylko w implikacji!


Równoważność zdań
Zdanie złożone p <=> q, w którym zdania proste p, q są połączone spójnikiem wtedy i tylko wtedy, gdy nazywamy równoważnością zdań.
Równoważność dwóch zdań (p <=> q) jest prawdziwa (przyjmuje wartość logiczną 1) wtedy i tylko wtedy, gdy pierwszy i drugi człon zdania jest prawdziwy lub
pierwszy i drugi człon zdania jest fałszywy [1<=>1; 0<=>0, prawda].


Zaprzeczenie (negacja)
Zaprzeczeniem ~p (negacją) zdania p jest nieprawda, że p (lub nie p).
Zaprzeczenie (negacja) zdania prawdziwego jest zdaniem fałszywym, zaprzeczenie (negacja) zdania fałszywego jest zdaniem prawdziwym. 


Dysjunkcja (zaprzeczanie koniunkcji)
Zdanie złożone p | q lub zapisujemy p / q, w którym zdania proste p, q są połączone spójnikiem Nieprawda, że zarazem... i ... nazywamy dysjunkcją zdań.
Dysjunkcja dwóch zdań (p | q) jest fałszywa (przyjmuje wartość logiczną 0) wtedy i tylko wtedy, gdy pierwszy i drugi człon zdania jest prawdziwy [1 | 1, fałsz].

Zdania, które są zawsze prawdziwe, niezależnie od wartości logicznej zdań składowych, nazywamy TAUTOLOGIAMI (więcej).

Post nr 435

WESPRZYJ BLOGA ZRZUTKĄ


Czytelniku, komentując nie każdy będzie mógł tu pisać co chce. 
Korzystanie z bloga oznacza akceptację Regulaminu.
Regulamin bloga
1. Myśl zanim coś napiszesz – zanim zechcesz skrytykować podane sposoby rozwiązania zadań zastanów się jak możesz z tego skorzystać. Niemniej niektóre wskazówki po Twojej modyfikacji mogą dobrze Ci służyć. Myśl samodzielnie.
2. Wskazówki mogą pomóc Ci zrozumieć matematykę.
3. Kopiując posty z bloga skorzystaj z przycisków udostępniania.
4. Wszystkie komentarze na blogu są moderowane przez autora bloga.
5. Korzystanie z bloga w całości jest nieodpłatne.