Tweety na temat @MinorMatematyka

Pomoce dla klasy

Szukaj na tym blogu lub wpisz post nr 1-535

Potęgi o wykładniku naturalnym jednostki urojonej

Potęgi o wykładniku naturalnym jednostki urojonej w liczbach zespolonych

 

Potęgi o wykładniku naturalnym jednostki urojonej w liczbach zespolonych




W działaniach na liczbach zespolonych, gdy wykładnik w potędze jest dużą liczbą naturalną, to zawsze da się je uprościć.
Korzystając z podstawowych działań na potęgach otrzymujemy własności mnożenia potęg o tych samych podstawach lub tych samych wykładnikach czyli potęgowanie potęgi.
Wynika, że i podniesione do dowolnej potęgi zawsze daje jedną z czterech liczb: 1, i, -1, -i.
Na 16 poniższych przykładach można wyznaczyć regułę, jaka występuje w kolejnych potęgach jednostki urojonej. Wyniki tych potęg są cyklicznymi i powtarzającymi się liczbami 1, i, -1, -i.
Tą obserwację można sformułować w następującym twierdzeniu:

Twierdzenie Niech n będzie liczbą naturalną. Wówczas:
  • i^n = i, jeżeli reszta z dzielenia liczby n przez 4 jest równa 1.
  • i^n = -1, jeżeli reszta z dzielenia liczby n przez 4 jest równa 2.
  • i^n = -i, jeżeli reszta z dzielenia liczby n przez 4 jest równa 3.
  • i^n = 1, jeżeli reszta z dzielenia liczby n przez 4 jest równa 0. 
 

Potęgi o wykładniku naturalnym jednostki urojonej w liczbach zespolonych


Potęgi o wykładniku naturalnym jednostki urojonej w liczbach zespolonych


Potęgi o wykładniku naturalnym jednostki urojonej w liczbach zespolonych
Potęgi o wykładniku naturalnym jednostki urojonej w liczbach zespolonych


II sposób
Korzystamy z własności potęgowania potęgi:
Potęgi o wykładniku naturalnym jednostki urojonej
Potęgi o wykładniku naturalnym jednostki urojonej
Post nr 445

Równanie pierwiastkowe

Równanie pierwiastkowe z dwoma pierwiastkami wewnętrznymi

Równanie pierwiastkowe z dwoma pierwiastkami wewnętrznymi




Rozwiąż równanie pierwiastkowe z dwoma pierwiastkami wewnętrznymi w zbiorze liczb rzeczywistych.


Rozwiązanie:
I sposób
W rozwiązaniu równaniu równania pierwiastkowego skorzystano z:
- równania pomocniczego dla x = 2 cost

- funkcji kąta podwojonego dla sinusa
- kwadratu funkcji sinus
- kwadratu funkcji cosinus
- jedynki trygonometrycznej, która ma postać: sin2α +cos2α =1
- sumy funkcji trygonometrycznych sinusa i cosinusa.

Równanie pierwiastkowe z dwoma pierwiastkami wewnętrznymi

Równanie pierwiastkowe z dwoma pierwiastkami wewnętrznymi





Równanie pierwiastkowe z dwoma pierwiastkami wewnętrznymi





Równanie pierwiastkowe z dwoma pierwiastkami wewnętrznymi
 Wy




Wykres online



II sposób
Równanie pierwiastkowe doprowadzamy do równania wielomianowego ósmego stopnia i korzystając z metody Newtona wyznaczmy przybliżone pierwiastki równania.

Równanie pierwiastkowe z dwoma pierwiastkami wewnętrznymi
Równanie pierwiastkowe z dwoma pierwiastkami wewnętrznymi




Post nr 444

Równanie wykładnicze

Równanie wykładnioczo-pierwistkowe z pierwiastkiem drugiego stopnia

 

Równanie wykładnioczo-pierwistkowe z pierwiastkiem drugiego stopnia





Rozwiązanie równania:
I sposób
- wyznaczamy dziedzinę równania z założenia, że wartość pod pierwiastkiem drugiego stopnia jest zawsze większa lub równa 0. Otrzymujemy równanie wykładnicze, w tym przypadku porównujemy wykładniki oraz skorzystamy z faktu, że w tym zadaniu funkcja jest malejąca a=2/3 (0<a<1), zatem (x₁<x₂ <=>a^x₁<a^x₂) opuszczając podstawę, zmieniamy znak nierówności między wykładnikami na przeciwny. Zatem D: x≤0
- pozbywamy się znaku pierwiastka kwadratowego z wartości wyrażenia po prawej stronie, podnosząc obustronnie równanie do kwadratu. Po uwolnieniu się od pierwiastka kwadratowego wynika, że wyrażenie po prawej stronie równania jest zawsze większe lub równe 0 dla każdego x≤0
- otrzymaliśmy równanie wykładnicze w  którym stosujemy wzór skorconego mnożenia na kwarta różnicy. Doprowadzamy równanie do najprostszej postaci.
- wprowadzamy pomocniczą t za wartość wyrażenia (2/3)^x, gdzie z założenia t>0
- równanie wykładnicze sprowadziliśmy do równania kwadratowego względem t, obliczamy pierwiastki równania kwadratowego i przyjmujemy t>0 jako rozwiązania naszego równania pomocniczego.
- wyznaczamy rozwiązania równania wykładniczego z równań pomocniczych sprawdzając, która z otrzymanych wartości należy do dziedziny.
- sprawdzamy równanie dla otrzymanych wartości x stwierdzając, że L=P po podstawieniu tej wartości do równania wyjściowego. Równanie posiada dwa rozwiązania. 


Równanie wykładnioczo-pierwistkowe z pierwiastkiem drugiego stopnia


Równanie wykładnioczo-pierwistkowe z pierwiastkiem drugiego stopnia


Sprawdzenie rozwiązania równania:
Równanie wykładnioczo-pierwistkowe z pierwiastkiem drugiego stopnia

Wykres funkcji i wartości logarytmów


II sposób

Równanie wykładnioczo-pierwistkowe z pierwiastkiem drugiego stopnia




Post nr 443

Granica funkcji

Granica funkcji z liczbą e, gdy n dąży do plus lub minus nieskończoności

 
Granica funkcji z liczbą e, gdy n dąży do plus lub minus nieskończoności


4 przykłady z wyznaczeniem granicy funkcji z liczbą e, gdy n->+∞ lub n->-∞.

Granica funkcji z liczbą e, gdy n dąży do plus lub minus nieskończoności


I przykład
Wyznacz granicę funkcji, gdy n->+∞
Granica funkcji z liczbą e, gdy n dąży do plus lub minus nieskończoności


II przykład
Wyznacz granicę funkcji, gdy n->-∞:
Granica funkcji z liczbą e, gdy n dąży do plus lub minus nieskończoności


Wykres funkcji:





III przykład
Wyznacz granicę funkcji, gdy n->+∞:
Granica funkcji z liczbą e, gdy n dąży do plus lub minus nieskończoności




IV przykład
Wyznacz granicę funkcji, gdy n->-∞:
Granica funkcji z liczbą e, gdy n dąży do plus lub minus nieskończoności


Wykres funkcji:



Sprawdź jak obliczyć granicę ciągu liczbowego z liczbą e (więcej).

Post nr 442 

WESPRZYJ BLOGA ZRZUTKĄ


Czytelniku, komentując nie każdy będzie mógł tu pisać co chce. 
Korzystanie z bloga oznacza akceptację Regulaminu.
Regulamin bloga
1. Myśl zanim coś napiszesz – zanim zechcesz skrytykować podane sposoby rozwiązania zadań zastanów się jak możesz z tego skorzystać. Niemniej niektóre wskazówki po Twojej modyfikacji mogą dobrze Ci służyć. Myśl samodzielnie.
2. Wskazówki mogą pomóc Ci zrozumieć matematykę.
3. Kopiując posty z bloga skorzystaj z przycisków udostępniania.
4. Wszystkie komentarze na blogu są moderowane przez autora bloga.
5. Korzystanie z bloga w całości jest nieodpłatne.