Tweety na temat @MinorMatematyka

Nowość! Snapchat: matematycznyswi

 Snapchat: matematycznyswi

Szukaj na tym blogu lub wpisz post nr 1-504

wtorek, 10 listopada 2015

Działania na liczbach zespolonych

Działania na liczbach zespolonych w postaci algebraicznej. Usuwanie liczby zespolonej z mianownika ułamka poprzez jej sprzężenie.
Potęgowanie liczb zespolonych wzorem de Moivre'a.
Pierwiastkowanie liczb zespolonych ze wzoru na pierwiastki stopnia n-tego.

Działania na liczbach zespolonych


Definicja liczby zespolonej:
Liczbą zespoloną nazywamy parę uporządkowaną liczb rzeczywistych (a,b). Często taką parę zapisuje się w postaci sumy:
z = a+bi , gdzie  i2=-1.
Tą postać liczby zespolonej nazywamy postacią kanoniczną. Liczbę a nazywamy częścią rzeczywistą, zaś liczbę b częścią urojoną liczby zespolonej z. Część rzeczywista oznaczamy Re z, a część urojoną symbolem Im z, mamy więc:
Re z = a
Im z = b.

Liczba zespolona jest równa zero wtedy i tylko wtedy, gdy Re z = 0 i Im z = 0. 

Dwie liczby zespolone są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są równe odpowiednio ich części rzeczywiste i urojone.

Liczbę zespoloną postaci   a-bi  nazywamy liczbą sprzężoną do liczby z=a+bi,
i oznaczamy ją z reguły symbolem. Liczbie tej odpowiada na płaszczyźnie punkt, który jest położony symetrycznie do punktu (a,b) względem osi Ox.  
Liczby zespolone postaci a+0i zapisujemy jako a  i utożsamiamy z liczbami rzeczywistymi. 
Liczbom rzeczywistym  a = a+0i odpowiadają punkty na płaszczyźnie o rzędnej równej zeru, tzn. punkty osi odciętych (osi Ox). Dlatego oś odciętych nazywamy osią rzeczywistą.

Jeżeli część rzeczywista liczby zespolonej jest równa zero, to liczba ma postać bi  i nazywamy ją liczbą urojoną. Liczbom urojonym bi = 0 +bi  odpowiadają punkty o odciętej równej zeru, tzn. punkty osi rzędnych (osi Oy). Dlatego oś rzędnych nazywamy osią urojoną.

Działania na liczbach zespolonych.
Na liczbach zespolonych możemy wykonywać podobnie jak na liczbach rzeczywistych podstawowe działania. 
Liczby zespolone dodajemy, odejmujemy i mnożymy tak, jak wyrażenia algebraiczne pamiętając, że i2=-1.  
Działania arytmetyczne na liczbach zespolonych są rozszerzeniem działań na liczbach rzeczywistych, tzn. w przypadku liczb rzeczywistych jest obojętne czy np. mnożymy je jako liczby rzeczywiste czy zespolone z częścią urojoną równą zero. Z podanych definicji działań na liczbach zespolonych wynika, że działania dodawania i mnożenia liczb zespolonych są łączne i przemienne oraz mnożenie jest rozdzielne względem dodawania. Zachowane są również znane własności odejmowania i dzielenia. Powyższe stwierdzenia powodują, że dla liczb zespolonych prawdziwe są wzory skróconego mnożenia, wzór dwumianowy Newtona, twierdzenie Bezout itd.. Nie określamy natomiast nierówności liczb zespolonych innych niż rzeczywiste. 


W działaniach na liczbach zespolonych wykorzystujemy:


1. Usuwanie liczby zespolonej z mianownika ułamka poprzez jej sprzężenie.
Sprzężenie zespolone z¯=abi,to jednoargumentowe działanie algebraiczne określone na liczbach zespolonych polegające na zmianie znaku części urojonej danej liczby zespolonej z=a+bi.
2. Potęgowanie liczb zespolonych wzorem de Moivre'a. Postać trygonometryczna liczby zespolonej jest szczególnie przydatna przy podnoszeniu do potęgi i obliczaniu pierwiastka z tej liczby. Gdy weźmiemy wzór na mnożenie liczb zespolonych w tej postaci  dla   z1 = z2 i rozszerzymy na dowolną ilość liczb zespolonych, to otrzymamy wzór na n-tą (n – liczba naturalna) potęgę liczby zespolonej zwany wzorem  Moivre’a. Dzięki temu wzorowi w bardzo prosty sposób możemy podnosić liczby zespolone do potęgi i to dowolnie dużej.
3. Pierwiastkowanie liczb zespolonych ze wzoru na pierwiastki stopnia n-tego.



Działania na liczbach zespolonych




21 przykładów z działań na liczbach zespolonych.
W przykładach wykorzystano także własność, że i2=-1.

Działania na liczbach zespolonych


Działania na liczbach zespolonych

Działania na liczbach zespolonych
Działania na liczbach zespolonych

Działania na liczbach zespolonych
Działania na liczbach zespolonych
Działania na liczbach zespolonych
Działania na liczbach zespolonych
Działania na liczbach zespolonych
Działania na liczbach zespolonych

Działania na liczbach zespolonych
Działania na liczbach zespolonych



Post nr 468

Regulamin bloga

Czytelniku, miło kiedy komentujesz posty. Chętnie zapoznam się także z innym Twoim punktem widzenia w podanym rozwiązaniu zadania. Jednak, aby ten blog stanowił dla Czytelników pewną wartość, nie mogę pozwolić, żeby każdy mógł tu pisać co tylko chce.

Blog wymaga wiele czasu pracy, godzin pracy, których nie widać i jako jego autor chcę się na nim dobrze czuć.
Niniejszy Regulamin określa zasady korzystania z bloga www.matematyczny-swiat.pl. Korzystanie z bloga oznacza akceptację Regulaminu.



$1

Sprawy organizacyjne

1. Jeżeli uważasz, że w jakimś temacie czujesz się bardziej kompetentny, to napisz jak to wygląda z Twojego punktu widzenia.

2. Myśl zanim coś napiszesz – zanim zechcesz skrytykować moje sposoby rozwiązania zadań zastanów się jak możesz z tego skorzystać. Jeszcze raz – nie twierdzę, że wszystko co napiszę będzie dla Ciebie pomocne. Niemniej niektóre wskazówki po Twojej modyfikacji mogą dobrze Ci służyć. Myśl samodzielnie.

3. Ten blog to miejsce, w którym publikuję wskazówki, które mogą pomóc Czytelnikom zrozumieć i nauczyć się rozwiązywać zadania matematyczne.

4. Dozwolone jest kopiowanie zdjęć z bloga na portale społecznościowe lub inne blogi z bezwzględnym podaniem aktywnego linka do bloga. Niedozwolone jest kopiowanie zdjęć i treści bez podania aktywnego linka.

5. Pamiętaj, żeby w ramach kopiowania zdjęć z bloga korzystać z przycisków udostępniania dostępnych w postach na blogu.

6. Zdjęcia w postach na blogu są mojego autorstwa i własnością intelektualną, a zdjęcia kopiowane na mój blog są zawsze z podaniem źródła.

7. Blog posiada jednego autora. Autorem bloga jest Robert Karolewski.

8. Zabrania się, przerabiania, przystosowywania, usuwania logotypu lub dokonywania jakichkolwiek innych zmian w zdjęciach na potrzeby własnej publikacji i przypisywanie im autorstwa. Dopuszczalne jest na własne potrzeby bez ich publikacji.

9. Wszystkie zdjęcia na blogu mojego autorstwa zawierają logotyp Minor Matematyczny Świat.
10. Przykłady w zadaniach prezentowane na blogu są przygotowane przeze mnie i moją własnością intelektualną. Na blogu również dostępne są przykładowe zadania z jakimi można spotkać się na różnym poziomie nauczania.
11. Rozwiązania wszystkich zadań z arkuszy maturalnych posiadają logotyp wobec tego, że są to moje przykładowe odpowiedzi.

12. Niniejszy regulamin obowiązuje również na wszystkich moich portalach społecznościowych.

13. Korzystanie z bloga w całości jest nieodpłatne i dostępne dla wszystkich Czytelników.


$2

Komentarze

14. Wszystkie komentarze na blogu są publikowane automatycznie i moderowane przez autora bloga.

a) Jeśli komentarze są obraźliwe zarówno w stosunku do mnie jak i do innych Czytelników, to zostaną usunięte lub ukryte.

b) Jeśli komentarze są niezwiązane z tematem wpisu, to zostaną usunięte lub ukryte.

c). Jeśli komentarze są spamem. Za spam uznaję linki do innych stron, podpisywanie się adresem www, dodawanie adresu strony pod komentarzem, reklama, to zostaną usunięte lub ukryte.


Osoby, które nie będą stosowały się do powyższych zasad $2 mają gwarancję, że ich komentarz pojawi się chwilę na blogu. W skrajnych przypadkach Twoje konto zostanie zablokowane.