Tweety na temat @MinorMatematyka

Pomoce dla klasy

Szukaj na tym blogu lub wpisz post nr 1-535

Trapez równoramienny i trójkąt równoramienny wpisany w okrąg (koło)

Jak udowodnić, że trapez równoramienny i trójkąt równoramienny wpisany w okrąg (koło) mają takie same pola, gdy ramię trójkata to przekątna trapezu.

Trapez równoramienny i trójkąt równoramienny wpisany w okrąg (koło)







Udowodnij, że trapez równoramienny i trójkąt równoramienny wpisany w okrąg (koło) mają takie same pola powierzchni. Wiedząc, że dłuższa podstawa trapezu jest średnicą okręgu, a ramiona trójkąta są równolegle do ramion trapezu. Przekątna trapezu jest równa ramieniu trójkąta.

Rozwiązanie: 

Znamy twierdzenie:

Twierdzenie I. Okrąg (koło) można opisać na czworokącie wtedy i tylko wtedy, gdy sumy przeciwległych kątów są równe 180o tzn.: |BAD| + |BCD| = |ABC| + |ADC| = 180o.


Trapez równoramienny i trójkąt równoramienny wpisany w okrąg (koło)






Trapez równoramienny i trójkąt równoramienny wpisany w okrąg (koło)






Post nr 475

Arkusz maturalny 2016 próbny z matematyki

Próbna matura z matematyki z Operonem 25.11.2015 r. Odpowiedzi do arkusza próbnej matury z Operonem, matematyka Matura 2016, poziom podstawowy 


Próbna matura z matematyki z Operonem 25.11.2015 r. Odpowiedzi do arkusza próbnej matury z Operonem, matematyka Matura 2016, poziom podstawowy








Zadanie 1
Liczba a=8²³ i 4¹⁷ jest równa liczbie:
Zadanie 2
Liczbą wymierną jest liczba:
Zadanie 3
Wyrażenie (√7-√3)² jest równe:
Zadanie 4
Funkcja f(x)=(x+6)² ma:
Zadanie 5
Tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym jest równy 3/4, a przeciwprostokątna ma długość 30. Krótsza przyprostokątna trójkąta ma długość:

Próbna matura z matematyki z Operonem 25.11.2015 r. Odpowiedzi do arkusza próbnej matury z Operonem, matematyka Matura 2016, poziom podstawowy







Zadanie 6
Jeśli cena towaru najpierw zmniejszyła się o 10%, a następnie zwiększyła się o 20%, to po tych dwóch operacjach wyjściowa cena towaru:
Zadanie 7
Maksymalny przedział otwarty, w którym funkcja f(x)=−4x²+16x−23 jest rosnąca, to:
Zadanie 8
Zbiór rozwiązań nierówności x-√3x>2 to:

Próbna matura z matematyki z Operonem 25.11.2015 r. Odpowiedzi do arkusza próbnej matury z Operonem, matematyka Matura 2016, poziom podstawowy






Rozwiązanie graficzne do zadania 8.
Uwaga! Liczba 1-√3 jest ujemna, dlatego zmieniamy kierunek znaku na przeciwny przy dzieleniu. Następnie usuwamy niewymierność z mianownika ułamka.


Zadanie 9
W okrąg o środku O wpisao trójkąt ostrokątny ABC. Jeśli ABO =48°, to:
Zadanie 10
Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym an =−3n+118. Liczba dodatnich wyrazów tego ciągu jest równa:
Zadanie 11
Liczba miejsc zerowych funkcji f(x)=(x−4)² +9  to:
Zadanie 12
Zbiorem wartości funkcji f(x)=2^x +3 jest zbiór:n


Próbna matura z matematyki z Operonem 25.11.2015 r. Odpowiedzi do arkusza próbnej matury z Operonem, matematyka Matura 2016, poziom podstawowy



Zadanie 13
W ciągu arytmetycznym pierwszy i drugi wyraz są odpowiednio równe: 1, -2. Dziewiąty wyraz tego ciągu jest równy:
Zadanie 14
Prosta o równaniu y=4x+1 przecina osie układu współrzędnych w punktach:
Zadanie 15
Dana jest funkcja f(x)=x²+4x+10. Prosta y= m nie ma z wykresem funkcji f punktów wspólnych. Maksymalny zbiór, do którego należy liczba m, to:
Zadanie 16
Wiadomo, że tga = 5 i a jest kątem ostrym. Wówczas wyrażenie W=(sinα-cosα)/(sinα+cosα) ma wartość:

Próbna matura z matematyki z Operonem 25.11.2015 r. Odpowiedzi do arkusza próbnej matury z Operonem, matematyka Matura 2016, poziom podstawowy



Zadanie 17
Jeżeli stosunek przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym jest równy √3, to jeden z kątów ostrych ma miarę:
Zadanie 18
Kąt wpisany oparty na 1/okręgu:
Zadanie 19
Jeśli S=(-1/2, 3/2) jest środkiem odcinka AB i A=(-1/3, 2/3) to:

Próbna matura z matematyki z Operonem 25.11.2015 r. Odpowiedzi do arkusza próbnej matury z Operonem, matematyka Matura 2016, poziom podstawowy



Zadanie 20
Odchylenie standardowe danych: 1, 4, 1, 5, 9, 2, 1, 1 jest równe (z dokładnością do części setnych):
Zadanie 21
Przekątna przekroju osiowego walca jest nachylona do jego płaszczyzny podstawy pod kątem 45°. Wysokość walca ma długość 8. Objętość walca jest równa:
Zadanie 22
Pole trójkąta jest równe 15. Dwa boki mają długości 10 i 6. Kąt między tymi bokami może mieć miarę:


Próbna matura z matematyki z Operonem 25.11.2015 r. Odpowiedzi do arkusza próbnej matury z Operonem, matematyka Matura 2016, poziom podstawowy





Zadanie 23
Prosta l ma równanie 3x−2y=7. Prosta k prostopadła do prostej l może mieć równanie:
Zadanie 24
Liczb czterocyfrowych o różnych cyfrach i o parzystej cyfrze tysięcy, setek i dziesiątek jest:
Zadanie 25
Sześcian przecięto płaszczyzną przechodzącą przez dwie równoległe przekątne dolnej i górnej podstawy. Pole otrzymanego przekroju jest równe 16. Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe:


Próbna matura z matematyki z Operonem 25.11.2015 r. Odpowiedzi do arkusza próbnej matury z Operonem, matematyka Matura 2016, poziom podstawowy













Zadanie 26
Sprawdź, czy liczba 33/27 jest wyrazem ciągu o wyrazie ogólnym a_n=(3n-1)/(2n+5)
Zadanie 27
Rozwiąż nierówność −x²+8x−20<0.


Próbna matura z matematyki z Operonem 25.11.2015 r. Odpowiedzi do arkusza próbnej matury z Operonem, matematyka Matura 2016, poziom podstawowy



Zadanie 28
Punkty A=(−2, 4), B=(6, 2) są wierzchołkami trójkąta równobocznego. Wyznacz długość wysokości tego trójkąta.
Zadanie 29
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność
x²-6x+y²−4y+13 >0.


Próbna matura z matematyki z Operonem 25.11.2015 r. Odpowiedzi do arkusza próbnej matury z Operonem, matematyka Matura 2016, poziom podstawowy




Zadanie 30
Dany jest kwadrat o boku a= 6. W ten kwadrat wpisano trójkąt równoboczny w ten sposób, że jeden wierzchołek trójkąta jest wierzchołkiem kwadratu, a przeciwległy bok trójkąta jest równoległy do przekątnej kwadratu (patrz rysunek). Wykaż, że bok trójkąta jest równy 6(√6-√2).


I sposób


Próbna matura z matematyki z Operonem 25.11.2015 r. Odpowiedzi do arkusza próbnej matury z Operonem, matematyka Matura 2016, poziom podstawowy
II sposób



Próbna matura z matematyki z Operonem 25.11.2015 r. Odpowiedzi do arkusza próbnej matury z Operonem, matematyka Matura 2016, poziom podstawowy



Zadanie 31
Dana jest funkcja określona wzorem f(x)=ax²+bx+c. Wartość największa funkcji jest równa 10. Funkcja jest rosnąca jedynie w przedziale (− , 2>, a do jej wykresu należy punkt A=(4,−2). Wyznacz wartości współczynników a, b, c.


Próbna matura z matematyki z Operonem 25.11.2015 r. Odpowiedzi do arkusza próbnej matury z Operonem, matematyka Matura 2016, poziom podstawowy





Zadanie 32
Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 4, a suma kwadratów wyrazu drugiego, czwartego i siódmego jest równa 702. Wyznacz ogólny wyraz tego ciągu.


Próbna matura z matematyki z Operonem 25.11.2015 r. Odpowiedzi do arkusza próbnej matury z Operonem, matematyka Matura 2016, poziom podstawowy



Zadanie 33
Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny. Promień okręgu wpisanego w podstawę jest równy 6. Ściana boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60°. Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej bryły. 


Próbna matura z matematyki z Operonem 25.11.2015 r. Odpowiedzi do arkusza próbnej matury z Operonem, matematyka Matura 2016, poziom podstawowy




Źródło: operon.pl

Zadania pobrano z arkusza próbnej matury z matematyki na poziomie podstawowym  w celu podania przykładowych odpowiedzi. Zadania opracowane przez Wydawnictwo Pedagogiczne Operon. Egzamin przeprowadzono 25.11.2015 r. 

Odpowiedzi Wydawnictwa Pedagogicznego Operon można sprawdzić na stronie arkusze.gieldamaturalna.pl

 Uwaga! Kopiujesz zdjęcia z bloga na portale społecznościowe, to musisz podać źródło z aktywnym linkiem do strony. Nie zgadzam się na umieszczanie zdjęć bez podania adresu www bloga. 
Przełącz się w nowe okno Pinterest i zobacz wszystkie dostępne posty na blogu. 
Wszystkie posty są połączone z blogiem, dlatego w szybki sposób można:
- wybrać zadanie (kliknij na pina w oknie Pinterest)
- sprawdzić rozwiązanie na blogu (kliknij odwiedź stronę jak otworzy się pin).


 Pinterest

Obliczanie kątów funkcji cyklometrycznych (kołowych)

Jak obliczyć kąty funkcji cyklometrycznych (kołowych) odwrotnych do funkcji trygonometrycznych?

Obliczanie kątów funkcji cyklometrycznych (kołowych)










Funkcje cyklometryczne (funkcje kołowe) to funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych ograniczonych do pewnych przedziałów. Funkcje trygonometryczne rozpatrywane na całym zbiorze R nie są oczywiście różnowartościowe, ale jeśli zawęzimy dziedziny do pewnych przedziałów:
 (sin: <− π/2 , π/2> → <−1, 1>
  cos: <0, π> → <−1, 1>
  tg: <− π/2 , π/2> → R
 ctg: <0, π> → R), to tak określone funkcje będą już różnowartościowe i mają funkcje odwrotne.


Obliczanie funkcji cyklometrycznych (kołowych)







1. y=arcsinx i y=arcsin(-x)
Obliczanie funkcji cyklometrycznych (kołowych)




Wykres funkcji y=arcsinx i y=arcsin(-x)

 



2. y=arccosx i y=arccos(-x)
Obliczanie funkcji cyklometrycznych (kołowych)



Wykres funkcji y=arccosx i y=arccos(-x)

 


3. y=arctgx i y=arctg(-x)


Obliczanie kątów funkcji cyklometrycznych (kołowych)




Wykres funkcji y=arctgx i y=arctg(-x)

 


4. y=arcctgx i y=arcctg(-x)

Obliczanie funkcji cyklometrycznych (kołowych)



Wykres funkcji y=arcctgx i y=arcctg(-x)

 



Post nr 473

Okrąg trygonometryczny funkcji sinus i cosinus

Okrąg trygonometryczny funkcji sinus i cosinus. Tabela wartości funkcji trygonometrycznych.





Okrąg trygonometryczny funkcji sinus i cosinus
Czytaj: oś współrzędnych Ox (wartości cosinus),           
            oś współrzędnych Oy (wartości sinus).

Czytaj oś współrzędnych Ox (wartości cosinus), oś współrzędnych Oy (wartości sinus).



Tabela wartości funkcji trygonometrycznych sinus, cosinus, tangens, cotangens dla kątów 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°. 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Tabela wartości funkcji trygonometrycznych sinus, cosinus, tangens, cotangens















Wykresy funkcji trygonometrycznych:
1. Sinus y=sinx (sinusoida)



2. Cosinus  y=cosx (cosinusoida) 



3. Tangens y=tgx (tangensoida) 



4. Cotangens  y=ctgx (cotangensoida) 












Post nr 472

Postać wykładnicza liczby zespolonej

Jak wyznaczyć postać wykładniczą liczby zespolonej?



Postać wykładnicza liczby zespolonej























W szczególności liczby zespolone można zapisać w tzw. postaci wykładniczej.


Postać wykładnicza liczby zespolonej

przy czym symbole |z|, φ  oznaczają odpowiednio moduł i argument główny danej liczby zespolonej. Dla liczb zespolonych zapisanych w tej postaci łatwo można więc podać moduł i argument. Postać ta w bardzo dobry sposób obrazuje mnożenie, dzielenie liczb zespolonych. Od razu widać, że w wyniku mnożenia otrzymamy liczbę, której moduł będzie równy iloczynowi modułów tych liczb, a argument równy sumie argumentów.

Wyznacz postać wykładniczą liczb zespolonych.

Postać wykładnicza liczby zespolonej

























Postać wykładnicza liczby zespolonej
Postać wykładnicza liczby zespolonej
Postać wykładnicza liczby zespolonej
Postać wykładnicza liczby zespolonej







Dowiedz się więcej o liczbach zespolonych.



Post nr 471

Pierwiastkowanie liczb zespolonych

Jak pierwiastkować liczby zespolone wzorem de Moivre'a na pierwiastki?





Pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby zespolonej  z  nazywamy każdą liczbę zespoloną  w, która podniesiona do n-tej potęgi daje liczbę  z, to znaczy wn=zSpróbujmy znaleźć sposób na obliczanie pierwiastka n-tego stopnia z liczby zespolonej z. Załóżmy, że liczba zespolona  z  zapisana jest w postaci trygonometrycznej
z = r (cosφ + i sinφ )
Chcemy znaleźć taką liczbę zespoloną w, w postaci trygonometrycznej
w = R (cosβ + i sinβ),
aby
wn=z.
Wyliczając wn ze wzoru de Moivre'a, a następnie porównując moduły i argumenty po obu stronach równości  wn=z  dostajemy
Rn = r
oraz
nβ = φ+2kp.
Dodanie składnika 2kp wynika z niejednoznaczności argumentu (może się on różnić o wielokrotność 2p). Zatem:

Pierwiastkowanie liczb zespolonych

Wynika stąd, że pierwiastek n-tego stopnia z liczby zespolonej  z  istnieje, ale nie jest wyznaczony jednoznacznie. Wszystkie pierwiastki dostaniemy biorąc 
k = {0, 1, 2, ...} 
Wśród argumentów
Pierwiastkowanie liczb zespolonych

istnieje dokładnie n takich, których różnice nie są wielokrotnościami liczby 2p. Są to np. liczby k = {0, 1, ... , n-1}. Zatem istnieje zawsze dokładnie n różnych pierwiastków stopnia n z liczby zespolonej z różnej od zera.  Dane są one wzorami



Wzór ten określamy wzorem de Moivre'a na pierwiastki z liczb zespolonych.


Obliczyć pierwiastki z podanych liczb zespolonych.















Pierwiastkowanie liczb zespolonych

Pierwiastkowanie liczb zespolonych



Pierwiastkowanie liczb zespolonych



Dowiedz się więcej o liczbach zespolonych.


Post nr 470

WESPRZYJ BLOGA ZRZUTKĄ


Czytelniku, komentując nie każdy będzie mógł tu pisać co chce. 
Korzystanie z bloga oznacza akceptację Regulaminu.
Regulamin bloga
1. Myśl zanim coś napiszesz – zanim zechcesz skrytykować podane sposoby rozwiązania zadań zastanów się jak możesz z tego skorzystać. Niemniej niektóre wskazówki po Twojej modyfikacji mogą dobrze Ci służyć. Myśl samodzielnie.
2. Wskazówki mogą pomóc Ci zrozumieć matematykę.
3. Kopiując posty z bloga skorzystaj z przycisków udostępniania.
4. Wszystkie komentarze na blogu są moderowane przez autora bloga.
5. Korzystanie z bloga w całości jest nieodpłatne.