Okrąg trygonometryczny funkcji sinus, cosinus, tangens i cotangens

Okrąg trygonometryczny funkcji sinus, cosinus, tangens i cotangens. Tabela wartości funkcji trygonometrycznych.

Okrąg trygonometryczny funkcji sinus, cosinus

Okrąg trygonometryczny funkcji sinus i cosinus

Czytaj: oś współrzędnych Ox (wartości cosinus),
oś współrzędnych Oy (wartości sinus).

Tabela wartości funkcji trygonometrycznych sinus, cosinus, tangens, cotangens dla kątów 0ᵒ, 30ᵒ, 45ᵒ, 60ᵒ, 90ᵒ, 120ᵒ, 135ᵒ. 150ᵒ, 180ᵒ. 210ᵒ, 225ᵒ, 240ᵒ, 270ᵒ, 300ᵒ, 315ᵒ, 330ᵒ, 360ᵒ.

Wykresy funkcji trygonometrycznych:
1. Sinus y=sinx (sinusoida)

2. Cosinus y=cosx (cosinusoida)

3. Tangens y=tgx (tangensoida)

4. Cotangens y=ctgx (cotangensoida)

Post nr 481

Układ równań trygonometrycznych

Rozwiązanie:
I sposób
- korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia
- korzystamy z wartości jedynki trygonometrycznej sin²α+cos²α=1
- z pierwszego układu wyznaczamy wartość wyrażenia 2sinαcosα
- obliczamy wartość układu równań (sinα+cosα)²=16/9

II sposób
- niech (sinα+cosα)² = x
- korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia
- korzystamy z wartości jedynki trygonometrycznej sin²α+cos²α=1
- do pierwszego układu równań dodajemy drugi układ równań
- doprowadzamy do najprostszej postaci i rozwiązujemy równanie liniowe pierwszego stopnia z jedną niewiadomą x

Post nr 480

Stosunek pól w trapezie równoramiennym

Jak wykazać stosunek pól trójkątów w trapezie równoramiennym

W trapezie równoramiennym ABCD o podstawach |AB| = a i |CD| = b przekątne przecinają się w punkcie S. Wykaż, że stosunek pola trójkąta ABS do pola trójkąta CDS jest równy a²/b².

Rozwiązanie:

- wiemy, że |AE|=|EB| i |CF|=|FD|
- SE i SF, to wysokości trójkątów ABS i CDS
- wyznaczamy stosunek pól trójkątów ABS i CDS o podstawach odpowiednio AB i CD oraz wysokości odpowiednio SE i SF.

Można wykazać, że stosunek pól trójkątów ABS i CDS, gdzie S to punkt przecięcia się przekątnych w trapezie równoramiennym ABCD o podstawach |AB|= a i |CD|= b jest równy a²/b².

Post nr 479

Równanie wykładnicze

Równanie wykładnicze z pierwiastkami w podstawach

Wyznacz wszystkie możliwe rozwiązania równania wykładniczego w liczbach rzeczywistych.

Rozwiązanie:
- wyznaczamy dziedzinę równania D: x ϵ R

- wprowadzamy równanie pomocnicze względem t
- stosujemy metodę podstawienia pomocniczej t do równania wykładniczego
- wyznaczamy pierwiastki równania kwadratowego względem t
- wyznaczamy możliwe rozwiązania podstawiając do równania pomocniczego pierwiastki t
- sprawdzamy równanie dla wyznaczonych wartości x.

Rozwiązanie graficzne (pierwiastkami równania wykładniczego są te argumenty dla których funkcje przyjmują równe wartości, wykresy przecinają się w odpowiednim punkcie).

Sprawdzenie równania wykładniczego w sposób porównania lewej strony z prawą po podstawieniu w miejsce x otrzymanych wartości, dla x = -2 lub x = 2.

Wykres online

Post nr 478

Logarytm jako wyrażenie

Jak zapisać logarytm za pomocą wyrażenia?

Wiedząc, że log5=a i log3=b. Wyznacz wartość logarytmu jako wyrażenie.

Rozwiązanie:
Definicje i własności
Logarytmem dodatniej liczby b przy podstawie a jest wykładnik potęgi c, do której należy podnieść a, aby otrzymać b, co zapisujemy następująco:

$\large \log_{a}b=c \Leftrightarrow a^{c}=b$

Gdzie a - podstawa logarytmu, b - liczba logarytmowana, c - wynik logarytmowania.

Przy czym, spełnione muszą być warunki $a \in R^{+} - \{ 1 \} \text{ i } b \in R^{+}$ .

Ponadto $\large \log_{a}1=0, \ \log_{a}a=1, \ a^{\log_{a}b}=b$ .

Wyróżniamy też dwa szczególne logarytmy:

Logarytm dziesiętny, to logarytm o podstawie 10. $\log b=c \Leftrightarrow 10^{c}=b$

Logarytm naturalny, to logarytm o podstawie e. $\ln b=c \Leftrightarrow e^{c}=b$

(Liczba e jest granicą ciągu nieskończonego $(1+\frac{1}{n})^{n}$ , gdy n dąży do nieskończoności i e $\approx$ 2,72.)

Prawa działań na logarytmach

Założenia dla podstaw logarytmów i liczb logarytmowanych są analogiczne z tymi u góry. Warunki dla nowych stałych zostaną przedstawione w każdym z przypadków z osobna.

:arrow:

$\large \log_{a}(b_{1}\cdot b_{2})=\log_{a}b_{1}+\log_{a}b_{2}$ - logarytm iloczynu

:arrow:

$\large \log_{a}\frac{b_{1}}{b_{2}} = \log_{a}b_{1}-\log_{a}b_{2}$ - logarytm ilorazu

:arrow:

$\large \log_{a}b^{m}=m\cdot \log_{a}b, \ m \in \mathbb{R}$ - logarytm potęgi

:arrow:

$\large \log_{a}b = \frac{\log_{c}b}{\log_c{a}} \\ \phantom{MMMMM} ^{\nwarrow}_{\swarrow} \mbox{ zmiana podstawy logarytmu}$
:arrow:

$\large \log_{a}b = \frac{1}{\log_{b}a}, \ a, b \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$

Z ostatnich własności wynika również wzór:

:arrow:

$\log_{a} b \cdot \log_{c} d = \log_{a} d \cdot \log_{c} b$

Post nr 477

Strony

Łączna liczba wyświetleń

Pomoce dla klasy

Szukaj na tym blogu lub wpisz post nr 1-535