Dzielenie jest działaniem odwrotnym do mnożenia. Działaniem sprawdzającym dzielenie jest mnożenie. Dlatego podzielić przez 0, to znaczy znaleźć taką liczbę, która pomnożona przez 0 w wyniku daje liczbę różną od 0. Dlatego podzielić przez 0 nie można bo każda liczba w iloczynie pomnożona przez 0, w wyniku daje 0, a nie liczbę różną od 0.
Ponieważ dzielenie definiujemy jako mnożenie przez odwrotność, nie można dzielić przez 0, gdyż nie istnieje liczba odwrotna do 0 tzn. nie istnieje liczba, która pomnożona przez 0, da element neutralny mnożenia czyli 1. Zero nie może być dzielnikiem, ponieważ takie działanie nie ma sensu liczbowego i jest niewykonalne. Zatem zbliżmy się do zera nieskończenie blisko. Jeśli niezerowy licznik ułamka będziemy dzielić przez liczbę, która zbliża do 0. Jest nieskończenie blisko 0, dąży do 0 z prawej strony 0 tj. 0+. Wtedy wartości są coraz większe i większe – rozbiegają w plus nieskończoność.
Uwaga: Nawias kwadratowy służy do oszacowania wyniku. W nawiasie kwadratowym nie dzielimy przez 0, tylko przez liczbę, która jest nieskończenie blisko 0 z prawej strony 0. Dlatego jest to symbol, a nie liczba 1/0. Jeśli niezerowy licznik ułamka będziemy dzielić przez liczbę, która zbliża do 0. Jest nieskończenie blisko 0, dąży do 0 z lewej strony 0 tj. 0-. Wtedy wartości są coraz mniejsze i mniejsze – rozbiegają w minus nieskończoność.
Uwaga: Nawias kwadratowy służy do oszacowania wyniku. W nawiasie kwadratowym nie dzielimy przez 0, tylko przez liczbę, która jest nieskończenie blisko 0 z lewej strony 0. Dlatego jest to symbol, a nie liczba 1/0. Jak naszkicować wykres?
Przykład I
Jeśli dla dowolnego x, wartość wyrażenia w mianowniku ułamka jest równa 0, to jaką wartość powinniśmy wpisać do tabeli?
Oczywiście nie ma takiej wartości bo nie można dzielić przez 0.
Liczby dla których wartość mianownika ułamka jest równy 0 tworzą równania prostych prostopadłych do osi Ox. W naszym przykładzie x=0. Jeśli do wzoru funkcji w miejsce x, podstawimy liczbę 0, to nie można obliczyć wartości tej funkcji. O takich prostych mówimy wtedy, że są równaniami asymptot pionowych funkcji. Wykres funkcji będzie wtedy tylko zbliżał do tych asymptot pionowych. Niektóre funkcje mogą przecinać swoje asymptoty lub pokrywać się z nimi. Dziedziną funkcji jest przedział Df =(-∞, 0) ∪ (0, +∞), dla x=0 funkcja nie jest ciągła. Równanie asymptoty pionowej należy szukać z lewej i prawej strony liczby 0. Mamy więc punkty podejrzane o występowanie asymptoty lewostronnej0- oraz prawostronnej 0+, aby sprawdzić czy istnieje w nich asymptota należy obliczyć granicę funkcji właśnie w tych punktach. Jeśli granica funkcji w punkcie podejrzanym o występowanie asymptoty wynosi plus lub minus nieskończoność to funkcja ma asymptotę pionową lewostronną 0-, prawostronną 0+ lub obustronną 0-, 0+.Miejsca nieciągłości w dziedzinie funkcji nazywamy podejrzanymi o posiadanie asymptoty pionowej.
1+
Przykład II
Jeśli dla dowolnego x, wartość wyrażenia w mianowniku ułamka jest równa 0, to jaką wartość powinniśmy wpisać do tabeli?
Oczywiście nie ma takiej wartości bo nie można dzielić przez 0.
Liczby dla których wartość mianownika ułamka jest równy 0 tworzą równania prostych prostopadłych do osi Ox. W naszym przykładzie x=-4 i x=1.Jeśli do wzoru funkcji w miejsce x, podstawimy liczbę -4 lub 1, to nie można obliczyć wartości tej funkcji. O takich prostych mówimy wtedy, że są równaniami asymptot pionowych funkcji. Wykres funkcji będzie wtedy tylko zbliżał do tych asymptot pionowych. Niektóre funkcje mogą przecinać swoje asymptoty lub pokrywać się z nimi. Dziedziną funkcji jest przedział Df =(-∞, -4) ∪ (-4, 1) ∪ (1, +∞), dla x=-4 i x=1 funkcja nie jest ciągła. Równanie asymptoty pionowej należy szukać z lewej [asymptota lewostronna] i prawej [asymptota prawostronna] strony liczby -4 i 1. Mamy więc punkty podejrzane o występowanie asymptoty-4-, -4+, 1-, 1+, aby sprawdzić czy istnieje w nich asymptota należy obliczyć granicę funkcji właśnie w tych punktach. Jeśli granica funkcji w punkcie podejrzanym o występowanie asymptoty wynosi plus lub minus nieskończoność to funkcja ma asymptotę pionową lewostronną -4-, 1-, prawostronną -4+, 1+ lub obustronną -4-, -4+, 1-, 1+.Miejsca nieciągłości w dziedzinie funkcji nazywamy podejrzanymi o posiadanie asymptoty pionowej.
Pamiętaj! Każdy wykres funkcji wymaga przed naszkicowaniem wyznaczenia dziedziny tzw. założeń w obliczeniach, dla których funkcja przyjmuje sens liczbowy. Nie można do tabeli wpisywać tych argumentów funkcji, dla których nie przyjmuje sensu liczbowego.
Sofizmat to zwodniczy "dowód" matematyczny, pozornie poprawny, lecz faktycznie błędny, zawierający rozmyślnie wprowadzony błąd, na pierwszy rzut oka trudny do wykrycia. Matematyka jako jedna z dziedzin nauki zawiera również błędne twierdzenia, które nazywamy sofizmatami.
Sofizmat
W nawiasie (4-3-1) zapisano liczbę 4-3-1=0, a następnie równanie obustronnie zostało podzielone przez (4-3-1) czyli 0. Zatem z prawdy otrzymaliśmy fałsz. Implikacja jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy poprzednik jest prawdziwy, a następnik jest fałszywy. Inaczej mówić z prawdy nigdy nie wynika fałsz. Dlatego w podanym sofizmacie widać, że nie wolno dzielić przez 0 bo matematyka nie miałaby sensu. Wtedy wszystkie liczby by były równe. Czy 0 dzieli się przez 0? Jeśli zerowy licznik ułamka będziemy dzielić przez liczbę, która zbliża do 0. Jest nieskończenie blisko 0, dąży do 0 z prawej strony 0 tj. 0+ lub dąży do 0 z lewej strony 0 tj. 0-. Wtedy iloraz jest równy 0.
Jeśli licznik ułamka, który zbliża do 0 z prawej 0+ lub lewej 0- strony 0 podzielimy przez taką samą liczbę. Wtedy iloraz jest równy 1.
Wynik dzielenia 0 przez 0 jest niejednoznaczny. [0/0] to także jeden z symboli nieoznaczonych. Nie oznacza dzielenia 0 przez 0.
Dlatego wynik dzielenia przez 0 jest nieokreślony?
Zawsze należy wyznaczyć dziedzinę [założenie] wyrażenia wymiernego, żeby nie było dzielenia przez 0.
Jeśli kąty wewnętrzne trójkąta mają miarę odpowiednio równą 30°, 60°, 90°, to trójkąt jest prostokątny i stanowi połowę trójkąta równobocznego o boku długości przeciwprostokątnej.
Obliczając trójkąt o kątach 30°, 60°, 90° należy dorysować trójkąt przystający i przyległy do kąta 30°. Wtedy otrzymamy trójkąt równoboczny co ułatwia nam obliczenia. Nie musimy korzystać w funkcji trygonometrycznych do rozwiązywania tego trójkąta.
Możemy także oznaczyć wszystkiego boki naszego trójkąta prostokątnego bez wprowadzania oznaczeń lokalnych mając nazwę przeciwprostokątnej BC.
Powyżej podano zależności między bokami w trójkącie o kątach 30°, 60°, 90°.
Jeśli chcemy rozwiązać ten trójkąt, to po zapisaniu odpowiednich zależności podstawiamy dane i obliczamy. I sposób
II sposób
Jeśli kąt ostry rombu ma miarę 30° lub 60°, to wiemy, że zawiera połowę trójkąta równobocznego. Dlatego w odpowiedni sposób należy dorysować drugą połowę trójkąta równobocznego. Wtedy łatwo zastosować własności dla trójkąta równobocznego.
Także inne figury płaskie, przestrzenne i obrotowe mogą zawierać trójkąt o kątach 30°, 60°, 90°. Wtedy w podobny sposób należy dorysować drugą część trójkąta równobocznego. Wiemy, że:
Monotoniczność ciągu liczbowego, ciągu arytmetycznego i ciągu geometrycznego
Monotoniczność ciągu:
Ponieważ ciągi są funkcjami, więc analogicznie jak w przypadku funkcji możemy badać monotoniczność ciągów, korzystając z definicji funkcji rosnącej, malejącej, nierosnącej, niemalejącej, stałej.
Ciąg (an) nazywamy rosnącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego wyraz z wyjątkiem wyrazu pierwszego jest większy od wyrazu poprzedzającego.
Dla każdego nϵN₁an+1 > an => an+1 – an > 0.
Ciąg (an) nazywamy malejącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego wyraz z wyjątkiem wyrazu pierwszego jest mniejszy od wyrazu poprzedzającego.
Dla każdego nϵN₁an+1 < an => an+1 – an < 0.
Ciąg (an) nazywamy stałym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego wyraz jest równy (identyczny).
Dla każdego nϵN₁an+1= an=> an+1 – an = 0.
Ciąg (an) nazywamy niemalejącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego wyraz z wyjątkiem wyrazu pierwszego jest większy lub równy od wyrazu poprzedzającego.
Dla każdego nϵN₁an+1 ≥an => an+1 – an≥ 0.
Ciąg (an) nazywamy nierosnącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego wyraz z wyjątkiem wyrazu pierwszego jest mniejszy lub równy od wyrazu poprzedzającego.
Dla każdego nϵN₁an+1 ≤an => an+1 – an≤ 0.
Ciąg (an) nazywamy monotonicznym wtedy i tylko wtedy, gdy jest niemalejący lub nierosnący.
Ciąg (an) nazywamy ściśle (silnie) monotonicznym wtedy i tylko wtedy, gdy jest rosnący, malejący lub stały. Przykłady: Wyznaczyć monotoniczność ciągu (an), to należy wykazać różnicę an+1 – an. Najpierw należy wyznaczyć wyraz następny an+1 danego ciągu(an). Aby ten wyraz wyznaczyć należy w miejsce n do wzoru ogólnego ciągu [postać jawna ciągu] wstawić (n+1). Obliczamy różnicę an+1 – an. Teraz korzystamy z definicji ciągu rosnącego, malejącego, stałego i określamy monotoniczność ciągu na podstawie otrzymanej różnicy oraz, że nϵN₁.
Jeśli otrzymana różnica nie jest jednoznaczna (nie ma stałego znaku), to wtedy taki ciąg nie jest ciągiem monotonicznym (jest niemonotoniczny).
Monotoniczność ciągu arytmetycznego: Wyznaczyć monotoniczność ciągu arytmetycznego (an), to należy wykazać różnicę an+1 – an = r, różnica r w ciągu arytmetycznym jest stała [jest liczbą]. Najpierw należy wyznaczyć wyraz następny an+1 danego ciągu(an). Aby ten wyraz wyznaczyć należy w miejsce n do wzoru ogólnego ciągu [postać jawna ciągu] wstawić (n+1). Obliczamy różnicę an+1 – an. Teraz korzystamy z definicji ciągu rosnącego, malejącego, stałego i określamy monotoniczność ciągu na podstawie otrzymanej różnicy.
Jeśli otrzymana różnica nie jest stała (nie jest liczbą), to wtedy taki ciąg nie jest ciągiem arytmetycznym. Przykłady:
Monotoniczność ciągu geometrycznego: Wyznaczyć monotoniczność ciągu geometrycznego(an), to należy wykazać iloraz an+1/an = q, iloraz q w ciągu geometrycznym jest stały [jest liczbą]. Najpierw należy wyznaczyć wyraz następny an+1 danego ciągu(an). Aby ten wyraz wyznaczyć należy w miejsce n do wzoru ogólnego ciągu [postać jawna ciągu] wstawić (n+1). Obliczamy iloraz an+1/an = q. Teraz korzystamy z definicji ciągu rosnącego, malejącego, stałego i określamy monotoniczność ciągu na podstawie otrzymanego ilorazu oraz a1.
Czytelniku, komentując nie każdy będzie mógł tu pisać co chce. Korzystanie z bloga oznacza akceptację Regulaminu.
Regulamin bloga
1. Myśl zanim coś napiszesz – zanim zechcesz skrytykować podane sposoby rozwiązania zadań zastanów się jak możesz z tego skorzystać. Niemniej niektóre wskazówki po Twojej modyfikacji mogą dobrze Ci służyć. Myśl samodzielnie.
2. Wskazówki mogą pomóc Ci zrozumieć matematykę.
3. Kopiując posty z bloga skorzystaj z przycisków udostępniania.
4. Wszystkie komentarze na blogu są moderowane przez autora bloga.
5. Korzystanie z bloga w całości jest nieodpłatne.
