Tweety na temat @MinorMatematyka

Nowość! Snapchat: matematycznyswi

 Snapchat: matematycznyswi

Szukaj na tym blogu lub wpisz post nr 1-505

wtorek, 25 lipca 2017

Monotoniczność ciągu

Monotoniczność ciągu liczbowego, ciągu arytmetycznego i ciągu geometrycznego



Monotoniczność ciągu




Monotoniczność ciągu: 
Ponieważ ciągi są funkcjami, więc analogicznie jak w przypadku funkcji możemy badać monotoniczność ciągów, korzystając z definicji funkcji rosnącej, malejącej, nierosnącej, niemalejącej, stałej.

Ciąg (an) nazywamy rosnącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego wyraz z wyjątkiem wyrazu pierwszego jest większy od wyrazu poprzedzającego. 
Dla każdego nϵN   an+1 a=> an+1 – an > 0. 
Monotoniczność ciągu





Ciąg (an) nazywamy malejącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego wyraz z wyjątkiem wyrazu pierwszego jest mniejszy od wyrazu poprzedzającego. 
Dla każdego nϵN    an+1 a=> an+1 – an < 0. 
Monotoniczność ciągu





Ciąg (an) nazywamy stałym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego wyraz jest równy (identyczny).  
Dla każdego nϵN   an+1 an => an+1 – an = 0. 
Monotoniczność ciągu






Ciąg (an) nazywamy niemalejącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego wyraz z wyjątkiem wyrazu pierwszego jest większy lub równy od wyrazu poprzedzającego.  
Dla każdego nϵN   an+1  a=> an+1 – an  0. 
Monotoniczność ciągu




Ciąg (an) nazywamy nierosnącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego wyraz z wyjątkiem wyrazu pierwszego jest mniejszy lub równy od wyrazu poprzedzającego.  
Dla każdego nϵN  an+1  a=> an+1 – an  0. 
Monotoniczność ciągu






Ciąg (an) nazywamy monotonicznym wtedy i tylko wtedy, gdy jest niemalejący lub nierosnący.
Ciąg (an) nazywamy ściśle (silnie) monotonicznym wtedy i tylko wtedy, gdy jest rosnący, malejący lub stały.

Przykłady:
Wyznaczyć monotoniczność ciągu (an), to należy wykazać różnicę an+1 – an. Najpierw należy wyznaczyć wyraz następny an+1 danego ciągu (an).  Aby ten wyraz wyznaczyć należy w miejsce n do wzoru ogólnego ciągu [postać jawna ciągu] wstawić (n+1). Obliczamy różnicę an+1 – anTeraz korzystamy z definicji ciągu rosnącego, malejącego, stałego i określamy monotoniczność ciągu  na podstawie otrzymanej różnicy oraz, że nϵN.
Monotoniczność ciągu


Monotoniczność ciągu
Monotoniczność ciągu

Jeśli otrzymana różnica nie jest jednoznaczna (nie ma stałego znaku), to wtedy taki ciąg nie jest ciągiem monotonicznym (jest niemonotoniczny). 
Monotoniczność ciągu








Monotoniczność ciągu
Monotoniczność ciągu arytmetycznego: 
Wyznaczyć monotoniczność ciągu arytmetycznego (an), to należy wykazać różnicę an+1 – a= r, różnica r w ciągu arytmetycznym jest stała [jest liczbą]. Najpierw należy wyznaczyć wyraz następny an+1 danego ciągu (an).  Aby ten wyraz wyznaczyć należy w miejsce n do wzoru ogólnego ciągu [postać jawna ciągu] wstawić (n+1). Obliczamy różnicę an+1 – anTeraz korzystamy z definicji ciągu rosnącego, malejącego, stałego i określamy monotoniczność ciągu  na podstawie otrzymanej różnicy.
Ciąg arytmetyczny
a₁>0
Monotoniczność
a₁<0
r>0

a₁=4, r=2

Ten ciąg to: 4, 6, 8, ...
Rosnący

an+1>an
an+1-an>0
r>0

a₁=-4, r=2

Ten ciąg to: -4, -2, 0, ...
r<0

a₁=4, r=-2

Ten ciąg to: 4, 2, 0, ...
Malejący

an+1<an
an+1-an<0
r<0

a₁=-4, r=-2

Ten ciąg to: -4,-6, -8, ...
r=0

a₁=4, r=0

Ten ciąg to: 4, 4, 4, ...
Stały

an+1=an
an+1-an=0
r=0

a₁=-4, r=0

Ten ciąg to: -4, -4, -4, ...
Jeśli otrzymana różnica nie jest stała (nie jest liczbą), to wtedy taki ciąg nie jest ciągiem arytmetycznym. 

Przykłady:
Monotoniczność ciągu

















Monotoniczność ciągu geometrycznego: 
Wyznaczyć monotoniczność ciągu geometrycznego (an), to należy wykazać iloraz an+1/a= q, iloraz q w ciągu geometrycznym jest stały [jest liczbą]. Najpierw należy wyznaczyć wyraz następny an+1 danego ciągu (an).  Aby ten wyraz wyznaczyć należy w miejsce n do wzoru ogólnego ciągu [postać jawna ciągu] wstawić (n+1). Obliczamy iloraz an+1/a= q. Teraz korzystamy z definicji ciągu rosnącego, malejącego, stałego i określamy monotoniczność ciągu  na podstawie otrzymanego ilorazu oraz a1.
Ciąg geometryczny
a₁>0
Monotoniczność
a₁<0
q>1


a₁=4, q=2

Ten ciąg to: 4, 8, 16, ...
Rosnący


0<q<1
q = ułamek

a₁=-4, q=½

Ten ciąg to: -4, -2, -1, ...
0<q<1
q = ułamek


a₁=4, q=½

Ten ciąg to: 4, 2, 1, ...
Malejący


q>1


a₁=-4, q=2

Ten ciąg to: -4, -8, -16, ...
q=1

a₁=4, q=1

Ten ciąg to: 4, 4, 4, ...
Stały


q=1

a₁=-4, q=1

Ten ciąg to: -4, -4, -4, ...
q=0


a₁=4, q=0

Ten ciąg to: 4, 0, 0, ...
Stały od wyrazu drugiego
(ciąg liczbowy może być monotoniczny od dowolnego wyrazu)
a₁≠0, q=0
Ten ciąg to: a₁, 0, 0, 0, ...
jest ciągiem geometrycznym.
q=0


a₁=-4, q=0

Ten ciąg to: -4, 0, 0, ...
q<0

a₁=4, q=-2

Ten ciąg to: 4, -8, 16, ... 
Naprzemienny
(lub przemienny)
Nie jest monotoniczny.

an ·an+1<0

q<0

a₁=-4, q=-2

Ten ciąg to: -4, 8, -16, ... 
Jeśli otrzymany iloraz nie jest stały (nie jest liczbą), to wtedy taki ciąg nie jest ciągiem geometrycznym. 

Przykłady:
Monotoniczność ciągu





Monotoniczność ciągu

Monotoniczność ciągu

Monotoniczność ciągu





Post nr 501

Regulamin bloga

Czytelniku, miło kiedy komentujesz posty. Chętnie zapoznam się także z innym Twoim punktem widzenia w podanym rozwiązaniu zadania. Jednak, aby ten blog stanowił dla Czytelników pewną wartość, nie mogę pozwolić, żeby każdy mógł tu pisać co tylko chce.

Blog wymaga wiele czasu pracy, godzin pracy, których nie widać i jako jego autor chcę się na nim dobrze czuć.
Niniejszy Regulamin określa zasady korzystania z bloga www.matematyczny-swiat.pl. Korzystanie z bloga oznacza akceptację Regulaminu.



$1

Sprawy organizacyjne

1. Jeżeli uważasz, że w jakimś temacie czujesz się bardziej kompetentny, to napisz jak to wygląda z Twojego punktu widzenia.

2. Myśl zanim coś napiszesz – zanim zechcesz skrytykować moje sposoby rozwiązania zadań zastanów się jak możesz z tego skorzystać. Jeszcze raz – nie twierdzę, że wszystko co napiszę będzie dla Ciebie pomocne. Niemniej niektóre wskazówki po Twojej modyfikacji mogą dobrze Ci służyć. Myśl samodzielnie.

3. Ten blog to miejsce, w którym publikuję wskazówki, które mogą pomóc Czytelnikom zrozumieć i nauczyć się rozwiązywać zadania matematyczne.

4. Dozwolone jest kopiowanie zdjęć z bloga na portale społecznościowe lub inne blogi z bezwzględnym podaniem aktywnego linka do bloga. Niedozwolone jest kopiowanie zdjęć i treści bez podania aktywnego linka.

5. Pamiętaj, żeby w ramach kopiowania zdjęć z bloga korzystać z przycisków udostępniania dostępnych w postach na blogu.

6. Zdjęcia w postach na blogu są mojego autorstwa i własnością intelektualną, a zdjęcia kopiowane na mój blog są zawsze z podaniem źródła.

7. Blog posiada jednego autora. Autorem bloga jest Robert Karolewski.

8. Zabrania się, przerabiania, przystosowywania, usuwania logotypu lub dokonywania jakichkolwiek innych zmian w zdjęciach na potrzeby własnej publikacji i przypisywanie im autorstwa. Dopuszczalne jest na własne potrzeby bez ich publikacji.

9. Wszystkie zdjęcia na blogu mojego autorstwa zawierają logotyp Minor Matematyczny Świat.
10. Przykłady w zadaniach prezentowane na blogu są przygotowane przeze mnie i moją własnością intelektualną. Na blogu również dostępne są przykładowe zadania z jakimi można spotkać się na różnym poziomie nauczania.
11. Rozwiązania wszystkich zadań z arkuszy maturalnych posiadają logotyp wobec tego, że są to moje przykładowe odpowiedzi.

12. Niniejszy regulamin obowiązuje również na wszystkich moich portalach społecznościowych.

13. Korzystanie z bloga w całości jest nieodpłatne i dostępne dla wszystkich Czytelników.


$2

Komentarze

14. Wszystkie komentarze na blogu są publikowane automatycznie i moderowane przez autora bloga.

a) Jeśli komentarze są obraźliwe zarówno w stosunku do mnie jak i do innych Czytelników, to zostaną usunięte lub ukryte.

b) Jeśli komentarze są niezwiązane z tematem wpisu, to zostaną usunięte lub ukryte.

c). Jeśli komentarze są spamem. Za spam uznaję linki do innych stron, podpisywanie się adresem www, dodawanie adresu strony pod komentarzem, reklama, to zostaną usunięte lub ukryte.


Osoby, które nie będą stosowały się do powyższych zasad $2 mają gwarancję, że ich komentarz pojawi się chwilę na blogu. W skrajnych przypadkach Twoje konto zostanie zablokowane.