Tweety na temat @MinorMatematyka

Pomoce dla klasy

Szukaj na tym blogu lub wpisz post nr 1-535

Pierwiastkowanie liczb zespolonych

Jak pierwiastkować liczby zespolone wzorem de Moivre'a na pierwiastki?





Pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby zespolonej  z  nazywamy każdą liczbę zespoloną  w, która podniesiona do n-tej potęgi daje liczbę  z, to znaczy wn=zSpróbujmy znaleźć sposób na obliczanie pierwiastka n-tego stopnia z liczby zespolonej z. Załóżmy, że liczba zespolona  z  zapisana jest w postaci trygonometrycznej
z = r (cosφ + i sinφ )
Chcemy znaleźć taką liczbę zespoloną w, w postaci trygonometrycznej
w = R (cosβ + i sinβ),
aby
wn=z.
Wyliczając wn ze wzoru de Moivre'a, a następnie porównując moduły i argumenty po obu stronach równości  wn=z  dostajemy
Rn = r
oraz
nβ = φ+2kp.
Dodanie składnika 2kp wynika z niejednoznaczności argumentu (może się on różnić o wielokrotność 2p). Zatem:

Pierwiastkowanie liczb zespolonych

Wynika stąd, że pierwiastek n-tego stopnia z liczby zespolonej  z  istnieje, ale nie jest wyznaczony jednoznacznie. Wszystkie pierwiastki dostaniemy biorąc 
k = {0, 1, 2, ...} 
Wśród argumentów
Pierwiastkowanie liczb zespolonych

istnieje dokładnie n takich, których różnice nie są wielokrotnościami liczby 2p. Są to np. liczby k = {0, 1, ... , n-1}. Zatem istnieje zawsze dokładnie n różnych pierwiastków stopnia n z liczby zespolonej z różnej od zera.  Dane są one wzorami



Wzór ten określamy wzorem de Moivre'a na pierwiastki z liczb zespolonych.


Obliczyć pierwiastki z podanych liczb zespolonych.















Pierwiastkowanie liczb zespolonych

Pierwiastkowanie liczb zespolonych



Pierwiastkowanie liczb zespolonych



Dowiedz się więcej o liczbach zespolonych.


Post nr 470

2 komentarze:

  1. Przykład pierwiastka z liczby zespolonej -16 sin phi = b/|z| = 0/16, skąd się wziął tam tg phi = 0 = tg180.

    OdpowiedzUsuń
    Odpowiedzi
    1. Funkcję tg liczymy dzieląc sinus przez cosinus. Znak i wartości tych trzech funkcji określają już nam stopień kąta i zapisujemy w radianach.
      Proszę sprawdzić zagadnienie https://www.matematyczny-swiat.pl/2015/11/okrag-trygonometryczny-funkcji-sinus-i.html

      Usuń

WESPRZYJ BLOGA ZRZUTKĄ


Czytelniku, komentując nie każdy będzie mógł tu pisać co chce. 
Korzystanie z bloga oznacza akceptację Regulaminu.
Regulamin bloga
1. Myśl zanim coś napiszesz – zanim zechcesz skrytykować podane sposoby rozwiązania zadań zastanów się jak możesz z tego skorzystać. Niemniej niektóre wskazówki po Twojej modyfikacji mogą dobrze Ci służyć. Myśl samodzielnie.
2. Wskazówki mogą pomóc Ci zrozumieć matematykę.
3. Kopiując posty z bloga skorzystaj z przycisków udostępniania.
4. Wszystkie komentarze na blogu są moderowane przez autora bloga.
5. Korzystanie z bloga w całości jest nieodpłatne.