Tweety na temat @MinorMatematyka

Pomoce dla klasy

Szukaj na tym blogu lub wpisz post nr 1-535

Jaka to liczba?

Jaka to liczba, że pomniejszona o ...?


 Znaleźć najmniejszą liczbę naturalną spełniającą warunki:
- pomniejszona o 2013 jest podzielna przez 2013
- pomniejszona o 2014 jest podzielna przez 2014
- pomniejszona o 2015 jest podzielna przez 2015
- pomniejszona o 2016 jest podzielna przez 2016
a następnie wykazać, że liczba ta jest podzielna przez {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16}.
Ile dzielników naturalnych ma dana liczba?
Wykazać, że liczba dzielników naturalnych tej liczby jest podzielna odpowiednio przez naturalne potęgi liczby 2 mniejsze lub równe
210

tj. {20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 210}.
x- najmniejsza szukana liczba naturalna spełniająca warunek:
[(x-2013):2013][(x-2014):2014][(x-2015):2015][(x-2016):2016]
Otrzymujemy
(x-2013)(x-2014)(x-2015)(x-2016)
2013 = 3 · 11 · 61
2014 = 2 · 19 · 53
2015 = 5 · 13 · 31
2016 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7
Szukana liczba to:  2013 · 2014 · 2015 · 2016 = 16.469.060.287.680
Sprawdzenie:
16.469.060.287.680 – 2013 =  16.469.060.285.667
16.469.060.285.667 : 2013 =          8.181.351.359

16.469.060.287.680 – 2014 =  16.469.060.285.666
16.469.060.285.666 : 2014 =          8.177.289.119

16.469.060.287.680 – 2015 =  16.469.060.285.665
16.469.060.285.665 : 2015 =          8.173.230.911

16.469.060.287.680 – 2016 =  16.469.060.285.664
16.469.060.285.664 : 2016 =          8.169.176.729

Liczbę 16.469.060.287.680 = 2013 · 2014 · 2015 · 2016 w rozkładzie na czynniki pierwsze zapiszemy jako:
16.469.060.287.680 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2· 3 · 3 · 3 · 5 · 7· 11 · 13 · 19 · 31 · 53 · 61,
16.469.060.287.680 = 26 ·33 · 51 · 71· 111 · 131 · 191 · 311 · 531 · 611


Wykazać, że liczba jest podzielna odpowiednio przez:
{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16}
Zatem liczba jest podzielna przez te wszystkie podane liczby wtedy i tylko wtedy gdy te liczby są jej dzielnikami, możemy z podanych czynników zapisać jej wskazane dzielniki:
16.469.060.287.680 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2· 3 · 3 · 3 · 5 · 7· 11 · 13 · 19 · 31 · 53 · 61,
2 = 2
3 = 3
4 = 2 · 2
5 = 5
6 = 2 · 3
7 = 7
8 = 2 · 2 · 2
9 = 3 · 3
10 = 2 · 5
11 = 11
12 = 2 · 2 · 3
13 = 13
14 = 2 · 7
15 = 3 · 5
16 = 2 · 2 · 2 · 2
Ile dzielników ma dana liczba?
16.469.060.287.680 = 26 ·33 · 51 · 71· 111 · 131 · 191 · 311 · 531 · 611
Ile = (6+1)(3+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)
Ile = 7 · 4  · 2  · 2  · 2  · 2  · 2  · 2  · 2 · 2
Ile = 71 ·22  · 2  · 2  · 2  · 2  · 2  · 2  · 2 · 2
Ile = 71 ·210 

Wykazać, że liczba jej dzielników naturalnych jest podzielna odpowiednio przez naturalne potęgi liczby 2 mniejsze lub równe 210.
Jeśli liczba 71 ·210  jest podzielna przez 210  to jest podzielnia również przez wszystkie naturalne potęgi liczby 2 mniejsze lub równe 210. Zatem liczba dzielników naturalnych tej liczby jest podzielna odpowiednio przez {20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 210}.
 

Odpowiedź: Najmniejsza liczba naturalna spełniająca powyższe warunki to 16.469.060.287.680

Post nr 65

Brak komentarzy:

Prześlij komentarz

WESPRZYJ BLOGA ZRZUTKĄ


Czytelniku, miło kiedy komentujesz posty. Chętnie zapoznam się z Twoim sposobem  rozwiązania zadania. Aby ten blog stanowił dla Czytelników pewną wartość, nie mogę pozwolić, żeby każdy mógł tu pisać co tylko chce. Korzystanie z bloga oznacza akceptację Regulaminu.
Regulamin bloga
1. Myśl zanim coś napiszesz – zanim zechcesz skrytykować moje sposoby rozwiązania zadań zastanów się jak możesz z tego skorzystać. Jeszcze raz – nie twierdzę, że wszystko co napiszę będzie dla Ciebie pomocne. Niemniej niektóre wskazówki po Twojej modyfikacji mogą dobrze Ci służyć. Myśl samodzielnie.
2. Publikuję wskazówki, które mogą pomóc Ci zrozumieć jak można rozwiązywać zadania matematyczne.
3. W ramach kopiowania zdjęć z bloga skorzystaj z przycisków udostępniania dostępnych w postach na blogu.
4. Wszystkie komentarze na blogu są moderowane przez autora bloga.
5. Korzystanie z bloga w całości jest nieodpłatne.