Jaka to liczba, że pomniejszona o ...?
Znaleźć najmniejszą liczbę naturalną spełniającą warunki:
- pomniejszona o 2013 jest podzielna przez 2013
- pomniejszona o 2014 jest podzielna przez 2014
- pomniejszona o 2015 jest podzielna przez 2015
- pomniejszona o 2016 jest podzielna przez 2016
a następnie wykazać, że liczba ta jest podzielna przez {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16}.
Ile dzielników naturalnych ma dana liczba?
Wykazać, że liczba dzielników naturalnych tej liczby jest podzielna odpowiednio przez naturalne potęgi liczby 2 mniejsze lub równe 210
tj. {20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 210}.
x- najmniejsza szukana liczba naturalna spełniająca warunek:
- pomniejszona o 2013 jest podzielna przez 2013
- pomniejszona o 2014 jest podzielna przez 2014
- pomniejszona o 2015 jest podzielna przez 2015
- pomniejszona o 2016 jest podzielna przez 2016
a następnie wykazać, że liczba ta jest podzielna przez {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16}.
Ile dzielników naturalnych ma dana liczba?
Wykazać, że liczba dzielników naturalnych tej liczby jest podzielna odpowiednio przez naturalne potęgi liczby 2 mniejsze lub równe 210
tj. {20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 210}.
x- najmniejsza szukana liczba naturalna spełniająca warunek:
[(x-2013):2013][(x-2014):2014][(x-2015):2015][(x-2016):2016]
Otrzymujemy
(x-2013)(x-2014)(x-2015)(x-2016)
2013 = 3 · 11 · 61
2014 = 2 · 19 · 53
2015 = 5 · 13 · 31
2016 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7
Szukana liczba to:
2013 · 2014 · 2015 · 2016 = 16.469.060.287.680
Sprawdzenie:
16.469.060.287.680 – 2013 = 16.469.060.285.667
16.469.060.285.667 : 2013 = 8.181.351.359
16.469.060.287.680 – 2014 = 16.469.060.285.666
16.469.060.285.666 : 2014 = 8.177.289.119
16.469.060.287.680 – 2015 = 16.469.060.285.665
16.469.060.285.665 : 2015 = 8.173.230.911
16.469.060.287.680 – 2016 = 16.469.060.285.664
16.469.060.285.664 : 2016 = 8.169.176.729
Liczbę 16.469.060.287.680 = 2013 · 2014 · 2015 · 2016 w
rozkładzie na czynniki pierwsze zapiszemy jako:
16.469.060.287.680 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2· 3 · 3 · 3 ·
5 · 7· 11 · 13 · 19 · 31 · 53 · 61,
16.469.060.287.680 = 26 ·33 · 51
· 71· 111 · 131 · 191 · 311
· 531 · 611
Wykazać, że liczba jest podzielna odpowiednio przez:
{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16}
Zatem liczba jest podzielna przez te wszystkie podane
liczby wtedy i tylko wtedy gdy te liczby są jej dzielnikami, możemy z podanych
czynników zapisać jej wskazane dzielniki:
16.469.060.287.680 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2· 3 · 3 · 3 · 5 · 7· 11 · 13 · 19 · 31 · 53 · 61,
16.469.060.287.680 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2· 3 · 3 · 3 · 5 · 7· 11 · 13 · 19 · 31 · 53 · 61,
2 = 2
3 = 3
4 = 2 · 2
5 = 5
6 = 2 · 3
7 = 7
8 = 2 · 2 · 2
9 = 3 · 3
10 = 2 · 5
11 = 11
12 = 2 · 2 · 3
13 = 13
14 = 2 · 7
15 = 3 · 5
16 = 2 · 2 · 2 · 2
3 = 3
4 = 2 · 2
5 = 5
6 = 2 · 3
7 = 7
8 = 2 · 2 · 2
9 = 3 · 3
10 = 2 · 5
11 = 11
12 = 2 · 2 · 3
13 = 13
14 = 2 · 7
15 = 3 · 5
16 = 2 · 2 · 2 · 2
Ile dzielników ma dana liczba?
16.469.060.287.680 = 26 ·33 · 51
· 71· 111 · 131 · 191 · 311
· 531 · 611
Ile = (6+1)(3+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)
Ile = 7 · 4 ·
2 · 2
· 2 · 2 · 2 ·
2 · 2 · 2
Ile = 71 ·22 · 2 ·
2 · 2
· 2 · 2 · 2 ·
2 · 2
Ile = 71 ·210
Wykazać, że liczba jej dzielników naturalnych jest
podzielna odpowiednio przez naturalne potęgi liczby 2 mniejsze lub równe 210.
Jeśli liczba 71 ·210 jest podzielna przez 210 to jest podzielnia również przez wszystkie
naturalne potęgi liczby 2 mniejsze lub równe 210. Zatem liczba
dzielników naturalnych tej liczby jest podzielna odpowiednio przez {20,
21, 22, 23, 24, 25, 26,
27, 28, 29, 210}.
Odpowiedź: Najmniejsza liczba naturalna spełniająca powyższe warunki to 16.469.060.287.680
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz