Tweety na temat @MinorMatematyka

Pomoce dla klasy

Szukaj na tym blogu lub wpisz post nr 1-535

Zero do potęgi zerowej

Zero do potęgi zerowej


Ile wynosi 00?
Jak przebiega wykres funkcji f(x)=xx?


Zero do potęgi zerowej nie jest jednoznaczny i jest jednym z siedmiu symboli nieoznaczonych, ponieważ przyjmuje dwie wartości 0 lub 1.


W większości przypadków, które nie wykorzystują ciągłości (na przykład, ograniczając się wyłącznie do wykładników całkowitych) interpretowanie 0^0 jako 1 upraszcza wzory i eliminuje konieczność rozważania przypadków szczególnych w twierdzeniach (por. przypadki niżej, które wykorzystują ciągłość). Na przykład:

Z drugiej strony 0^0 musi być uważane za wyrażenie nieoznaczone w kontekstach, gdzie wykładnik zmienia się w sposób ciągły:

  • jeżeli f(t) i g(t) są funkcjami o wartościach rzeczywistych zbiegającymi do 0 (gdy t zbiega do liczby rzeczywistej bądź \pm\infty), gdzie f(t) > 0, to funkcja f(t)^{g(t)} nie musi zbiegać do 1. Rzeczywiście, w zależności od f i g granica f(t)^{g(t)} może być dowolną nieujemną liczbą rzeczywistą bądź +\infty albo może być nieokreślona. Granice zawierające operacje algebraiczne mogą być często wyznaczone przez zamianę podwyrażeń ich granicami; jeśli wyrażenie wynikowe nie określa oryginalnej granicy, to wyrażenie nazywa się nieoznaczonym (ma postać nieoznaczoną)[9]

Przykładowo funkcje niżej są postaci f(t)^{g(t)}, gdzie f(t), g(t) \to 0 dla t \to 0^+ (zob. granica jednostronna), ale ich granice nie są równe:
\lim_{t \to 0^+} t^t = 1, \quad \lim_{t \to 0^+} (e^{-1/t^2})^t = 0, \quad \lim_{t \to 0^+} (e^{-1/t^2})^{-t} = +\infty, \quad \lim_{t \to 0^+} (e^{-1/t})^{at} = e^{-a}.
Tak więc 0^0 jest wyrażeniem nieoznaczonym. Takie zachowanie pokazuje, że funkcja x^y dwóch zmiennych choć jest ciągłą na zbiorze \{(x, y)\colon x > 0\}, nie może być rozszerzona do funkcji ciągłej na dowolnym zbiorze zawierającym (0, 0), nie ważne jak zdefiniuje się 0^0[10].

  • Funkcja z^z jest określona dla niezerowych liczb zespolonych z przez wybranie gałęzi \log z i przyjęcie z^z := e^{z \log z}, ponieważ nie ma gałęzi \log z zdefiniowanej w z = 0, tylko w otoczeniu zera[11]. Nie istnieje funkcja holomorficzna określona w otoczeniu zera, która byłaby zgodna z z^z dla wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych z
Źródło
Post nr 106   

2 komentarze:

WESPRZYJ BLOGA ZRZUTKĄ


Czytelniku, miło kiedy komentujesz posty. Chętnie zapoznam się z Twoim sposobem  rozwiązania zadania. Aby ten blog stanowił dla Czytelników pewną wartość, nie mogę pozwolić, żeby każdy mógł tu pisać co tylko chce. Korzystanie z bloga oznacza akceptację Regulaminu.
Regulamin bloga
1. Myśl zanim coś napiszesz – zanim zechcesz skrytykować moje sposoby rozwiązania zadań zastanów się jak możesz z tego skorzystać. Jeszcze raz – nie twierdzę, że wszystko co napiszę będzie dla Ciebie pomocne. Niemniej niektóre wskazówki po Twojej modyfikacji mogą dobrze Ci służyć. Myśl samodzielnie.
2. Publikuję wskazówki, które mogą pomóc Ci zrozumieć jak można rozwiązywać zadania matematyczne.
3. W ramach kopiowania zdjęć z bloga skorzystaj z przycisków udostępniania dostępnych w postach na blogu.
4. Wszystkie komentarze na blogu są moderowane przez autora bloga.
5. Korzystanie z bloga w całości jest nieodpłatne.