Zero do potęgi zerowej

Ile wynosi 0⁰?

Jak przebiega wykres funkcji f(x)=x^x?

Zero do potęgi zerowej nie jest jednoznaczny i jest jednym z siedmiu symboli nieoznaczonych, ponieważ przyjmuje dwie wartości 0 lub 1.

W większości przypadków, które nie wykorzystują ciągłości (na przykład, ograniczając się wyłącznie do wykładników całkowitych) interpretowanie $0^0$ jako $1$ upraszcza wzory i eliminuje konieczność rozważania przypadków szczególnych w twierdzeniach (por. przypadki niżej, które wykorzystują ciągłość). Na przykład:

postrzeganie $0^0$ jako iloczynu pustego zer sugeruje wartość równą $1$ ;
interpretacją kombinatoryczną $0^0$ jest liczba pustych krotek elementów zbioru pustego: istnieje dokładnie jedna pusta krotka;
równoważnie interpretacją teoriomnogościową $0^0$ jest liczba funkcji ze zbioru pustego w zbiór pusty: istnieje dokładnie jedna taka funkcja – funkcja pusta^[7];
znacząco upraszcza teorię wielomianów i szeregów potęgowych dzięki temu, iż wyraz wolny może być zapisany jako $ax^0$ dla dowolnego $x$ , np.
- wzór na współczynniki iloczynu wielomianów straciłby na prostocie, gdyby wyrazy wolne musiałyby być traktowane oddzielnie;
- dla dzielników zera (elementów pierścieni spełniających $a, b \ne 0$ , ale $ab=0$ ) z własności potęgowania otrzymuje się $1 = a^0 b^0 = (ab)^0 = 0^0$ ;
- tożsamości postaci $\textstyle \tfrac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$ i $\textstyle e^x = \sum_{n=0}^\infty \tfrac{x^n}{n!}$ nie są poprawne dla $x = 0$ , jeśli $0^0 \ne 1$ .
- twierdzenie o dwumianie $\textstyle(1 + x)^n = \sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} x^k$ nie jest poprawne dla $x = 0$ , jeżeli $0^0 \ne 1$ ^[8];
w rachunku różniczkowym wzór na różniczkę jednomianu $\textstyle\tfrac{\operatorname d}{\operatorname dx} x^n = nx^{n-1}$ nie jest poprawny dla $n = 1$ w punkcie $x = 0$ , gdy $0^0 \ne 1$ .

Z drugiej strony $0^0$ musi być uważane za wyrażenie nieoznaczone w kontekstach, gdzie wykładnik zmienia się w sposób ciągły:

jeżeli $f(t)$ i $g(t)$ są funkcjami o wartościach rzeczywistych zbiegającymi do $0$ (gdy $t$ zbiega do liczby rzeczywistej bądź $\pm\infty$ ), gdzie $f(t) > 0$ , to funkcja $f(t)^{g(t)}$ nie musi zbiegać do $1$ . Rzeczywiście, w zależności od $f$ i $g$ granica $f(t)^{g(t)}$ może być dowolną nieujemną liczbą rzeczywistą bądź $+\infty$ albo może być nieokreślona. Granice zawierające operacje algebraiczne mogą być często wyznaczone przez zamianę podwyrażeń ich granicami; jeśli wyrażenie wynikowe nie określa oryginalnej granicy, to wyrażenie nazywa się nieoznaczonym (ma postać nieoznaczoną)^[9]

Przykładowo funkcje niżej są postaci $f(t)^{g(t)}$ , gdzie $f(t), g(t) \to 0$ dla $t \to 0^+$ (zob. granica jednostronna), ale ich granice nie są równe:

$\lim_{t \to 0^+} t^t = 1, \quad \lim_{t \to 0^+} (e^{-1/t^2})^t = 0, \quad \lim_{t \to 0^+} (e^{-1/t^2})^{-t} = +\infty, \quad \lim_{t \to 0^+} (e^{-1/t})^{at} = e^{-a}$ .

Tak więc $0^0$ jest wyrażeniem nieoznaczonym. Takie zachowanie pokazuje, że funkcja $x^y$ dwóch zmiennych choć jest ciągłą na zbiorze $\{(x, y)\colon x > 0\}$ , nie może być rozszerzona do funkcji ciągłej na dowolnym zbiorze zawierającym $(0, 0)$ , nie ważne jak zdefiniuje się $0^0$ ^[10].

Funkcja $z^z$ jest określona dla niezerowych liczb zespolonych $z$ przez wybranie gałęzi $\log z$ i przyjęcie $z^z := e^{z \log z}$ , ponieważ nie ma gałęzi $\log z$ zdefiniowanej w $z = 0$ , tylko w otoczeniu zera^[11]. Nie istnieje funkcja holomorficzna określona w otoczeniu zera, która byłaby zgodna z $z^z$ dla wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych $z$ .

Źródło

Post nr 106

Strony

Szukaj na tym blogu

Zero do potęgi zerowej

Zero do potęgi zerowej

2 komentarze:

Translate