Dywan Sierpińskiego

 

Figura zbudowana w następujący sposób: Kwadrat jednostkowy oznaczamy przez D0 i podzielmy na 9 przystających kwadratów o bokach długości 1/3 każdy; kwadrat środkowy wyłączamy pozostawiając kwadraty zewnętrzne i otrzymujemy figurę D1. Następnie dzielimy każdy z ośmiu pozostałych kwadratów na 9 przystających kwadratów o długości boku 1/9 każdy i ponownie odrzucamy kwadraty znajdujące się w środku otrzymując w ten sposób figurę D2. Analogicznie tworzymy figury Dn, dla n={3, 4, 5, …}.

Część wspólną wszystkich figur Dn, dla n={0, 1, 2, …} nazywamy dywanem Sierpińskiego.

Ile dowolnych białych kwadratów wyłączono z D4?

Sb₀=0

Sb₁=1

Sb₂=1+8=9=Sb₁+8¹

Sb₃=1+8+8·8=73=Sb₂+8·8=Sb₂+8²

Sb₄=1+8+8·8+8·8·8=585=Sb₃+8·8·8=Sb₃+8³

Sb₅=1+8+8·8+8·8·8+8·8·8·8=4681=Sb₄+8·8·8·8=Sb₄+8⁴

Sb₆=1+8+8·8+8·8·8+8·8·8·8+8·8·8·8·8=37449=Sb₅+8·8·8·8·8=Sb₅+8⁵

...

Sumę (ilość) poszczególnych kwadratów białych możemy zapisać rekurencyjnie:
Sb₀=0 
Sb₁=1
Sb_n+1=Sb_n+8ⁿ dla n≥1

 
Post nr 133