Ciąg geometryczny kwadratów

 

Podana figura przedstawia ciąg geometryczny kwadratów. Wyznacz 2013 wyraz ciągu (k_n) wiedząc, że kolejne wyrazy ciągu to kwadraty o boku długości k₁, k₂, k₃, ... i pole 2013 figury (P) p₁+t₁, p₂+t₂, p₃+t₃, ... wiedząc, że składa się z kwadratu o boku długości p_n i trójkąta o podstawie k_n i wysokości k_n-1 opuszczonej na daną podstawę.

k_n=> długości boków odpowiednich kwadratów

k₀=2=2¹
k₁=4=2²

k₂=8=2³
k₃=16=2⁴
k₄=32=2⁵
…
k₂₀₁₃=2²⁰¹⁴

k_n=2ⁿ⁺¹

Pp_n=> Pole kwadratu + Pole trójkąta

Pp₁=p₁²+1/2∙k₁∙k₀

Pp₁=8+1/2∙4∙2=8+4=2³+2²=2²(2¹+2⁰)=2²∙3


Pp₂=p₂²+1/2∙k₂∙k₁

Pp₂=32+1/2∙8∙4=32+16=2⁵+2⁴=2⁴(2¹+2⁰)=2⁴∙3


Pp₃=p₃²+1/2∙k₃∙k₂

Pp₃=128+1/2∙16∙8=128+64=2⁷+2⁶=2⁶(2¹+2⁰)=2⁶∙3


Pp₄=p₄²+1/2∙k₄∙k₃

Pp₄=512+1/2∙32∙16=256+128=2⁹+2⁸=2⁸(2¹+2⁰)=2⁸∙3

…


Pp₂₀₁₃=p₂₀₁₃²+1/2∙k₂₀₁₃∙k₂₀₁₂

Pp₂₀₁₃=2⁴⁰²⁶∙3

Pp_n=p_n²+1/2∙k_n∙k_n-1

Pp_n=2²ⁿ∙3

Post nr 134