Trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt Sierpińskiego
Łącząc odcinkami środki A1, B1, C1 boków trójkąta ABC, otrzymujemy trójkąt równoboczny A1 B1 C1, wpisany w trójkąt ABC. Otrzymaliśmy pole T1 trójkąta A1 B1 C1. W każdy z trzech trójkątów równobocznych AA1C1, BA1B1, CB1C1 analogicznie wpisujemy trójkąt równoboczny i obliczamy sumę T2 pól otrzymanych trzech trójkątów. Następnie w każdy z dziewięciu pozostałych trójkątów analogicznie wpisujemy trójkąty równoboczne i obliczamy sumę T3 pól wszystkich dziewięciu trójkątów. Opisany proces wpisywania trójkątów równobocznych powtarzamy n razy (n należy do N) i obliczamy sumę Tn pól trójkątów otrzymanych w n-tym etapie tego procesu.
a) Oblicz sumę Tn pól
trójkątów równobocznych otrzymanych w n-tym etapie algorytmu wpisywania
trójkątów równobocznych w trójkąt ABC
a={a1,
a2, a3, …}
b) Niech:
S1=T1
S2=T1+T2
S2=T1+T2
…
Sn=T1+3∙T2+9∙T3+…+3n-1
∙Tn
Obliczyć granicę Sn, n dąży do
nieskończoności. Podać interpretację otrzymanego wyniku.
Udowodnimy, że ciąg T1, T2,
T3, …, Tn jest nieskończonym ciągiem geometrycznym.
Istotnie:
Wobec tego (Tn) dla nϵN jest nieskończonym ciągiem geometrycznym o ilorazie q=3/4. Wiemy, że
Drzewo fraktalne
W niezwykły sposób uhonorowano polskiego matematyka. Przed wydziałem matematyki Cambridge University, jednego z najlepszych uniwersytetów na świecie, stanęło drzewo fraktalne oparte na odkryciu polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego.
Źródło: polskieradio.pl |
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz