Dzielenie wielomianu przez dwumian (x-p), za pomocą twierdzenia Bézout
Liczbę p nazywamy pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i
tylko wtedy, gdy W(p)=0.
Jeśli liczba p jest pierwiastkiem wielomianu W(x), to wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian
x-p.
Jeżeli wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x-p), to liczba p jest pierwiastkiem wielomianu W(x).
Jeżeli wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x-p), to liczba p jest pierwiastkiem wielomianu W(x).
Resztę R z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x-p)
możemy obliczyć korzystając z równości R=W(p).
Wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian wtedy i tylko
wtedy, gdy liczb p jest pierwiastkiem wielomianu W(x). Twierdzenie to nosi
nazwę twierdzenia Bézout i ma zastosowanie do rozkładu wielomianu na czynniki i
do obliczania pierwiastków wielomianu.
Liczbę p nazywamy pierwiastkiem k-krotnym wielomianu W(x) wtedy, gdy wielomian W(x) można przedstawić w postaci:
W(x) = (x-p)k· Q(x), gdzie Q(x)≠0
Liczbę p nazywamy pierwiastkiem k-krotnym wielomianu W(x) wtedy, gdy wielomian W(x) można przedstawić w postaci:
W(x) = (x-p)k· Q(x), gdzie Q(x)≠0
Wielomian stopnia n ma co najwyżej n pierwiastków. Stopień
wielomianu W(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+…+a2x2+a1x+a0 określamy przy xn, gdzie n jest
stopniem wielomianu.
Pierwiastki całkowite wielomianu:
W wyniku dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x-p) (twierdzenie Bézout) otrzymujemy wielomian Q(x), którego stopnień wielomianu jest o jeden niższy od stopnia wielomianu W(x). Trudno nieraz znaleźć taką liczbę p, aby była ona pierwiastkiem wielomianu W(x), to znaczy, aby spełniała warunek W(p)=0.
W wyniku dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x-p) (twierdzenie Bézout) otrzymujemy wielomian Q(x), którego stopnień wielomianu jest o jeden niższy od stopnia wielomianu W(x). Trudno nieraz znaleźć taką liczbę p, aby była ona pierwiastkiem wielomianu W(x), to znaczy, aby spełniała warunek W(p)=0.
Pomocne w takiej sytuacji jest twierdzenie o znajdowaniu
pierwiastków całkowitych wielomianu.
Jeżeli wielomian W(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+…+a2x2+a1x+a0 stopnia n o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek całkowity, to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego a0.
Jeżeli wielomian W(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+…+a2x2+a1x+a0 stopnia n o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek całkowity, to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego a0.
Dowód tego twierdzenia.
Założenie: Niech pϵC, gdzie p jest pierwiastkiem wielomianu W(x) i spełnia warunek W(p)=0
Teza: p jest dzielnikiem liczby a0
Dowód:
W(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+…+a2x2+a1x+a0, gdzie {an, an-1, an-2,..., a2, a1, a0}ϵC
Ponieważ W(p)= anpn+an-1pn-1+an-2pn-2+…+a2p2+a1p+a0
W(p)=0 <=> anpn+an-1pn-1+an-2pn-2+…+a2p2+a1p+a0=0
anpn+an-1pn-1+an-2pn-2+…+a2p2+a1p=-a0
Po wyłączeniu p otrzymujemy:
p(anpn-1+an-1pn-2+an-2pn-3+…+a2p+a1)=-a0
Dzielimy obie strony równania przez p
anpn-1+an-1pn-2+an-2pn-3+…+a2p+a1=-a0/p
Lewa strona równania jest liczbą całkowitą, a więc również prawa strona równania (-a0/p) musi być liczbą całkowitą. To oznacza, że liczba p jest dzielnikiem wyrazu a0.
Założenie: Niech pϵC, gdzie p jest pierwiastkiem wielomianu W(x) i spełnia warunek W(p)=0
Teza: p jest dzielnikiem liczby a0
Dowód:
W(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+…+a2x2+a1x+a0, gdzie {an, an-1, an-2,..., a2, a1, a0}ϵC
Ponieważ W(p)= anpn+an-1pn-1+an-2pn-2+…+a2p2+a1p+a0
W(p)=0 <=> anpn+an-1pn-1+an-2pn-2+…+a2p2+a1p+a0=0
anpn+an-1pn-1+an-2pn-2+…+a2p2+a1p=-a0
Po wyłączeniu p otrzymujemy:
p(anpn-1+an-1pn-2+an-2pn-3+…+a2p+a1)=-a0
Dzielimy obie strony równania przez p
anpn-1+an-1pn-2+an-2pn-3+…+a2p+a1=-a0/p
Lewa strona równania jest liczbą całkowitą, a więc również prawa strona równania (-a0/p) musi być liczbą całkowitą. To oznacza, że liczba p jest dzielnikiem wyrazu a0.
Jeśli wielomian W(x) ma współczynniki dodatnie, to W(x)>0
dla każdego xϵR+.
Pierwiastkami wielomianu mogą być też liczby wymierne w
postaci ułamka nieskracalnego p/q.
Jeżeli wielomian W(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+…+a2x2+a1x+a0 stopnia n o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek wymierny w postaci ułamka nieskracalnego p/q, to znaczy x=p/q, to p jest dzielnikiem wyrazu a0, q jest dzielnikiem an.
Jeżeli wielomian W(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+…+a2x2+a1x+a0 stopnia n o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek wymierny w postaci ułamka nieskracalnego p/q, to znaczy x=p/q, to p jest dzielnikiem wyrazu a0, q jest dzielnikiem an.
Dowód tego twierdzenia.
Założenie: W(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+…+a2x2+a1x+a0, {an, an-1, an-2,..., a2, a1, a0}ϵC, an≠0, p/q - ułamek nieskracalny, W(p/q)=0
Teza: p jest dzielnikiem a0, q jest dzielnikiem an
Dowód:
W(p/q)=0 <=> an(p/q)n+an-1(p/q)n-1+an-2(p/q)n-2+…+a2(p/q)2+a1(p/q)+a0=0
Obie strony równości mnożymy przez qn
Założenie: W(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+…+a2x2+a1x+a0, {an, an-1, an-2,..., a2, a1, a0}ϵC, an≠0, p/q - ułamek nieskracalny, W(p/q)=0
Teza: p jest dzielnikiem a0, q jest dzielnikiem an
Dowód:
W(p/q)=0 <=> an(p/q)n+an-1(p/q)n-1+an-2(p/q)n-2+…+a2(p/q)2+a1(p/q)+a0=0
Obie strony równości mnożymy przez qn
anpn+an-1pn-1q+an-2pn-2q2 +…+a2p2qn-2+a1pqn-1+a0qn=0
anpn+an-1pn-1q+an-2pn-2q2 +…+a2p2qn-2+a1pqn-1=-a0qn
anpn+an-1pn-1q+an-2pn-2q2 +…+a2p2qn-2+a1pqn-1=-a0qn
Po wyłączeniu p otrzymujemy:
p(anpn-1+an-1pn-2q+an-2pn-3q2 +…+a2pqn-2+a1qn-1)=-a0qn
Lewa strona tej równości jest podzielna przez p, zatem prawa strona też musi być podzielna przez p.
Prawa strona będzie podzielna przez p, gdy a0 będzie podzielne przez p, gdyż qn nie jest podzielne przez p z założenia (p/q – z założenia ułamek nieskracalny). Stąd p musi być dzielnikiem a0.
Przekształcając równość mamy:
an-1pn-1q+an-2pn-2q2+an-3pn-3q3 +…+a2p2qn-2+a1pqn-1+a0qn=-anqn
q(an-1pn-1+an-2pn-1q2+an-3pn-2q3 +…+a2p2qn-3+a1pqn-2+a0qn-1)=-anqn
Lewa strona ostatniej równości jest podzielna przez q, więc prawa strona też musi być podzielna przez q. Ponieważ p i q nie mają wspólnego dzielnika, więc liczba q musi być dzielnikiem an.
p(anpn-1+an-1pn-2q+an-2pn-3q2 +…+a2pqn-2+a1qn-1)=-a0qn
Lewa strona tej równości jest podzielna przez p, zatem prawa strona też musi być podzielna przez p.
Prawa strona będzie podzielna przez p, gdy a0 będzie podzielne przez p, gdyż qn nie jest podzielne przez p z założenia (p/q – z założenia ułamek nieskracalny). Stąd p musi być dzielnikiem a0.
Przekształcając równość mamy:
an-1pn-1q+an-2pn-2q2+an-3pn-3q3 +…+a2p2qn-2+a1pqn-1+a0qn=-anqn
q(an-1pn-1+an-2pn-1q2+an-3pn-2q3 +…+a2p2qn-3+a1pqn-2+a0qn-1)=-anqn
Lewa strona ostatniej równości jest podzielna przez q, więc prawa strona też musi być podzielna przez q. Ponieważ p i q nie mają wspólnego dzielnika, więc liczba q musi być dzielnikiem an.
Każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych można
rozłożyć na czynniki stopnia co najwyżej drugiego o współczynnikach
rzeczywistych.
Metody rozkładania wielomianu na czynniki tylko niektórych wielomianów wyższych stopni:
a) sprowadzanie do postaci iloczynowej trójmianu kwadratowego
b) wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia
c) wyłączanie wspólnego czynniki poza nawias
d) grupowanie wyrazów
e) korzystanie z twierdzenienia Bézout
f) korzystanie ze schematu Hornera (więcej)
Czynniki (ax+b) będące wielomianami co najwyżej stopnia pierwszego nazywamy czynnikami liniowymi.
Metody rozkładania wielomianu na czynniki tylko niektórych wielomianów wyższych stopni:
a) sprowadzanie do postaci iloczynowej trójmianu kwadratowego
b) wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia
c) wyłączanie wspólnego czynniki poza nawias
d) grupowanie wyrazów
e) korzystanie z twierdzenienia Bézout
f) korzystanie ze schematu Hornera (więcej)
Czynniki (ax+b) będące wielomianami co najwyżej stopnia pierwszego nazywamy czynnikami liniowymi.
Dzielenie wielomianu przez dwumian (x-p), za pomocą
twierdzenia Bézout.
- dzielimy wyraz pierwszy wielomianu przez x (obniżamy stopień jednomianu o
jeden)
- mnożymy dwumian (x-p) przez otrzymany iloraz i zapisujemy pod wielomianem ze
zmienionym znakiem
- dodajemy częściowe jednomiany wielomianu
- spisujemy tyle składników ile posiada dzielnik ilorazu
- powtarzamy dzielenie dla nowego jednomianu
Zobacz także jak rozłożyć wielomian na czynniki schematem (metodą) Hornera (więcej)
Post nr 380
Zobacz także jak rozłożyć wielomian na czynniki schematem (metodą) Hornera (więcej)
Post nr 380
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz