Tweety na temat @MinorMatematyka

Nowość! Snapchat: matematycznyswi

 Snapchat: matematycznyswi

Szukaj na tym blogu lub wpisz post nr 1-505

wtorek, 4 marca 2014

Twierdzenie Bézout

Dzielenie wielomianu przez dwumian (x-p), za pomocą twierdzenia Bézout

Dzielenie wielomianu przez dwumian (x-p), za pomocą twierdzenia Bézout.


Liczbę p nazywamy pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy W(p)=0.
Jeśli liczba p jest pierwiastkiem wielomianu W(x), to  wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x-p.
Jeżeli wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x-p), to liczba p jest pierwiastkiem wielomianu W(x).
Resztę R z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x-p) możemy obliczyć korzystając z równości R=W(p).

Wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian wtedy i tylko wtedy, gdy liczb p jest pierwiastkiem wielomianu W(x). Twierdzenie to nosi nazwę twierdzenia Bézout i ma zastosowanie do rozkładu wielomianu na czynniki i do obliczania pierwiastków wielomianu.
Liczbę p nazywamy pierwiastkiem k-krotnym wielomianu W(x) wtedy, gdy wielomian W(x) można przedstawić w postaci:
W(x) = (x-p)k· Q(x), gdzie Q(x)≠0
Wielomian stopnia n ma co najwyżej n pierwiastków. Stopień wielomianu W(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+…+a2x2+a1x+a0  określamy przy xn, gdzie n jest stopniem wielomianu.
Pierwiastki całkowite wielomianu:
W wyniku dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x-p) (twierdzenie Bézout) otrzymujemy wielomian Q(x), którego stopnień wielomianu jest o jeden niższy od stopnia wielomianu W(x). Trudno nieraz znaleźć taką liczbę p, aby była ona pierwiastkiem wielomianu W(x), to znaczy, aby spełniała warunek W(p)=0.
Pomocne w takiej sytuacji jest twierdzenie o znajdowaniu pierwiastków całkowitych wielomianu.
Jeżeli wielomian W(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+…+a2x2+a1x+a0 stopnia n o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek całkowity, to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego a0.
Dowód tego twierdzenia.
Założenie: Niech pϵC, gdzie p jest pierwiastkiem wielomianu W(x) i spełnia warunek W(p)=0
Teza: p jest dzielnikiem liczby a0
Dowód:
W(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+…+a2x2+a1x+a0, gdzie {an, an-1, an-2,..., a2, a1, a0}ϵC
Ponieważ W(p)= anpn+an-1pn-1+an-2pn-2+…+a2p2+a1p+a0
W(p)=0 <=> anpn+an-1pn-1+an-2pn-2+…+a2p2+a1p+a0=0
                          anpn+an-1pn-1+an-2pn-2+…+a2p2+a1p=-a0
Po wyłączeniu p otrzymujemy:
                       p(anpn-1+an-1pn-2+an-2pn-3+…+a2p+a1)=-a0
Dzielimy obie strony równania przez p
                            anpn-1+an-1pn-2+an-2pn-3+…+a2p+a1=-a0/p
Lewa strona równania jest liczbą całkowitą, a więc również prawa strona równania (-a0/p) musi być liczbą całkowitą. To oznacza, że liczba p jest dzielnikiem wyrazu a0.
Jeśli wielomian W(x) ma współczynniki dodatnie, to W(x)>0 dla każdego xϵR+.
Pierwiastkami wielomianu mogą być też liczby wymierne w postaci ułamka nieskracalnego p/q.
Jeżeli wielomian W(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+…+a2x2+a1x+a0 stopnia n o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek wymierny w postaci ułamka nieskracalnego p/q, to znaczy x=p/q, to p jest dzielnikiem wyrazu a0, q jest dzielnikiem an.
Dowód tego twierdzenia.
Założenie: W(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+…+a2x2+a1x+a0, {an, an-1, an-2,..., a2, a1, a0}ϵC, an≠0, p/q -  ułamek nieskracalny, W(p/q)=0
Teza: p jest dzielnikiem a0, q jest  dzielnikiem an
Dowód:
W(p/q)=0 <=> an(p/q)n+an-1(p/q)n-1+an-2(p/q)n-2+…+a2(p/q)2+a1(p/q)+a0=0
Obie strony równości mnożymy przez qn
            anpn+an-1pn-1q+an-2pn-2q2 +…+a2p2qn-2+a1pqn-1+a0qn=0
                    anpn+an-1pn-1q+an-2pn-2q2 +…+a2p2qn-2+a1pqn-1=-a0qn
Po wyłączeniu p otrzymujemy:
                p(anpn-1+an-1pn-2q+an-2pn-3q2 +…+a2pqn-2+a1qn-1)=-a0qn
Lewa strona tej równości jest podzielna przez p, zatem prawa strona też musi być podzielna przez p.
Prawa strona będzie podzielna przez p, gdy a0 będzie podzielne przez p, gdyż qn nie jest podzielne przez p z założenia (p/q – z założenia ułamek nieskracalny). Stąd p musi być dzielnikiem a0.
Przekształcając równość mamy:
      an-1pn-1q+an-2pn-2q2+an-3pn-3q3 +…+a2p2qn-2+a1pqn-1+a0qn=-anqn   
 q(an-1pn-1+an-2pn-1q2+an-3pn-2q3 +…+a2p2qn-3+a1pqn-2+a0qn-1)=-anqn
Lewa strona ostatniej równości jest podzielna przez q, więc prawa strona też musi być podzielna przez q. Ponieważ p i q nie mają wspólnego dzielnika, więc liczba q musi być dzielnikiem an.
Każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych można rozłożyć na czynniki stopnia co najwyżej drugiego o współczynnikach rzeczywistych.
Metody rozkładania wielomianu
na czynniki tylko niektórych wielomianów wyższych stopni:
a) sprowadzanie do postaci iloczynowej trójmianu kwadratowego
b) wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia
c) wyłączanie wspólnego czynniki poza nawias
d) grupowanie wyrazów
e) korzystanie z twierdzenienia Bézout
f) korzystanie ze schematu Hornera (więcej)
Czynniki (ax+b) będące wielomianami co najwyżej stopnia pierwszego nazywamy czynnikami liniowymi.


Dzielenie wielomianu przez dwumian (x-p), za pomocą twierdzenia Bézout.
- dzielimy wyraz pierwszy wielomianu przez x (obniżamy stopień jednomianu o jeden)
- mnożymy dwumian (x-p) przez otrzymany iloraz i zapisujemy pod wielomianem ze zmienionym znakiem
- dodajemy częściowe jednomiany wielomianu
- spisujemy tyle składników ile posiada dzielnik ilorazu

Regulamin bloga

Czytelniku, miło kiedy komentujesz posty. Chętnie zapoznam się także z innym Twoim punktem widzenia w podanym rozwiązaniu zadania. Jednak, aby ten blog stanowił dla Czytelników pewną wartość, nie mogę pozwolić, żeby każdy mógł tu pisać co tylko chce.

Blog wymaga wiele czasu pracy, godzin pracy, których nie widać i jako jego autor chcę się na nim dobrze czuć.
Niniejszy Regulamin określa zasady korzystania z bloga www.matematyczny-swiat.pl. Korzystanie z bloga oznacza akceptację Regulaminu.



$1

Sprawy organizacyjne

1. Jeżeli uważasz, że w jakimś temacie czujesz się bardziej kompetentny, to napisz jak to wygląda z Twojego punktu widzenia.

2. Myśl zanim coś napiszesz – zanim zechcesz skrytykować moje sposoby rozwiązania zadań zastanów się jak możesz z tego skorzystać. Jeszcze raz – nie twierdzę, że wszystko co napiszę będzie dla Ciebie pomocne. Niemniej niektóre wskazówki po Twojej modyfikacji mogą dobrze Ci służyć. Myśl samodzielnie.

3. Ten blog to miejsce, w którym publikuję wskazówki, które mogą pomóc Czytelnikom zrozumieć i nauczyć się rozwiązywać zadania matematyczne.

4. Dozwolone jest kopiowanie zdjęć z bloga na portale społecznościowe lub inne blogi z bezwzględnym podaniem aktywnego linka do bloga. Niedozwolone jest kopiowanie zdjęć i treści bez podania aktywnego linka.

5. Pamiętaj, żeby w ramach kopiowania zdjęć z bloga korzystać z przycisków udostępniania dostępnych w postach na blogu.

6. Zdjęcia w postach na blogu są mojego autorstwa i własnością intelektualną, a zdjęcia kopiowane na mój blog są zawsze z podaniem źródła.

7. Blog posiada jednego autora. Autorem bloga jest Robert Karolewski.

8. Zabrania się, przerabiania, przystosowywania, usuwania logotypu lub dokonywania jakichkolwiek innych zmian w zdjęciach na potrzeby własnej publikacji i przypisywanie im autorstwa. Dopuszczalne jest na własne potrzeby bez ich publikacji.

9. Wszystkie zdjęcia na blogu mojego autorstwa zawierają logotyp Minor Matematyczny Świat.
10. Przykłady w zadaniach prezentowane na blogu są przygotowane przeze mnie i moją własnością intelektualną. Na blogu również dostępne są przykładowe zadania z jakimi można spotkać się na różnym poziomie nauczania.
11. Rozwiązania wszystkich zadań z arkuszy maturalnych posiadają logotyp wobec tego, że są to moje przykładowe odpowiedzi.

12. Niniejszy regulamin obowiązuje również na wszystkich moich portalach społecznościowych.

13. Korzystanie z bloga w całości jest nieodpłatne i dostępne dla wszystkich Czytelników.


$2

Komentarze

14. Wszystkie komentarze na blogu są publikowane automatycznie i moderowane przez autora bloga.

a) Jeśli komentarze są obraźliwe zarówno w stosunku do mnie jak i do innych Czytelników, to zostaną usunięte lub ukryte.

b) Jeśli komentarze są niezwiązane z tematem wpisu, to zostaną usunięte lub ukryte.

c). Jeśli komentarze są spamem. Za spam uznaję linki do innych stron, podpisywanie się adresem www, dodawanie adresu strony pod komentarzem, reklama, to zostaną usunięte lub ukryte.


Osoby, które nie będą stosowały się do powyższych zasad $2 mają gwarancję, że ich komentarz pojawi się chwilę na blogu. W skrajnych przypadkach Twoje konto zostanie zablokowane.