Tweety na temat @MinorMatematyka

Pomoce dla klasy

Szukaj na tym blogu lub wpisz post nr 1-535

Pola wielokątów - wzór Picka

Aplet 1 
Otwórz aplet 1 


Aplet 2 
Otwórz aplet 2

Punkt kratowy to miejsce przecięcia się linii kwadratowej siatki. 
Pole wielokąta, którego wierzchołki znajdują się w punktach kratowych kwadratowej siatki na płaszczyźnie, można obliczyć ze
wzoru Picka

gdzie 
P –  oznacza pole wielokąta, 
W – liczbę punktów kratowych leżących wewnątrz wielokąta, a 
B – liczbę punktów kratowych leżących na brzegu tego wielokąta.

Twierdzenie Picka:
Austriacki matematyk George Pick odkrył w 1889 roku prosty sposób, pozwalający wyznaczyć pole wielokąta, którego wierzchołki leżą na punktach kratowych. 
Okazuje się, że o tym decyduje liczba punktów kratowych znajdujących się na brzegu wielokąta i liczba punktów znajdująca się w jego wnętrzu. 
Zauważył on, że jeśli umieścić wielokąt na kratkowanej planszy w taki sposób, że jego wierzchołki leżą w punktach kratowych (czyli na przecięciu linii tworzących kratki), to jego pole jest zależne tylko od liczby punktów kratowych które leżą wewnątrz i na brzegu wielokąta. 
Powyższy wzór jest prawdziwy jedynie dla wielokątów prostych (złożonych z jednego kawałka i bez dziur).


Oblicz pole podanych wielokątów.
Na rysunku przedstawione są trzy wielokąty, których pola są równe. Punkty kratowe leżące na brzegach wielokątów zaznaczone są kolorem niebieskim, a we wnętrzu – pomarańczowym.



P = W + B/2 - 1              P = W + B/2 - 1                    P = W + B/2 - 1
W = 3                                W = 5                                      W = 4
B = 12                               B = 8                                       B = 10
P = 3 + 12/2 - 1             P = 5 + 8/2 - 1                      P = 4 + 10/2 - 1
P = 3 + 6 - 1                   P = 5 + 4 - 1                          P = 4 + 5 - 1
P = 8                               P = 8                                      P = 8
Teraz sprawdź klikając na powyższy rysunek  (lub tutaj etap 2 z 9) jak będzie zmieniało się pole wielokąta w zależności od ilości punktów kratowych leżących wewnątrz i na brzegu tego wielokąta. 
Obserwując zmianę wielkości pola wielokąta, zauważamy, że zwiększając liczbę punktów kratowych wewnętrznych o 1, zwiększamy pole o 1.
Dowód:
P = W + B/2 - 1                        P = (W + 1) + B/2 - 1 
P₂ - P₁ = W + 1 + B/2 - 1 - (W + B/2 - 1)
P₂ - P₁ = W + 1 + B/2 - 1 - W - B/2 + 1
P₂ - P₁ = W - W + B/2 B/2 + 1 - 1 + 1
P₂ - P₁ = 1
Natomiast gdy zwiększa się liczba punktów kratowych brzegowych o 1, to pole wielokąta zwiększy się o 1/2. 
Dowód:
P = W + B/2 - 1                        P = W  + (+1)/2 - 1 
P₂ - P₁ = W  + (+1)/2 - 1  - (W + B/2 - 1)
P₂ - P₁ = W  + B/2 +1/2 - 1  - W - B/2 + 1
P₂ - P₁ = W B/2 B/2 + 1/2 - 1 + 1
P₂ - P₁ = 1/2
Oznaczmy
W - liczbę punktów brzegowych,
B - liczbę punktów wewnętrznych wielokąta.
George Pick stwierdził, że pole wielokąta umieszczonego na sieci kwadratowej jest o 1 mniejsze od sumy punktów wewnętrznych i połowy punktów brzegowych.
Własność ta zwana jest wzorem Picka.

Zadanie 1
Wierzchołki wielokąta leżą na punktach kratowych. Oblicz pole tego wielokąta, przyjmując, że zaznaczone długości odcinków między kolejnym punktami są równe 1.
I Pole wielokąta - wzór Picka
Przykład 1, etap 1 z 4




Przykład 2, etap 2 z 4


Przykład 3, etap 3 z 4

Przykład 4, etap 4 z 4


                II Pole wielokąta - wzór Picka
Przykład 5, etap 1 z 4


Przykład 6, etap 2 z 4



Przykład 7, etap 3 z 4



Przykład 8, etap 4 z 4



Zadanie 2
Policz punkty kratowe znajdujące się wewnątrz wielokąta (W) oraz na jego brzegu (B). Wskaż na suwakach otrzymane liczby, a dowiesz się, jakie jest pole danego wielokąta. 
Kliknij na poniższy rysunek i oblicz pole kolejnych 4 wielokątów.
               III Pole wielokąta - wzór Picka

Przykład 1 z 4

Zadanie 3
W tym przykładzie możesz zmieniać położenie punktów z podwójną obwódką. Wierzchołki wielokąta muszą być uporządkowane w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. 
Policz punkty kratowe znajdujące się wewnątrz wielokąta (W) oraz na jego brzegu (B). Oblicz pole podanego wielokąta.
                IV Pole wielokąta - wzór Picka




Zadanie 4
W tym przykładzie połączono twierdzenie Pitagorasa ze wzorem Picka.
Za pomocą suwaka możesz zmieniać długość przyprostokątnych trójkąta prostokątnego. Zaznacz pokaż a, b i pole. Wtedy dowiesz się jak zmienia się pole i ilość punktów kratowych. Postępując zgodnie z Twierdzeniem Pitagorasa, sprawdź czy suma pól kwadratów zaznaczonych kolorem zielonym i czerwonym, jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej tego trójkąta. 
          Twierdzenie Pitagorasa i wzór Picka





Przygotuj własne figury na geoplanie i oblicz ich pola korzystając ze wzoru Picka






Post nr 511

Brak komentarzy:

Prześlij komentarz

WESPRZYJ BLOGA ZRZUTKĄ


Czytelniku, komentując nie każdy będzie mógł tu pisać co chce. 
Korzystanie z bloga oznacza akceptację Regulaminu.
Regulamin bloga
1. Myśl zanim coś napiszesz – zanim zechcesz skrytykować podane sposoby rozwiązania zadań zastanów się jak możesz z tego skorzystać. Niemniej niektóre wskazówki po Twojej modyfikacji mogą dobrze Ci służyć. Myśl samodzielnie.
2. Wskazówki mogą pomóc Ci zrozumieć matematykę.
3. Kopiując posty z bloga skorzystaj z przycisków udostępniania.
4. Wszystkie komentarze na blogu są moderowane przez autora bloga.
5. Korzystanie z bloga w całości jest nieodpłatne.