Tweety na temat @MinorMatematyka

Nowość! Snapchat: matematycznyswi

 Snapchat: matematycznyswi

Szukaj na tym blogu lub wpisz post nr 1-514

środa, 25 lipca 2018

Pola wielokątów - wzór Picka

Punkt kratowy to miejsce przecięcia się linii kwadratowej siatki. 
Pole wielokąta, którego wierzchołki znajdują się w punktach kratowych kwadratowej siatki na płaszczyźnie, można obliczyć ze
wzoru Picka

gdzie 
P –  oznacza pole wielokąta, 
W – liczbę punktów kratowych leżących wewnątrz wielokąta, a 
B – liczbę punktów kratowych leżących na brzegu tego wielokąta.

Twierdzenie Picka:
Austriacki matematyk George Pick odkrył w 1889 roku prosty sposób, pozwalający wyznaczyć pole wielokąta, którego wierzchołki leżą na punktach kratowych. 
Okazuje się, że o tym decyduje liczba punktów kratowych znajdujących się na brzegu wielokąta i liczba punktów znajdująca się w jego wnętrzu. 
Zauważył on, że jeśli umieścić wielokąt na kratkowanej planszy w taki sposób, że jego wierzchołki leżą w punktach kratowych (czyli na przecięciu linii tworzących kratki), to jego pole jest zależne tylko od liczby punktów kratowych które leżą wewnątrz i na brzegu wielokąta. 
Powyższy wzór jest prawdziwy jedynie dla wielokątów prostych (złożonych z jednego kawałka i bez dziur).

Oblicz pole podanych wielokątów.
Na rysunku przedstawione są trzy wielokąty, których pola są równe. Punkty kratowe leżące na brzegach wielokątów zaznaczone są kolorem niebieskim, a we wnętrzu – pomarańczowym.



P = W + B/2 - 1              P = W + B/2 - 1                    P = W + B/2 - 1
W = 3                                W = 5                                      W = 4
B = 12                               B = 8                                       B = 10
P = 3 + 12/2 - 1             P = 5 + 8/2 - 1                      P = 4 + 10/2 - 1
P = 3 + 6 - 1                   P = 5 + 4 - 1                          P = 4 + 5 - 1
P = 8                               P = 8                                      P = 8
Teraz sprawdź klikając na powyższy rysunek  (lub tutaj etap 2 z 9) jak będzie zmieniało się pole wielokąta w zależności od ilości punktów kratowych leżących wewnątrz i na brzegu tego wielokąta. 
Obserwując zmianę wielkości pola wielokąta, zauważamy, że zwiększając liczbę punktów kratowych wewnętrznych o 1, zwiększamy pole o 1.
Dowód:
P = W + B/2 - 1                        P = (W + 1) + B/2 - 1 
P₂ - P₁ = W + 1 + B/2 - 1 - (W + B/2 - 1)
P₂ - P₁ = W + 1 + B/2 - 1 - W - B/2 + 1
P₂ - P₁ = W - W + B/2 B/2 + 1 - 1 + 1
P₂ - P₁ = 1
Natomiast gdy zwiększa się liczba punktów kratowych brzegowych o 1, to pole wielokąta zwiększy się o 1/2. 
Dowód:
P = W + B/2 - 1                        P = W  + (+1)/2 - 1 
P₂ - P₁ = W  + (+1)/2 - 1  - (W + B/2 - 1)
P₂ - P₁ = W  + B/2 +1/2 - 1  - W - B/2 + 1
P₂ - P₁ = W B/2 B/2 + 1/2 - 1 + 1
P₂ - P₁ = 1/2
Oznaczmy
W - liczbę punktów brzegowych,
B - liczbę punktów wewnętrznych wielokąta.
George Pick stwierdził, że pole wielokąta umieszczonego na sieci kwadratowej jest o 1 mniejsze od sumy punktów wewnętrznych i połowy punktów brzegowych.
Własność ta zwana jest wzorem Picka.

Zadanie 1
Wierzchołki wielokąta leżą na punktach kratowych. Oblicz pole tego wielokąta, przyjmując, że zaznaczone długości odcinków między kolejnym punktami są równe 1.
I Pole wielokąta - wzór Picka
Przykład 1, etap 1 z 4




Przykład 2, etap 2 z 4


Przykład 3, etap 3 z 4

Przykład 4, etap 4 z 4


                II Pole wielokąta - wzór Picka
Przykład 5, etap 1 z 4


Przykład 6, etap 2 z 4



Przykład 7, etap 3 z 4



Przykład 8, etap 4 z 4



Zadanie 2
Policz punkty kratowe znajdujące się wewnątrz wielokąta (W) oraz na jego brzegu (B). Wskaż na suwakach otrzymane liczby, a dowiesz się, jakie jest pole danego wielokąta. 
Kliknij na poniższy rysunek i oblicz pole kolejnych 4 wielokątów.
               III Pole wielokąta - wzór Picka

Przykład 1 z 4

Zadanie 3
W tym przykładzie możesz zmieniać położenie punktów z podwójną obwódką. Wierzchołki wielokąta muszą być uporządkowane w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. 
Policz punkty kratowe znajdujące się wewnątrz wielokąta (W) oraz na jego brzegu (B). Oblicz pole podanego wielokąta.
                IV Pole wielokąta - wzór Picka




Zadanie 4
W tym przykładzie połączono twierdzenie Pitagorasa ze wzorem Picka.
Za pomocą suwaka możesz zmieniać długość przyprostokątnych trójkąta prostokątnego. Zaznacz pokaż a, b i pole. Wtedy dowiesz się jak zmienia się pole i ilość punktów kratowych. Postępując zgodnie z Twierdzeniem Pitagorasa, sprawdź czy suma pól kwadratów zaznaczonych kolorem zielonym i czerwonym, jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej tego trójkąta. 
          Twierdzenie Pitagorasa i wzór Picka





Post nr 511

Regulamin bloga

Czytelniku, miło kiedy komentujesz posty. Chętnie zapoznam się także z innym Twoim punktem widzenia w podanym rozwiązaniu zadania. Jednak, aby ten blog stanowił dla Czytelników pewną wartość, nie mogę pozwolić, żeby każdy mógł tu pisać co tylko chce.

Blog wymaga wiele czasu pracy, godzin pracy, których nie widać i jako jego autor chcę się na nim dobrze czuć.
Niniejszy Regulamin określa zasady korzystania z bloga www.matematyczny-swiat.pl. Korzystanie z bloga oznacza akceptację Regulaminu.



$1

Sprawy organizacyjne

1. Jeżeli uważasz, że w jakimś temacie czujesz się bardziej kompetentny, to napisz jak to wygląda z Twojego punktu widzenia.

2. Myśl zanim coś napiszesz – zanim zechcesz skrytykować moje sposoby rozwiązania zadań zastanów się jak możesz z tego skorzystać. Jeszcze raz – nie twierdzę, że wszystko co napiszę będzie dla Ciebie pomocne. Niemniej niektóre wskazówki po Twojej modyfikacji mogą dobrze Ci służyć. Myśl samodzielnie.

3. Ten blog to miejsce, w którym publikuję wskazówki, które mogą pomóc Czytelnikom zrozumieć i nauczyć się rozwiązywać zadania matematyczne.

4. Dozwolone jest kopiowanie zdjęć z bloga na portale społecznościowe lub inne blogi z bezwzględnym podaniem aktywnego linka do bloga. Niedozwolone jest kopiowanie zdjęć i treści bez podania aktywnego linka.

5. Pamiętaj, żeby w ramach kopiowania zdjęć z bloga korzystać z przycisków udostępniania dostępnych w postach na blogu.

6. Zdjęcia w postach na blogu są mojego autorstwa i własnością intelektualną, a zdjęcia kopiowane na mój blog są zawsze z podaniem źródła.

7. Blog posiada jednego autora. Autorem bloga jest Robert Karolewski.

8. Zabrania się, przerabiania, przystosowywania, usuwania logotypu lub dokonywania jakichkolwiek innych zmian w zdjęciach na potrzeby własnej publikacji i przypisywanie im autorstwa. Dopuszczalne jest na własne potrzeby bez ich publikacji.

9. Wszystkie zdjęcia na blogu mojego autorstwa zawierają logotyp Minor Matematyczny Świat.
10. Przykłady w zadaniach prezentowane na blogu są przygotowane przeze mnie i moją własnością intelektualną. Na blogu również dostępne są przykładowe zadania z jakimi można spotkać się na różnym poziomie nauczania.
11. Rozwiązania wszystkich zadań z arkuszy maturalnych posiadają logotyp wobec tego, że są to moje przykładowe odpowiedzi.

12. Niniejszy regulamin obowiązuje również na wszystkich moich portalach społecznościowych.

13. Korzystanie z bloga w całości jest nieodpłatne i dostępne dla wszystkich Czytelników.


$2

Komentarze

14. Wszystkie komentarze na blogu są publikowane automatycznie i moderowane przez autora bloga.

a) Jeśli komentarze są obraźliwe zarówno w stosunku do mnie jak i do innych Czytelników, to zostaną usunięte lub ukryte.

b) Jeśli komentarze są niezwiązane z tematem wpisu, to zostaną usunięte lub ukryte.

c). Jeśli komentarze są spamem. Za spam uznaję linki do innych stron, podpisywanie się adresem www, dodawanie adresu strony pod komentarzem, reklama, to zostaną usunięte lub ukryte.


Osoby, które nie będą stosowały się do powyższych zasad $2 mają gwarancję, że ich komentarz pojawi się chwilę na blogu. W skrajnych przypadkach Twoje konto zostanie zablokowane.