W restauracji przed przyjęciem

W restauracji przed przyjęciem zestawiono stoliki

W restauracji przed przyjęciem część z 20 stolików 4-osobowych zestawiono po dwa lub po trzy  w sposób pokazany na rysunku. Okazało się, że zostało 12 wolnych krzeseł.

Niech a oznacza liczbę stolików 4-osobowych po przemeblowaniu, b -  liczbę stolików 6-osobowych, c- liczbę stolików 8-osobowych.

Dokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe.

Sytuację tę opisuje układ równań.

Rozwiązanie:
Z treści zadania wynika, że mamy 20 stolików 4-osobowych i w restauracji następuje przemeblowanie w określony sposób. 
Mamy do dyspozycji 20 stolików 4-osobowych i 80 krzeseł.

Zrób przemeblowanie i zauważ co się będzie działo z ilością wolnych krzeseł jeśli zestawisz stoliki 4-osobowe w stoliki 6-osobowe lub 8-osobowe.

Weź 10 stolików 4-osobowych i ustaw je tak, żeby otrzymać stoliki 6-osobowe.

Wniosek
Jeśli zestawisz dwa stoliki 4-osobowe i ustawisz jeden stolik 6-osobowy, to pozostaną wolne 2 krzesła za każdym razem.

Weź 15 stolików 4-osobowych i ustaw je tak, żeby otrzymać stoliki 8-osobowe.

Wniosek
Jeśli zestawisz trzy stoliki 4-osobowe i ustawisz jeden stolik 8-osobowy, to pozostaną wolne 4 krzesła za każdym razem.

To teraz wiemy jak należy przemeblować salę tak, żeby za każdym razem zostało 12 wolnych krzeseł. W jaki sposób można tak zestawić stoliki 4-osobowe?
Mamy dwa wnioski:
a) Jeśli zestawisz dwa stoliki 4-osobowe i ustawisz jeden stolik 6-osobowy, to pozostaną wolne 2 krzesła za każdym razem.
b) Jeśli zestawisz trzy stoliki 4-osobowe i ustawisz jeden stolik 8-osobowy, to pozostaną wolne 4 krzesła za każdym razem.

Należy zapisać sumę 12 tylko za pomocą składników 2 i 4.
Zatem
I 2 + 2 + 2 + 2 + (2 + 2) = 12
Wtedy też robimy takie przemeblowanie, żeby ustawić 0 stolików 8-osobowych,  6 stolików 6-osobowych + pozostałe stoliki 4-osobowe (8 stolików).

Podsumowanie I

Stoliki 8 osobowe	Stoliki 6 osobowe	Stoliki 4 osobowe
0	6	8
0	6 · 6 osobowe = 36 miejsc	8 · 4 osobowe = 32 miejsca
	Razem miejsc	36 + 32 = 68 miejsc
	Razem stolików	0 · 3 + 6 · 2 + 8 = 20 stolików

II 2 + 2 + (2 + 2) + 4 = 12
Wtedy też robimy takie przemeblowanie, żeby ustawić 1 stolik 8-osobowy,  4 stoliki 6-osobowe + pozostałe stoliki 4-osobowe (9 stolików).

Podsumowanie II

Stoliki 8 osobowe	Stoliki 6 osobowe	Stoliki 4 osobowe
1	4	9
1 · 8 osobowe = 8 miejsc	4 · 6 osobowe = 24 miejsca	9 · 4 osobowe = 36 miejsc
	Razem miejsc	8 + 24 + 36 = 68 miejsc
	Razem stolików	1 · 3 + 4 · 2 + 9 = 20 stolików

III (2 + 2) + 4 + 4 = 12
Wtedy też robimy takie przemeblowanie, żeby ustawić 2 stoliki 8-osobowe,  2 stoliki 6-osobowe + pozostałe stoliki 4-osobowe (10 stolików).

Podsumowanie III

Stoliki 8 osobowe	Stoliki 6 osobowe	Stoliki 4 osobowe
2	2	10
2 · 8 osobowe = 16 miejsc	2 · 6 osobowe = 12 miejsc	10 · 4 osobowe = 40 miejsc
	Razem miejsc	16 + 12 + 40 = 68 miejsc
	Razem stolików	2 · 3 + 2 · 2 + 10 = 20 stolików

IV 4 + 4 + 4 = 12
Wtedy też robimy takie przemeblowanie, żeby ustawić 3 stoliki 8-osobowe,  0 stolików 6-osobowych + pozostałe stoliki 4-osobowe (11 stolików).

Podsumowanie IV

Stoliki 8 osobowe	Stoliki 6 osobowe	Stoliki 4 osobowe
3	0	11
3 · 8 osobowe = 24 miejsca	0	11 · 4 osobowe = 44 miejsca
	Razem miejsc	24 + 0 + 44 = 68 miejsc
	Razem stolików	3 · 3 + 0 · 2 + 11 = 20 stolików

Podsumowanie zadania:
Zadanie posiada 4 rozwiązania.

Ilość stolików 4, 6, 8-osobowych

	Stoliki 8 osobowe	Stoliki 6 osobowe	Stoliki 4 osobowe
I	0	6	8
II	1	4	9
III	2	2	10
IV	3	0	11

Ilość miejsc siedzących przy stolikach 4, 6, 8-osobowych

	Stoliki 8 osobowe	Stoliki 6 osobowe	Stoliki 4 osobowe
I	0	36	32
II	8	24	36
III	16	12	40
IV	24	0	44

Ilość stolików 4-osobowych, w każdym ustawieniu musi być 20 stolików

	Stoliki 8 osobowe	Stoliki 6 osobowe	Stoliki 4 osobowe
I	0· 3 = 0	6 · 2 = 12	8
II	1 · 3 = 3	4 · 2 = 8	9
III	2 · 3 = 6	2 · 2 = 4	10
IV	3 · 3 = 9	0 · 2 = 0	11

Z powyższego podsumowania wynika, że odpowiedź A jest prawidłowa.

Układ możemy zapisać z dwóch układów:

a) ilość stolików

I      8 + 2 · 6 + 3 · 0 = 20

II     9 + 2 · 4 + 3 · 1 = 20
III  10 + 2 · 2 + 3 · 2 = 20
IV   11 + 2 · 0 + 3 · 3 = 20

Układ  a + 2b + 3c  = 20
a) ilość miejsc

I      4 · 8 + 6 · 6 + 0 · 8 = 68
II     4 · 9 + 4 · 6 + 1 · 8 = 68
III     4 · 10 + 2 · 6 + 2 · 8 = 68
IV     4 · 11 + 0 · 6 + 3 · 8 = 68

Układ  4a + 6b + 8c  = 68

gdzie:

a- liczba stolików 4-osobowych po przemeblowaniu

b- liczba stolików 6-osobowych po przemeblowaniu

c- liczba stolików 8-osobowych po przemeblowaniu.

Post nr 512