Cyfra 7

Czy wiecie, do zapisu ilu liczb całkowitych z zakresu od 0 do 99999 wykorzystano cyfrę 7? Czy trzeba je wszystkie wypisać, by poznać ich ilość?


0,1,2,3,4,5,6,7,8,9...,99997,99998,99999

Wszystkich tych liczb jest 100000. Ponieważ pierwszą, drugą, trzecią,  czwartą i piątą cyfrę można wybrać na 10 sposobów, dlatego korzystając z zasady mnożenia otrzymujemy
10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 100000

Znajdźmy liczby do zapisu, których cyfry 7 nie użyto. Pierwszą cyfrę możemy wybrać na 9 sposobów, drugą cyfrę możemy wybrać na 9 sposobów, trzecią cyfrę możemy wybrać na 9 sposobów, i również czwartą i piątą cyfrę możemy wybrać na 9 sposobów. Korzystając z zasady mnożenia otrzymujemy
9 x 9 x 9 x 9 x 9  = 59049
Zatem tyle razy w przedziale <0,99999> zapisano liczby bez użycia cyfry 7.

Jeżeli odejmiemy tę liczbę od wszystkich liczb z przedziału <0,99999> to otrzymamy wszystkie te do zapisu, których użyto cyfry 7, zatem
100000-59049=40951
Dokładnie 41%  z przedziału <0,99999> liczb ma użytą do zapisu cyfrę 7

Odp. Liczb do zapisu, których użyto między innymi cyfry 7 w przedziale <0,99999> jest 40951.

Analogicznie można w danym przedziale wykazać, że cyfrę 7 użyto do zapisu liczb:
Przedział                       Użyto cyfry 7        Procent  liczb           Dynamika      
<0,99>                                  11 razy               11,0%                        0
<0,999>                               271 razy               27,1%                     16,1
<0,9999>                            3439 razy               34,4%                      7,3
<0,99999>                         40951 razy               41,0%                      6,6
<0,999999>                      468559 razy               46,9%                      5,9
<0,9999999>                   5217031 razy               52,2%                      5,3
<0,99999999>                56953279 razy               57,0%                      4,8
<0,999999999>             612579511 razy               61,3%                      4,3
<0,9999999999>          6513215599 razy               65,1%                      3,8
Wynika z tego, że im większa liczba tym ilość liczb do zapisu, których użyto cyfrę 7 w stosunku do wszystkich licz się zwiększa. Dynamika dodatnia informuje nas, że następuje relatywne zwiększenie tych liczb.

Post nr 8