Własności działań na liczbach całkowitych

Przygotuj się według poniższych przykładów. Należy pamiętać:
1. Liczby o tych samych znakach dodajemy i przyjmujemy ich znak.
-5 - 5 = -10
-5 + (-5) = -10
(-5) + (-5) = -10
-8 - 8 = - 16
-8 + (-8) = -16

(-8) + (-8) = -16

2. Jeśli odejmujemy lub dodajemy liczby do 0 to przyjmujemy ich znak.
0 - 9 = - 9
0 + 9 = 9

0 - 8 = -8

0 + 8 = 8

3. Możemy zredukować znaki zapisane przed liczbą do jednego znaku stosując własność jak przy mnożeniu. Nieparzysta ilość znaków minus zapisana przed liczbą daje wynik ujemny, a parzysta ilość znaków minus zapisana przed liczbą daje wynik dodatni. Znak dodatni nie ma tutaj znaczenia dlatego pomijamy.

-(-2) = 2

+(-2) = -2

-(-(-2)) = -2

-(-(-(-2))) = 2

-(-(-(-(-2)))) = -2

-(-(+(-2))) = -2

-(+(-(-(-2)))) = 2

-(-(-(-(-(-2))))) = 2

4. Ujemna liczba na początku działania może być zapisana w nawiasie lub bez użycia nawiasu.

(-5) = -5    

5. Ustalanie znaku przy mnożeniu/dzieleniu liczb całkowitych. Najpierw ustalamy znak i dopisujemy liczbę jako wynik. Kolejność wykonywania działania od strony lewej do strony prawej.

Znaki jakie zapisujemy przy mnożeniu liczb całkowitych: 

(-1) · (-1) = +1 = 1 (z tym, że znaku + w wynikach nie zapisujemy)

(-1) · (-1) · (-1) = -1

(-1) · (-1) · (-1) · (-1) = 1

(-1) · (-1) · (-1) · (-1) · (-1) = -1

(-1) · (-1) · (-1) · (-1) · (-1) · (-1) = 1

(-1) · (-1) · (-1) · (-1) · (-1) · (-1) · (-1) = -1

(-1) · (-1) · (-1) · (-1) · (-1) · (-1) · (-1) · (-1) = 1

...

Znaki jakie zapisujemy przy dzieleniu liczb całkowitych: 

(-1) : (-1) = +1 = 1 (z tym, że znaku + w wynikach nie zapisujemy)

(-1) : (-1) : (-1) = -1

(-1) : (-1) : (-1) : (-1) = 1

(-1) : (-1) : (-1) : (-1) : (-1) = -1

(-1) : (-1) : (-1) : (-1) : (-1) : (-1) = 1

(-1) : (-1) : (-1) : (-1) : (-1) : (-1) : (-1) = -1

(-1) : (-1) : (-1) : (-1) : (-1) : (-1) : (-1) : (-1) = 1

...

(-5) · (-2) = 10

-5 · (-2) = 10

(-3) · (-3) · 2 = 18

-3 · (-3) · 2 = 18

(-3) · (-3) · (-2) = -18

-3 · (-3) · (-2) = -18

(-2) · (-3) · (-5) · (-5) = 150

(-6) : (-2) = 3

-25 : (-5) = 5

(-4) : (-4) · 2 = 2

6. Potęgowanie liczb całkowitych.
Jeśli znak jest zapisany w nawiasie to również potęgujemy. Określamy znak jak przy mnożeniu. Bez nawiasu oznacza przepisanie danego znaku przed pierwszym czynnikiem.
2² = 2 · 2 = 4
-2² = -2 · 2 = -4
(-2)² = (-2) · (-2) = 4
2³ = 2 · 2 · 2 = 8
-2³ = -2 · 2 · 2 = -8
(-2)³ = (-2) · (-2) · (-2) = -8

Przed Tobą 6 pytań do miliona. Sprawdź swoją wiedzę. Jest 5 zestawów pytań.
Jeśli zaliczysz pierwszy zestaw pytań to po zagraniu ponownie zaznacz błędnie, a włączy się nowy zestaw pytań. Łącznie 30 pytań.



Jak zapamiętać dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych?


Liczby całkowite możemy podzielić na dwie armie: armię ujemną i armię dodatnią
                       ..., -5, -4, -3, -2, -1,  0,  1, 2, 3, 4, 5, ...

Dodawanie liczb całkowitych to inaczej POWIĘKSZANIE danej armii. Żołnierze z tej samej armii nie walczą ze sobą. Następuje zatem powiększanie armii. Pamiętaj znak armii jest zawsze zapisany przed liczbą.

 -5 + (-6) = -11
 (-5) + (-6) = -11
 -7 + (-8) = -15
 (-7) + (-8) = -15
 -25 + (-20) = -45
 (-25) + (-20) = -45
 -9 + (-5) = -14
 (-9) + (-5) = -14

5 + 9 = 14
7 + 3 = 10
7 + 7 = 14

BITWA między żołnierzami jest wtedy, gdy mamy żołnierzy z armii dodatniej i armii ujemnej. Zwycięża ta armia, która jest liczniejsza i wynik to dokładnie o ile liczniejsza.

(-30) + 20 = -10
50 + (-40) = 10
(-20) + 15 = -5
40 + (-25) = 15

Remis
(-30) + 30 = 0
50 + (-50) = 0

Odejmowanie liczb całkowitych to inaczej ZDRADA danej armii. Żołnierze z danej armii CHCĄ przejść do armii wroga. Następuje zatem BITWA i pomniejszenie danej armii.  

-50 - (-40) = -50 + 40 = -10
(-50) - (-40) = -50 + 40 = -10
-5 - (-4) = -5 + 4 = -1
(-5) - (-4) = -5 + 4 = -1

20 - 12 = 8
40 - 3 = 37
5 - 2 = 3



Post nr 508

Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych

Przygotuj się według poniższych przykładów. Należy pamiętać, że jeśli chcemy zapisać wyrażenie algebraiczne bez użycia nawiasu to znak minus -() zapisany przed nawiasem zmienia nam wszystkie znaki w nawiasie na przeciwne tj. z - na + oraz z + na -. 

 Przykłady: 

a) (2x + 4y + 7) = 2x + 4y + 7 

b) -(2x + 4y + 7) = -2x - 4y - 7
c) -(-4x + 5y + 4z + 7) = 4x - 5y - 4z - 7
d) (-4x + 5y + 4z + 7) = -4x + 5y + 4z + 7
e) -(5a + 4b - 3c - 7) =  -5a - 4b + 3c + 7
f) (5a + 4b - 3c - 7) = 5a + 4b - 3c - 7
g) (2x + 7y - 1) - (2a + 3) = 2x + 7y - 1 - 2a - 3
h) -(2x + 7y - 1) - (2a + 3) = -2x - 7y + 1 - 2a - 3
i -(2x + 7y - 1) + (2a + 3) = -2x - 7y + 1 + 2a + 3

Przed Tobą 6 pytań do miliona. Sprawdź swoją wiedzę. 

I

Odpowiedzi:
1.  (2x + y) - (4a + 5) = 2x + y - 4a - 5
2. (3a + y) - (-5a + 6) = 3a + y + 5a - 6
3. -(4c + x) - (8b + 6) = -4c - x - 8b - 6
4. (-14 - 2ab + 7b) - (-4 + 5a - 3b -4ab) = -14 - 2ab + 7b + 4 - 5a +3b +4ab = -5a + 10b + 2ab -10
5.  (-4x² + 5y³ - 2) - (-x² + 7y³ - 3) dla x = 1, y = 1
(-4x² + 5y³ - 2) - (-x² + 7y³ - 3) = -4x² + 5y³ - 2 + x² - 7y³ + 3 = -3x² - 2y³ + 1

x = 1, y = 1 => -3x² - 2y³ + 1 = -3·1² - 2·1³ + 1 = -3 -2 + 1 = -4 

6. (3x² - 6x + 7) - ( ? ) = -2x² + 3x + 1
( ? ) = (3x² - 6x + 7) - (-2x² + 3x + 1)
( ? ) = 3x² - 6x + 7 + 2x² - 3x - 1
( ? ) = 5x² - 9x + 6 


II












Odpowiedzi:
1. (4x - 5a) - (-2a + 3) = 4x - 5a + 2a - 3
2. (7a + y) - (-3a + 6) = 7a + y + 3a - 6
3. -(-3b + x) - (8a + 6) = 3b - x - 8a - 6
4. (11 - 2xy + 7z) - (-4 + 5x - 3z - 4xy) = 11 - 2xy + 7z + 4 - 5x + 3z + 4xy = -5x + 2xy + 10z + 15
5. (-2x² + 7y³ - 2) - (-x² + 2y³ - 5) dla x = 0, y = 1
(-2x² + 7y³ - 2) - (-x² + 2y³ - 5) = -2x² + 7y³ - 2 + x² - 2y³ + 5 = -x² + 5y³ + 3

x = 0, y = 1 => -x² + 5y³ + 3 = -0² + 5·1³ + 3 = 0 + 5 + 3 = 8

6. (4x² - 5x + 8) + ( ? ) = -6x² + x + 7
 ( ? ) = (-6x² + x + 7) - (4x² - 5x + 8)
 ( ? ) = -6x² + x + 7 - 4x² + 5x - 8
 ( ? ) = -10x² + 6x - 1 

Post nr 506 

Nie można dzielić przez zero

Dlaczego nie można dzielić przez 0?

Dzielenie jest działaniem odwrotnym do mnożenia. Działaniem sprawdzającym dzielenie jest mnożenie. Dlatego podzielić przez 0, to znaczy znaleźć taką liczbę, która pomnożona przez 0 w wyniku daje liczbę różną od 0. Dlatego podzielić przez 0 nie można bo każda liczba w iloczynie pomnożona przez 0, w wyniku daje 0, a nie liczbę różną od 0.

Ponieważ dzielenie definiujemy jako mnożenie przez odwrotność, nie można dzielić przez 0, gdyż nie istnieje liczba odwrotna do 0 tzn. nie istnieje liczba, która pomnożona przez 0, da element neutralny mnożenia czyli 1.
Zero nie może być dzielnikiem, ponieważ takie działanie nie ma sensu liczbowego i jest niewykonalne. Zatem zbliżmy się do zera nieskończenie blisko.

Jeśli niezerowy licznik ułamka będziemy dzielić przez liczbę, która zbliża do 0. Jest nieskończenie blisko 0, dąży do 0 z prawej strony 0 tj. 0+. Wtedy wartości są coraz większe i większe – rozbiegają w plus nieskończoność. 

Uwaga:
Nawias kwadratowy służy do oszacowania wyniku.
W nawiasie kwadratowym nie dzielimy przez 0, tylko przez liczbę, która jest nieskończenie blisko 0 z prawej strony 0. Dlatego jest to symbol, a nie liczba 1/0.


Jeśli niezerowy licznik ułamka będziemy dzielić przez liczbę, która zbliża do 0. Jest nieskończenie blisko 0, dąży do 0 z lewej strony 0 tj. 0^-. Wtedy wartości są coraz mniejsze i mniejsze – rozbiegają w minus nieskończoność. 

Uwaga:
Nawias kwadratowy służy do oszacowania wyniku.
W nawiasie kwadratowym nie dzielimy przez 0, tylko przez liczbę, która jest nieskończenie blisko 0 z lewej strony 0. Dlatego jest to symbol, a nie liczba 1/0.


Jak naszkicować wykres?

Przykład I

Jeśli dla dowolnego x, wartość wyrażenia w mianowniku ułamka jest równa 0, to jaką wartość powinniśmy wpisać do tabeli?

Oczywiście nie ma takiej wartości bo nie można dzielić przez 0.

Liczby dla których wartość mianownika ułamka jest równy 0 tworzą równania prostych prostopadłych do osi Ox. W naszym przykładzie x=0. Jeśli do wzoru funkcji w miejsce x, podstawimy liczbę 0, to nie można obliczyć wartości tej funkcji. O takich prostych mówimy wtedy, że są równaniami asymptot pionowych funkcji. Wykres funkcji będzie wtedy tylko zbliżał do tych asymptot pionowych. Niektóre funkcje mogą przecinać swoje asymptoty lub pokrywać się z nimi. 
Dziedziną funkcji jest przedział D_f =(-∞, 0) ∪ (0, +∞), dla x=0 funkcja nie jest ciągła. Równanie asymptoty pionowej należy szukać z lewej i prawej strony liczby 0. Mamy więc punkty podejrzane o występowanie asymptoty lewostronnej 0^- oraz prawostronnej  0⁺, aby sprawdzić czy istnieje w nich asymptota należy obliczyć granicę funkcji właśnie w tych punktach. Jeśli granica funkcji w punkcie podejrzanym o występowanie asymptoty wynosi plus lub minus nieskończoność to funkcja ma asymptotę pionową lewostronną 0^-, prawostronną 0⁺ lub obustronną 0^-, 0⁺.  Miejsca nieciągłości w dziedzinie funkcji nazywamy podejrzanymi o posiadanie asymptoty pionowej.

1+

Przykład II

Jeśli dla dowolnego x, wartość wyrażenia w mianowniku ułamka jest równa 0, to jaką wartość powinniśmy wpisać do tabeli?

Oczywiście nie ma takiej wartości bo nie można dzielić przez 0.

Liczby dla których wartość mianownika ułamka jest równy 0 tworzą równania prostych prostopadłych do osi Ox. W naszym przykładzie x=-4 i x=1. Jeśli do wzoru funkcji w miejsce x, podstawimy liczbę -4 lub 1, to nie można obliczyć wartości tej funkcji. O takich prostych mówimy wtedy, że są równaniami asymptot pionowych funkcji. Wykres funkcji będzie wtedy tylko zbliżał do tych asymptot pionowych. Niektóre funkcje mogą przecinać swoje asymptoty lub pokrywać się z nimi.
Dziedziną funkcji jest przedział D_f =(-∞, -4) ∪ (-4, 1) ∪ (1, +∞), dla x=-4 i x=1 funkcja nie jest ciągła. Równanie asymptoty pionowej należy szukać z lewej [asymptota lewostronna] i prawej [asymptota prawostronna] strony liczby -4 i 1. Mamy więc punkty podejrzane o występowanie asymptoty -4^-, -4⁺, 1^-, 1⁺, aby sprawdzić czy istnieje w nich asymptota należy obliczyć granicę funkcji właśnie w tych punktach. Jeśli granica funkcji w punkcie podejrzanym o występowanie asymptoty wynosi plus lub minus nieskończoność to funkcja ma asymptotę pionową lewostronną -4^-, 1^-, prawostronną -4⁺, 1⁺ lub obustronną -4^-, -4⁺, 1^-, 1⁺.  Miejsca nieciągłości w dziedzinie funkcji nazywamy podejrzanymi o posiadanie asymptoty pionowej.

Pamiętaj!
Każdy wykres funkcji wymaga przed naszkicowaniem wyznaczenia dziedziny tzw. założeń w obliczeniach, dla których funkcja przyjmuje sens liczbowy. Nie można do tabeli wpisywać tych argumentów funkcji, dla których nie przyjmuje sensu liczbowego. 

Sofizmat to zwodniczy "dowód" matematyczny, pozornie poprawny, lecz faktycznie błędny, zawierający rozmyślnie wprowadzony błąd, na pierwszy rzut oka trudny do wykrycia. Matematyka jako jedna z dziedzin nauki zawiera również błędne twierdzenia, które nazywamy sofizmatami.

Sofizmat

W nawiasie (4-3-1) zapisano liczbę 4-3-1=0, a następnie równanie obustronnie zostało podzielone przez (4-3-1) czyli 0. Zatem z prawdy otrzymaliśmy fałsz. Implikacja jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy poprzednik jest prawdziwy, a następnik jest fałszywy. Inaczej mówić z prawdy nigdy nie wynika fałsz.
Dlatego w podanym sofizmacie widać, że nie wolno dzielić przez 0 bo matematyka nie miałaby sensu. Wtedy wszystkie liczby by były równe.

Czy 0 dzieli się przez 0?
Jeśli zerowy licznik ułamka będziemy dzielić przez liczbę, która zbliża do 0. Jest nieskończenie blisko 0, dąży do 0 z prawej strony 0 tj. 0+ lub dąży do 0 z lewej strony 0 tj. 0^-. Wtedy iloraz jest równy 0.

Jeśli licznik ułamka, który zbliża do 0 z prawej 0+ lub lewej  0^- strony 0 podzielimy przez taką samą liczbę. Wtedy iloraz jest równy 1.

Wynik dzielenia 0 przez 0 jest niejednoznaczny. 
[0/0] to także jeden z symboli nieoznaczonych. Nie oznacza dzielenia 0 przez 0.

 Dlatego wynik dzielenia przez 0 jest nieokreślony?

Zawsze należy wyznaczyć dziedzinę [założenie] wyrażenia wymiernego, żeby nie było dzielenia przez 0.

W wyrażeniu dla x:

Sprawdź jak wyznaczyć DZIEDZINĘ FUNKCJI 40 przykładów


Sprawdź na kalkulatorze jaki wynik otrzymasz 6:0=?

Twój kalkulator wyświetla:
*Błąd (?)
*Nie można dzielić przez 0 (?)
*Infinity (?)
*Error: DivByZero (?)
*Error (?)
*You cannot divide by zero! (?)
*∞ (?)

Dzielić przez zero nie można wcale

Bo pani Zielińska da za to pałę.

Z mnożeniem sprawa wygląda inaczej

Zero w wyniku zawsze zobaczę.
[Wierszyk: Uczeń Maksymilian Heller, Źródło: Kto z nami rymuje ten matmę czuje]

Post nr 504

Wzory skróconego mnożenia

Wzory skróconego mnożenia obliczane w tabeli

Kwadrat sumy dwóch wyrażeń równy jest kwadratowi pierwszego wyrażenia plus podwojony iloczyn pierwszego i drugiego wyrażenia plus kwadrat drugiego wyrażenia (a+b)²=a²+2ab+b².

Do policzenia kwadratu sumy dwóch wyrażeń nie trzeba koniecznie stosować wzoru skróconego mnożenia. Wyrażenie (a+b)² można policzyć wymnażając nawiasy (a+b)(a+b) bo (a+b)²=(a+b)(a+b).  

Mnożenie nawiasów najlepiej policzyć za pomocą tabeli, gdzie rysujemy tabelę:

- w poziomie z odpowiednią ilością kolumn [tyle kolumn ile jest wyrazów w pierwszym nawiasie]; 

- w pionie z odpowiednią ilością wierszy [tyle wierszy ile jest wyrazów w drugim nawiasie]. 

Nie ma znaczenia czy wyrazy z pierwszego nawiasu zapiszemy w pionie lub poziomie. Tak samo nie ma znaczenia czy wyrazy z drugiego nawiasu zapiszemy w pionie lub poziomie. Ustalmy jak powyżej. 

Do tabeli w odpowiednie kratki wpisujemy wyrazy wraz ze znakiem stojącym przed wyrażeniem. Następnie uzupełniamy kratki mnożąc odpowiednie wyrazy. Otrzymane wyrazy należy zsumować. Wtedy otrzymamy:

Kwadrat różnicy dwóch wyrażeń jest równy kwadratowi pierwszego wyrażenia minus podwojony iloczyn pierwszego i drugiego wyrażenia plus kwadrat drugiego wyrażenia (a-b)²=a²-2ab+b².

Iloczyn różnicy dwóch wyrażeń przez ich sumę równy jest różnicy kwadratów tych wyrażeń (a-b)(a+b)=a²-b².

Wzór na kwadrat sumy trzech wyrażeń jest następujący: 

(a+b+c)²= a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc.

Do policzenia kwadratu sumy trzech wyrażeń nie trzeba koniecznie stosować wzoru skróconego mnożenia. 

Mnożenie można obliczyć za pomocą tabeli, gdzie rysujemy tabelę:

- w poziomie z odpowiednią ilością kolumn [tyle kolumn ile jest wyrazów w pierwszym nawiasie]; 

- w pionie z odpowiednią ilością wierszy [tyle wierszy ile jest wyrazów w drugim nawiasie]. 

Nie ma znaczenia czy wyrazy z pierwszego nawiasu zapiszemy w pionie lub poziomie. Tak samo nie ma znaczenia czy wyrazy z drugiego nawiasu zapiszemy w pionie lub poziomie. Ustalmy jak powyżej. 

Do tabeli w odpowiednie kratki wpisujemy wyrazy wraz ze znakiem stojącym przed wyrażeniem. Następnie uzupełniamy kratki mnożąc odpowiednie wyrazy. Otrzymane wyrazy należy zsumować. Wtedy otrzymamy:

Kwadrat sumy trzech wyrażeń (a+b+c)² można policzyć z kwadratu sumy dwóch wyrażeń stosując wzór skróconego mnożenia [(a+b)+c]² lub [a+(b+c)]², gdzie wyrażenia w nawiasie (...) traktujemy jako jedno wyrażenie. Trzy wyrażenia sprowadzić należy do dwóch wyrażeń. 
Kwadrat sumy trzech wyrażeń można obliczyć z wyprowadzonych poniżej wzorów skróconego mnożenia.

Wzory na kwadrat sumy/różnicy trzech wyrażeń. Kolorem czerwonym zaznaczono, który znak jest brany pod uwagę do wzoru skróconego mnożenia, a kolorem niebieskim i zielonym odpowiednio wyraz pierwszy i drugi podanego wyrażenia (a+b+c)². Stosujemy wtedy wzory skróconego mnożenia.

Wzory skróconego mnożenia jak sama nazwa wskazuje skracają nam mnożenie. Dlatego warto ich się nauczyć i stosować. Jednak już kwadrat trzech wyrażeń lub kwadrat czterech wyrażeń we wzorach skróconego mnożenia ma wiele składników. W tym celu tabela ułatwi policzenie w taki sam sposób jak ze wzoru skróconego mnożenia. Ponadto obliczając w tabeli nie można pominąć żadnego wyrazu.

W tabeli można także policzyć mnożenie nawiasów.

Post nr 499