Tweety na temat @MinorMatematyka

Pomoce dla klasy

Szukaj na tym blogu lub wpisz post nr 1-535

Dzielniki naturalne liczby naturalnej

Dzielniki naturalne liczby naturalnej

Liczbę 1.000.000 rozkładamy na czynniki pierwsze  1.000.000 = 26·26.
Potęgi czynników powiększone o jeden mnożymy przez siebie (6+1)·(6+1)=49 i otrzymaliśmy wynik 49 czyli ilość dzielników naturalnych liczby1.000.000.
Jakie?
Jeśli liczba 26 jest dzielnikiem liczby 1.000.000 to wszystkie liczby 2n mniejsze od 26 też są dzielnikiem liczby 1.000.000, tak samo z drugim czynnikiem. Jeśli liczba 56 jest dzielnikiem liczby 1.000.000 to wszystkie liczby 5n mniejsze od 56 też są dzielnikiem liczby 1.000.000.
Ustawiamy wg zasady czyli stosując kombinacje:
20=1
21=2
teraz tworzymy kombinacje z 5n dla n={1, 2, 3, 4, 5, 6}, zatem otrzymujemy:
21·51=2·5=10
21·52=2·25=50
21·53=2·125=250
21·54=2·*625=1.250
21·55=2·3.125=6.250
21·56=2·15.625=31.250

22=4
teraz tworzymy kombinacje z 5n dla n={1, 2, 3, 4, 5, 6}, zatem otrzymujemy:
22·51=4·5=20
22·52=4·25=100
22·53=4·125=500
22·54=4·625=2.500
22·55=4·3.125=12.500
22·56=4·15.625=62.500

23=8
teraz tworzymy kombinacje z 5n dla n={1, 2, 3, 4, 5, 6}, zatem otrzymujemy:
23·51=8·5=40
23·52=8·25=200
23·53=8·125=1.000
23·54=8·625=5.000
23·55=8·3.125=25.000
23·56=8·15.625=125.000


24=16
teraz tworzymy kombinacje z 5n dla n={1, 2, 3, 4, 5, 6}, zatem otrzymujemy:
24·51=16·5=80
24·52=16·25=400
24·53=16·125=2.000
24·54=16·625=10.000
24·55=16·3.125=50.000
24·56=16·15.625=250.000


25=32
teraz tworzymy kombinacje z 5n dla n={1, 2, 3, 4, 5, 6}, zatem otrzymujemy:
25·51=32·5=160
25·52=32·25=800
25·53=32·125=4.000
25·54=32·625=20.000
25·55=32·3.125=100.000
25·56=32·15.625=500.000



26=32
teraz tworzymy kombinacje z 5n dla n={1, 2, 3, 4, 5, 6}, zatem otrzymujemy:
26·51=64·5=320
26·52=64·25=1.600
26·53=64·125=8.000
26·53=64·625=40.000
26·55=64·3.125=200.000
26·56=64·15.625=1.000.000

 Postać uporządkowana dzielników:
D1000000 = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50, 64, 80, 100, 125, 160, 200, 250, 320, 400, 500, 625, 800, 1000, 1250, 1600, 2000, 2500, 3125, 4000, 5000, 6250, 8000, 10000, 12500, 15625, 20000, 25000, 31250, 40000, 50000, 62500, 100000, 125000, 200000, 250000, 500000, 1000000}



Teraz wszystkie dzielniki tej liczby porządkujemy symetrycznie względem środkowego dzielnika, szukamy go wg algorytmu (d1+d49):2 =M (mediana dzielników), i zapisujemy w postaci iloczynu (d1·d49)(d2·d48)· ... · (d24·d26)·M
M=d25
 
(1·1.000.000)(2·500.000)(4·250.000)(5·200.000) (8·125.000)(10·100.000)(16·62.500)(20·50.000)(25·40.000)(32·32.250)(40·25.000)(50·20.000)(64·15.625)(80·12.500)(100·10.000)(125·8.000)(160·6.250)(200·5.000)(250·4.000)(320·3.125)(400·2.500)(500·2.000)(625·1.600)(800·1.250)·1.000
Iloczyn tak zapisanych dzielników równy jest danej liczbie 1.000.000

Ile wynosi iloczyn danych dzielników liczby 1.000.000?
Mamy 24 pary liczb, których iloczyn jest równy 1.000.000 oraz środkowy dzielnik, który nie ma pary i nazwaliśmy go jako M=d25=1.000, zatem ile wynosi iloczyn wszystkich dzielników tej liczby? 

Wiemy, że iloczyn wszystkich dzielników liczby możemy zapisać za pomocą czynników (1.000.000^24)·1.000.
Czyli [(106)^24](103)=10^(6·24+3)=10147

Jeżeli liczba naturalna ma nieparzystą ilość dzielników to iloczyn wszystkich dzielników możemy obliczyć z własności wykazanej powyżej tj. (N^p)*M, gdzie N to dana liczba naturalna, p ilość par dzielników liczby N takich, że iloczyn równy jest N, oraz M to mediana tych dzielników.

Post nr 61

Brak komentarzy:

Prześlij komentarz

WESPRZYJ BLOGA ZRZUTKĄ


Czytelniku, miło kiedy komentujesz posty. Chętnie zapoznam się z Twoim sposobem  rozwiązania zadania. Aby ten blog stanowił dla Czytelników pewną wartość, nie mogę pozwolić, żeby każdy mógł tu pisać co tylko chce. Korzystanie z bloga oznacza akceptację Regulaminu.
Regulamin bloga
1. Myśl zanim coś napiszesz – zanim zechcesz skrytykować moje sposoby rozwiązania zadań zastanów się jak możesz z tego skorzystać. Jeszcze raz – nie twierdzę, że wszystko co napiszę będzie dla Ciebie pomocne. Niemniej niektóre wskazówki po Twojej modyfikacji mogą dobrze Ci służyć. Myśl samodzielnie.
2. Publikuję wskazówki, które mogą pomóc Ci zrozumieć jak można rozwiązywać zadania matematyczne.
3. W ramach kopiowania zdjęć z bloga skorzystaj z przycisków udostępniania dostępnych w postach na blogu.
4. Wszystkie komentarze na blogu są moderowane przez autora bloga.
5. Korzystanie z bloga w całości jest nieodpłatne.