Dzielniki naturalne liczby naturalnej

 

Liczbę 1.000.000 rozkładamy na czynniki pierwsze  1.000.000 = 2⁶·2⁶.

Potęgi czynników powiększone o jeden mnożymy przez siebie (6+1)·(6+1)=49 i otrzymaliśmy wynik 49 czyli ilość dzielników naturalnych liczby1.000.000.

Jakie?

Jeśli liczba 2⁶ jest dzielnikiem liczby 1.000.000 to wszystkie liczby 2ⁿ mniejsze od 2⁶ też są dzielnikiem liczby 1.000.000, tak samo z drugim czynnikiem. Jeśli liczba 5⁶ jest dzielnikiem liczby 1.000.000 to wszystkie liczby 5ⁿ mniejsze od 5⁶ też są dzielnikiem liczby 1.000.000.

Ustawiamy wg zasady czyli stosując kombinacje:

2⁰=1

2¹=2

teraz tworzymy kombinacje z 5ⁿ dla n={1, 2, 3, 4, 5, 6}, zatem otrzymujemy:

2¹·5¹=2·5=10

2¹·5²=2·25=50

2¹·5³=2·125=250

2¹·5⁴=2·*625=1.250

2¹·5⁵=2·3.125=6.250

2¹·5⁶=2·15.625=31.250

2²=4

teraz tworzymy kombinacje z 5ⁿ dla n={1, 2, 3, 4, 5, 6}, zatem otrzymujemy:

2²·5¹=4·5=20

2²·5²=4·25=100

2²·5³=4·125=500

2²·5⁴=4·625=2.500

2²·5⁵=4·3.125=12.500

2²·5⁶=4·15.625=62.500

2³=8

teraz tworzymy kombinacje z 5ⁿ dla n={1, 2, 3, 4, 5, 6}, zatem otrzymujemy:

2³·5¹=8·5=40

2³·5²=8·25=200

2³·5³=8·125=1.000

2³·5⁴=8·625=5.000

2³·5⁵=8·3.125=25.000

2³·5⁶=8·15.625=125.000

2⁴=16

teraz tworzymy kombinacje z 5ⁿ dla n={1, 2, 3, 4, 5, 6}, zatem otrzymujemy:

2⁴·5¹=16·5=80

2⁴·5²=16·25=400

2⁴·5³=16·125=2.000

2⁴·5⁴=16·625=10.000

2⁴·5⁵=16·3.125=50.000

2⁴·5⁶=16·15.625=250.000

2⁵=32

teraz tworzymy kombinacje z 5ⁿ dla n={1, 2, 3, 4, 5, 6}, zatem otrzymujemy:

2⁵·5¹=32·5=160

2⁵·5²=32·25=800

2⁵·5³=32·125=4.000

2⁵·5⁴=32·625=20.000

2⁵·5⁵=32·3.125=100.000

2⁵·5⁶=32·15.625=500.000

2⁶=32

teraz tworzymy kombinacje z 5ⁿ dla n={1, 2, 3, 4, 5, 6}, zatem otrzymujemy:

2⁶·5¹=64·5=320

2⁶·5²=64·25=1.600

2⁶·5³=64·125=8.000

2⁶·5³=64·625=40.000

2⁶·5⁵=64·3.125=200.000

2⁶·5⁶=64·15.625=1.000.000

 Postać uporządkowana dzielników:

D_1000000 = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50, 64, 80, 100, 125, 160, 200, 250, 320, 400, 500, 625, 800, 1000, 1250, 1600, 2000, 2500, 3125, 4000, 5000, 6250, 8000, 10000, 12500, 15625, 20000, 25000, 31250, 40000, 50000, 62500, 100000, 125000, 200000, 250000, 500000, 1000000}

Teraz wszystkie dzielniki tej liczby porządkujemy symetrycznie względem środkowego dzielnika, szukamy go wg algorytmu (d₁+d₄₉):2 =M (mediana dzielników), i zapisujemy w postaci iloczynu (d₁·d₄₉)(d₂·d₄₈)· ... · (d₂₄·d₂₆)·M

M=d₂₅

 

(1·1.000.000)(2·500.000)(4·250.000)(5·200.000) (8·125.000)(10·100.000)(16·62.500)(20·50.000)(25·40.000)(32·32.250)(40·25.000)(50·20.000)(64·15.625)(80·12.500)(100·10.000)(125·8.000)(160·6.250)(200·5.000)(250·4.000)(320·3.125)(400·2.500)(500·2.000)(625·1.600)(800·1.250)·1.000

Iloczyn tak zapisanych dzielników równy jest danej liczbie 1.000.000

Ile wynosi iloczyn danych dzielników liczby 1.000.000?

Mamy 24 pary liczb, których iloczyn jest równy 1.000.000 oraz środkowy dzielnik, który nie ma pary i nazwaliśmy go jako M=d₂₅=1.000, zatem ile wynosi iloczyn wszystkich dzielników tej liczby? 

Wiemy, że iloczyn wszystkich dzielników liczby możemy zapisać za pomocą czynników (1.000.000^24)·1.000.

Czyli [(10⁶)^24](10³)=10^(6·24+3)=10¹⁴⁷

Jeżeli liczba naturalna ma nieparzystą ilość dzielników to iloczyn wszystkich dzielników możemy obliczyć z własności wykazanej powyżej tj. (N^p)*M, gdzie N to dana liczba naturalna, p ilość par dzielników liczby N takich, że iloczyn równy jest N, oraz M to mediana tych dzielników.

Post nr 61