Liczby gnomoniczne a dopełnienie do liczb kwadratowych
Liczbę naturalną, której pierwiastek kwadratowy jest liczbą naturalną nazywamy liczbą kwadratową lub Pitagoras nazywał kwadraty kolejnych liczb naturalnych liczbami kwadratowymi. Ilustrację geometryczną liczb kwadratowych można otrzymać z gnomonów uzupełniając do kwadratu n^2 kwadratami o bokach (n-1).
O jakich bokach otrzymamy 2013 liczbę gnomoniczną. Z 2013 liczby gnomonicznej jaką liczbę kwadratową uzyskamy?
Obliczamy 2013 liczbę gnomoniczną:
I sposób
Wiemy, że kolejne gnomony to 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, zatem wzór ogólny ciągu (postać jawna ciągu):
Jaka liczba kwadratowa?
Obliczamy 2013 liczbę gnomoniczną:
I sposób
Wiemy, że kolejne gnomony to 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, zatem wzór ogólny ciągu (postać jawna ciągu):
an=a1+(n-1)∙r
an=1+(n-1)∙2
an=1+2n-2
an=2n-1
Obliczamy zatem 2013 wyraz ciągu an=2n-1,
a2013=2∙2013-1
a2013=4026-1
a2013=4025
2013 liczba gnomoniczna to 4025.
II sposób
2013 liczba gnomoniczna ma w pionie 2013 kwadratów a w poziomie 2012 ponieważ jeden kwadrat jest wspólny, zatem ten gnomon to 2013+2012=4025
lub
2013 liczba gnomoniczna ma w pionie 2012 kwadratów a w poziomie 2013 ponieważ jeden kwadrat jest wspólny, zatem ten gnomon to 2012+2013=4025
II sposób
2013 liczba gnomoniczna ma w pionie 2013 kwadratów a w poziomie 2012 ponieważ jeden kwadrat jest wspólny, zatem ten gnomon to 2013+2012=4025
lub
2013 liczba gnomoniczna ma w pionie 2012 kwadratów a w poziomie 2013 ponieważ jeden kwadrat jest wspólny, zatem ten gnomon to 2012+2013=4025
Z 2013 liczby gnomonicznej uzyskamy 20132 liczbę kwadratową bo 1+3+5+7+...+4021+4023+4025=20132.
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz