Liczby gnomoniczne a dopełnienie do liczb kwadratowych

Liczbę naturalną, której pierwiastek kwadratowy jest liczbą naturalną nazywamy liczbą kwadratową lub Pitagoras nazywał kwadraty kolejnych liczb naturalnych liczbami kwadratowymi. Ilustrację geometryczną liczb kwadratowych można otrzymać z gnomonów uzupełniając do kwadratu n^2 kwadratami o bokach (n-1).

 O jakich bokach otrzymamy 2013 liczbę gnomoniczną. Z 2013 liczby gnomonicznej jaką liczbę kwadratową uzyskamy?

Obliczamy 2013  liczbę gnomoniczną:
I sposób
Wiemy, że kolejne gnomony to 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, zatem wzór ogólny ciągu (postać jawna ciągu):

a_n=a₁+(n-1)∙r

a_n=1+(n-1)∙2

a_n=1+2n-2

a_n=2n-1

Obliczamy zatem 2013 wyraz ciągu a_n=2n-1,

a₂₀₁₃=2∙2013-1

a₂₀₁₃=4026-1

a₂₀₁₃=4025

2013 liczba gnomoniczna to 4025.

II sposób
2013 liczba gnomoniczna ma w pionie 2013 kwadratów a w poziomie 2012 ponieważ jeden kwadrat jest wspólny, zatem ten gnomon to 2013+2012=4025
lub
2013 liczba gnomoniczna ma w pionie 2012 kwadratów a w poziomie 2013 ponieważ jeden kwadrat jest wspólny, zatem ten gnomon to 2012+2013=4025

Jaka liczba kwadratowa?

Z 2013 liczby gnomonicznej uzyskamy 2013² liczbę kwadratową bo 1+3+5+7+...+4021+4023+4025=2013².

Post nr 91