Drzewo Pitagorasa

Drzewo Pitagorasa to konstrukcja geometryczna która powstaje poprzez ciągłe budowanie kwadratów na bokach trójkątów prostokątnych równoramiennych (różnobocznych) śladami twierdzenia Pitagorasa.  Ile wynoszą pola odpowiednich kwadratów jeśli wyjściowy trójkąt prostokątny równoramienny ma przyprostokątne długości 3, 3? Ile wynosi pole 2013 kwadratu zbudowanego na drzewie Pitagorasa?

Kolejne odpowiednie pola tych kwadratów wynoszą:

18, 9, 9/2, 9/4, … w podanej kolejności wyrazy tworzą ciąg geometryczny o ilorazie q=1/2, zatem

a_n= a₁ ∙ q^n-1

a_n= 18 ∙ (1/2)^n-1

a_n=18∙(1/2)ⁿ∙2
a_n=36∙(1/2)ⁿ

a_n=36∙(1/2)² ∙ (1/2)^n-2
a_n=36∙1/4 ∙ (1/2)^n-2
a_n=9 ∙ (1/2)^n-2

a_n=9/(2^n-2)

 

a₂₀₁₃=9/2²⁰¹¹

Rozbudowane drzewa Pitagorasa.

 

 

 

 

Matematyczny Świat w pokoju meble takiego pokroju, gdzie drzewem Pitagorasa ścianę okrasa. 

Jak Was się podobają takie meble?

Źródło

Post nr 111