Trapez prostokątny

Pole trapezu prostokątnego

 

W trapezie prostokątnym ABCD podstawy AB i CD maja długość 9 cm i 4 cm. Wiedząc, że przekątne tego trapezu przecinają się pod katem prostym:

a) wykaż, że trójkąty ABD i ACD są podobne

Jeżeli dwie figury są podobne, to:

a) Odpowiednie kąty mają równe,

b) Stosunek jakiegokolwiek odcinka jednej figury do odpowiedniego odcinka drugiej figury jest stały. Stały stosunek odpowiednich odcinków w figurach podobnych nazywamy skalą podobieństwa lub stosunkiem podobieństwa i oznaczamy jako k (skala k w podobieństwie jest liczbą większą od 0).

Cechy podobieństwa trójkątów:

Z określenia podobieństwa wynika, że trójkąty są podobne, jeżeli miary kątów jednego trójkąta równe są miarom odpowiednich kątów drugiego trójkąta oraz boki jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich boków drugiego trójkąta.

a)  Jeżeli boki jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich boków drugiego trójkąta, to te trójkąty są podobne.
Założenie:

|A₁B₁|\|AB|=|B₁C₁|\|BC|=|A₁C₁|\|AC|
Teza:
ΔABC ~ ΔACD 

Rozwiązanie zadania
Założenie: |CD|:|AD|=|AD|:|AB|=|AC|:|BD|
|CD|:|AD|=4:6=2/3
|AD|:|AB|=6:9=2/3
|BD|²=|AB|²+|AD|²
|BD|²=9²+6²
|BD|²=117

|AC|²=|AD|²+|CD|²
|AC|²=6²+4²
|AC|²=52
|AC|:|BD|=2/3
|CD|:|AD|=|AD|:|AB|=|AC|:|BD|=k=2/3
Teza:
ΔABC ~ ΔACD
  

b) Jeżeli dwa kąty jednego trójkąta są przystające do dwóch kątów drugiego trójkąta, to te trójkąty są podobne.
Założenie

|kąt CAB|=|kąt C₁A₁B₁|
|kąt ABC|=|kąt  A₁B₁C₁|
Teza:
 ΔABC ~ ΔA₁B₁C₁

c) Jeżeli stosunki dwóch boków jednego trójkąta do odpowiednich boków drugiego trójkąta są równe i kąty zawarte między tymi bokami są równe, to te trójkąty są podobne.
Założenie

|A₁B₁|\|AB|=|B₁C₁|\|BC|

|kąt CAB|=|kąt C₁A₁B₁|
Teza:

 ΔABC ~ ΔA₁B₁C₁

b) oblicz długość krótszego ramienia

Z  twierdzenia Talesa wyznaczamy długość krótszego ramienia AD.

|AB| : |AD| = |AD| : |AC|

9 : |AD| = |AD| : 4

|AD|²=36  cm²

|AD|=6 cm

 
Post nr 144