Pola figur płaskich

Jak obliczyć pole figury płaskiej:

- pole kwadratu,
- pole prostokąta,
- pole trójkąta,
- pole rombu,
- pole równoległoboku,
- pole trapezu,
- pole deltoidu - latawca. 

Zastanawiasz się, skąd biorą się wzory na pola figur płaskich? Zobacz animację i zapamiętaj, każdą figurę można rozłożyć na prostsze części lub złożyć do prostokąta, takiego, którego pole łatwo obliczyć. To właśnie na tym opierają się wzory, które znasz.

Pola figur płaskich | Wzory na pola figur płaskich

Area of plane figure | Area of plane shapes

Dzięki temu możemy zrozumieć, skąd się bierze na przykład wzór na pole trójkąta, trapezu czy równoległoboku. Wystarczy przyjrzeć się, jak można je przekształcić, przeciąć, przesunąć, obrócić by uzyskać kształt prostokąta lub kwadratu. Takie wizualne podejście pomaga nie tylko zapamiętać wzory, ale też zrozumieć ich sens. Spróbuj samodzielnie rozłożyć wybrane figury i zobaczysz, że matematyka potrafi być naprawdę logiczna i ciekawa.

Co najważniejsze, to wszystko przydaje się w życiu codziennym. Obliczanie pola może być pomocne, gdy chcesz wyliczyć, ile farby potrzeba do pomalowania ściany, ile płytek zmieści się na podłodze albo jak duży jest Twój ogródek. Potrzebujesz obrusu na stół? Musisz wiedzieć, jakie ma wymiary. Chcesz kupić dywan? Trzeba sprawdzić, czy jego pole pasuje do pokoju. A może planujesz zrobić plakat na konkurs? Warto wiedzieć, jak go zaplanować, by dobrze wykorzystać całą kartkę. Nawet piekąc ciasto w prostokątnej blasze, tak naprawdę korzystasz z pojęcia pola. Matematyka to nie tylko liczby w zeszycie, to narzędzie, które pomaga ogarniać świat wokół nas.

Post nr 546

Klasyfikacja czworokątów

Na podstawie szkicu człowieka można sprawdzić jakim czworokątem jest dana figura płaska.
1. Kwadrat jest rombem, prostokątem, równoległobokiem, trapezem, deltoidem i czworokątem.
2. Romb jest równoległobokiem, trapezem, deltoidem i czworokątem.
3. Prostokąt jest równoległobokiem, trapezem i czworokątem.
4. Równoległobok jest trapezem i czworokątem.
5. Trapez jest czworokątem.
6. Deltoid jest czworokątem.


                           Klasyfikacja najważniejszych czworokątów




I Kwadrat
Romb, który ma wszystkie kąty proste, to kwadrat.
Prostokąt, który ma wszystkie boki równe, to kwadrat.
Kwadrat to czworokąt, który ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty proste. 

Przekątne kwadratu:
- są równej długości
- przecinają się w połowie
- są do siebie prostopadłe
- dzielą kąty kwadratu na połowy. 

II Romb
Równoległobok, który ma wszystkie boki równe, to romb.
Romb to czworokąt, który ma wszystkie boki równej długości. 

W rombie:
- przeciwległe kąty mają równe miary
- przeciwległe boki są równoległe
- przekątne przecinają się w połowie
- przekątne są prostopadłe
- przekątne dzielą kąty rombu na połowy.

III Prostokąt
Równoległobok, który ma wszystkie kąty proste, to prostokąt.
Prostokąt to czworokąt, który ma wszystkie kąty proste. 

W prostokącie:
- przeciwległe boki mają równe długości
- przekątne są równej długości
- przekątne przecinają się w połowie. 

IV Równoległobok
Trapez, który ma dwie pary boków równoległych, to równoległobok.

Równoległobok to czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych. 

W równoległoboku:
- przeciwległe boki mają równe długości
- przeciwległe kąty mają równe miary
- przekątne przecinają się w połowie.


V Trapez
Każdy czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych, to trapez.  
Trapez to czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych.

W trapezie równoramiennym:
- ramiona są równej długości
- przekątne są równej długości
- kąty między ramionami a podstawą są równe

W trapezie prostokątnym:
- jedno ramię jest prostopadłe do podstaw i jest wysokością trapezu.

W dowolnym trapezie:
- suma miar kątów leżących przy jednym ramieniu jest równa 180°.


VI Deltoid
Deltoid to czworokąt, w którym dwie pary sąsiednich boków są równej długości.

W deltoidzie:
- przekątne są prostopadłe
- jedna przekątne dzieli drugą na połowę
- w jednej z par kątów przeciwległych kąty mają tę samą miarę.  

Klasyfikacja najważniejszych czworokątów

Wielokąt wypukły to taki, w którym każdy odcinek łączący dwa punkty wewnątrz tego wielokąta zawiera się w tym wielokącie.
Wielokąt, który nie jest wypukły nazywamy wklęsłym. 

Post nr 509 

Pole koła wpisanego w trójkąt

Pole koła wpisanego w trójkąt, w trapezie równoramiennym

Trapez równoramienny ABCD o ramieniu długości 6 wpisany jest w okrąg, przy czym dłuższa podstawa AB trapezu, o długości 12, jest średnicą tego okręgu. Przekątne AC i BD trapezu przecinają się w punkcie P. Oblicz pole koła wpisanego w trójkąt ABP.

Źródło:
Arkusz maturalny z matematyki, CKE, 2 czerwiec 2017 r. Poziom rozszerzony. Zadanie 14. Nowa formuła.

I sposób
Rozwiązanie:

- obliczamy miary kątów wewnętrznych utworzonych trójkątów w trapezie równoramiennym i wyznaczamy zależne długości boków utworzonych trójkątów

- wyznaczamy skalę podobieństwa trójkątów ABP i CPD

- obliczamy PC z uwzględnieniem skali podobieństwa trójkątów ABP i CPD

- obliczamy długość boku AP trójkąta ABP
- obliczamy długość wysokości trójkąta ABP opuszczonej z wierzchołka P 
- obliczamy pole trójkąta ABP
- z obliczonego pola trójkąta ABP wyznaczamy długość promienia r koła wpisanego w trójkąt ABP
- obliczamy pole koła wpisanego w trójkąt ABP o promieniu długości r.

II sposób
Rozwiązanie:
- obliczamy miary kątów wewnętrznych trójkąta ABC w trapezie równoramiennym

- należy zauważyć, że dwusieczna kąta BAC wyznaczyła nam kąt 15°=30°/2
- wyznaczamy długość promienia z tangensa kąta ostrego 15°, tg 15° = 2-√3

- obliczamy pole koła wpisanego w trójkąt ABP o promieniu długości r.

Sprawdź jak policzyć pole trójkąta wzorem Herona


Post nr 500

Trójkąt oparty na trapezie nierównoramiennym

Trapez nierównoramienny zawarty w trójkącie

W trapezie ABCD podstawy mają długość 8  i 5. Punkt P jest punktem przecięcia się ramion trapezu o długości  4  i 3. Wyznacz pole trójkąta, którego wierzchołkiem jest punkt P, a podstawa trójkąta zawiera się w dłuższej podstawie AB trapezu. 

Rozwiązanie:
I sposób

II sposób

Post nr 498

Trójkąt prostokątny wpisany w trapez równoramienny

W trapez równoramienny wpisano trójkąt prostokątny

W trapez równoramienny wpisano trójkąt prostokątny w taki sposób, że kąt prosty trójkąta prostokątnego podzielił krótszą podstawę trapezu na odcinki 8 i 3, a przeciwprostokątna trójką prostokątnego zawiera się w dłuższej podstawie trapezu. Wyznacz długość dłuższej podstawy trapezu równoramiennego wiedząc, że wysokość trapezu wynosi 6.

Rozwiązanie:

Post nr 492

Długość odcinków w trapezie prostokątnym

Wyznaczanie długości odcinków w trapezie prostokątnym

Która z podanych długości L₁, L₂, L₃ w trapezie prostokątnym jest najkrótsza?

Rozwiązanie:

I sposób

Niech |AB|=4r, zatem obliczyć należy obwód okręgu (długość L₃) o promieniu długości |AB|/4=r i połowę obwodu okręgu (długość L₂) o promieniu długości |BC|=|AB|/2=2r. Pozostanie nam do obliczenia suma długości odcinków L₁=|AD|+|DE|+|EB|, gdzie |AD|=|DE|=|AC|=2r, BE to przekątna kwadratu o boku długości |AC|. Zatem |EB|=|AC|√2=2r√2. 

II sposób

Niech |AB|=2r, zatem obliczyć należy obwód okręgu (długość L₃) o promieniu długości |AB|/4=r/2 i połowę obwodu okręgu (długość L₂) o promieniu długości |BC|=|AB|/2=r. Pozostanie nam do obliczenia suma długości odcinków L₁=|AD|+|DE|+|EB|, gdzie |AD|=|DE|=|AC|=r, BE to przekątna kwadratu o boku długości |AC|. Zatem |EB|=|AC|√2=r√2. 

Z podanych długości L₁, L₂, L₃ w trapezie prostokątnym wynika, że  L₂=L₃ i są najkrótsze. 

Post nr 489

Podział przeciwprostokątnej względem wysokości w trójkącie

Trójkąt prostokątny, podobieństwo

W trójkącie prostokątnym jedna przyprostokątna jest 4 razy większa od drugiej. Wykaż, że wysokość opuszczona na przeciwprostokątna dzieli ją na odcinki, z których jeden jest 16 razy większy od drugiego.

 
Post nr 487

Stosunek pól w trapezie równoramiennym

Jak wykazać stosunek pól trójkątów w trapezie równoramiennym

W trapezie równoramiennym ABCD o podstawach |AB| = a i |CD| = b przekątne przecinają się w punkcie S. Wykaż, że stosunek pola trójkąta ABS do pola trójkąta CDS  jest równy a²/b².

Rozwiązanie:

- wiemy, że |AE|=|EB| i |CF|=|FD|
- SE i SF, to wysokości trójkątów ABS i CDS
- wyznaczamy stosunek pól trójkątów ABS i CDS o podstawach odpowiednio AB i CD oraz wysokości odpowiednio SE i SF.

Można wykazać, że stosunek pól trójkątów ABS i CDS, gdzie S to punkt przecięcia się przekątnych w trapezie równoramiennym ABCD o podstawach |AB|= a i |CD|= b jest równy a²/b².

Post nr 479

Wysokość wieży

Wyznacz wysokość wieży

Wierzchołek wieży widać z poziomu ziemi pod kątem 30ᴼ. Z odległości o 10 m mniejszej wierzchołek ten widać pod kątem 45ᴼ.  Obliczyć wysokość wieży.

I sposób

Rozwiązanie:

- należy uzupełnić pozostałe miary kątów
- należy zauważyć, że miary kątów trójkąta ACD są równe 30ᴼ, 60ᴼ, 90ᴼ. 
- zatem podany trójkąt ACD to połowa trójkąta równobocznego o wysokości AC

- wyznaczamy wysokości wieży z równości długości wysokości trójkąta równobocznego o boku długości 2x, gdzie x to wysokość wieży. 

II sposób

Rozwiązanie:

- należy na odcinku BC zbudować trójkąt równoboczny o boku długości BC
- korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym BED wyznaczając wysokość wieży.

III sposób

Rozwiązanie:

- korzystamy z własności funkcji trygonometrycznych tg30ᴼ lub tg60ᴼ w trójkącie ACD.

  Post nr 476

Pola trójkątów w trapezie równoramiennym

Jak obliczyć pola trójkątów w trapezie równoramiennym wyznaczone poprzez jego przekątne?

Pole trapezu równoramiennego jest równe 36, a stosunek długości podstaw wynosi 1:2. Oblicz pola czterech trójkątów, na które dzielą ten trapez jego przekątne. 

Rozwiązanie:

- oznaczamy pola trójkątów CED, ABE, AED, BEC odpowiednio S₁, S₂, S₃, S₄
- pole S trapezu ABCD jest równe sumie pól trójkątów CED, ABE, AED, BEC 

S = S₁ + S₂ + S₃ + S₄

- trójkąty ABD i ABC mają równe pola, gdyż mają wspólną podstawę AB i równe wysokości h=h₁+h₂. Z tego wynika, że:

 S₂ + S₃ = S₂ + S₄, zatem S₃ = S₄.

- trójkąty CBD i CAD mają równe pola, gdyż mają wspólną podstawę CD i równe wysokości h=h₁+h₂. Z tego wynika, że:

S₁ + S₄ = S₁ + S₃, zatem S₃ = S₄.

Trapez można także podzielić na romb i trójkąt równoramienny.

Post nr 476

Trapez równoramienny i trójkąt równoramienny wpisany w okrąg (koło)

Jak udowodnić, że trapez równoramienny i trójkąt równoramienny wpisany w okrąg (koło) mają takie same pola, gdy ramię trójkata to przekątna trapezu.

Udowodnij, że trapez równoramienny i trójkąt równoramienny wpisany w okrąg (koło) mają takie same pola powierzchni. Wiedząc, że dłuższa podstawa trapezu jest średnicą okręgu, a ramiona trójkąta są równolegle do ramion trapezu. Przekątna trapezu jest równa ramieniu trójkąta.

Rozwiązanie: 

Znamy twierdzenie:

Twierdzenie I. Okrąg (koło) można opisać na czworokącie wtedy i tylko wtedy, gdy sumy przeciwległych kątów są równe 180^o tzn.: |∡BAD| + |∡BCD| = |∡ABC| + |∡ADC| = 180^o.

Post nr 475