Rozwiązywanie równania wielomianowego czwartego stopnia równaniem zwrotnym
Równania zwrotne można rozwiązać w następujący sposób:
4x4+5x3+2x2+5x+4=0,
8x4+14x3-69x2+14x+8=0,
4x4+6x3+4x2+6x+4=0,
W pewnych przypadkach równanie wielomianowe
można rozwiązać, przekształcając je w równanie kwadratowe:
Równanie zwrotne
Jeśli
oraz
, a≠0 czyli gdy jest postaci
to równanie jest równaniem zwrotnym. Rozwiązuje się je, dzieląc obie strony równania przez
i otrzymując
![a(x^2+x^{-2})+b(x+x^{-1})+c=0.\;](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vUxW6hG8wEtQnQYswvozq8uBpNQrAVznenfF2c6H2CJGA1pnX5PrPWUSBBCj59nsOvqG2p93jw83IAqtE7Lhj7oGgNFTqLIvsa4e6kBsOYH1yyYkKm0U_JW-b73TyTy_k4u24qBvEoxFl6tBeY6A=s0-d)
Podstawiając
, otrzymuje się
i równanie kwadratowe:
![a(y^2-2)+by+c=0,\;](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uH6yOJP9byJYlJvlmRBQJaQO0hiNNPra2NgEHYZdDioJ1EE01atigL6DPYj1Xp-a60HztkCcoJ0AsHiqayD_t4f9HsJjPfxB8G9b2FG637jHZqFWfkdfp_pJiT5kefzF2AQDu-6GGHG_3CPM9Ozg=s0-d)
z którego oblicza się
, a potem wyznacza się
Równanie symetryczne stopnia czwartego nazywamy równaniem zwrotnym.
gdzie a≠0
Dzieląc obustronnie przez
i grupując wyrazy otrzymujemy
![a(x^2+x^{-2})+b(x+x^{-1})+c=0](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sA_G8vb7PAXAcw9zXoZ248OCLqoDvRGwTpWfsc80nj2aFxjSjBvk3QuvRumFexidRAfkg61pEJ5KVGKjLf5YTCe2hMK0OeKMAscP6LNArB7ZxH2KBrh3OGSHM27SwQHoTznCTGAeba4HleMip0=s0-d)
Podstawiając
mamy
. Zatem należy rozwiązać równanie kwadratowe
![a(y^2-2)+by+c=0](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tl4Je7I77HygZ_U19t1CmGil6qKwvId0dYQclprS147dLrx-ENJ7CzjMlTzHs-VL0GPLzX7wZiJ6b7Hf-QMg9cOulm5pG0q0Qge3IXGQADgk0_URf8e-TW3uq0QKEmuqyXwj6jRnnOdLxrcGvz=s0-d)
![ay^2+by+c-2a=0](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t1qcL3U7X6ujTjLg-3nztImi1qa4g14sKHzYhn2XWPJf5Bum1hwkpMzbz4na2eugKC4eGmsnIBlHRXtTuyX8enyXh62jX9YsymaWbSPz6qfGeAW39ByG8uV3sj47dwVReNywgYb-hC9dUDUEeM=s0-d)
i korzystając z tych rozwiązań obliczyć
.
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz