Równanie zwrotne czwartego stopnia

Rozwiązywanie równania wielomianowego czwartego stopnia równaniem zwrotnym

Równania zwrotne można rozwiązać w następujący sposób:

4x⁴+5x³+2x²+5x+4=0,

8x⁴+14x³-69x²+14x+8=0,

4x⁴+6x³+4x²+6x+4=0,

W pewnych przypadkach równanie wielomianowe

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+h=0\quad$

można rozwiązać, przekształcając je w równanie kwadratowe:

Równanie zwrotne

Jeśli $b=d\quad\;$ oraz $a=h\quad\;$ , a≠0 czyli gdy jest postaci

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a=0,\quad\;$

to równanie jest równaniem zwrotnym. Rozwiązuje się je, dzieląc obie strony równania przez $x^2\;$ i otrzymując

$a(x^2+x^{-2})+b(x+x^{-1})+c=0.\;$

Podstawiając $y=x+x^{-1}\;$ , otrzymuje się $x^2+x^{-2}=y^2-2\;$ i równanie kwadratowe:

$a(y^2-2)+by+c=0,\;$

z którego oblicza się $y\;$ , a potem wyznacza się $x.\;$

Równanie symetryczne stopnia czwartego nazywamy równaniem zwrotnym.

$ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0$ gdzie a≠0

Dzieląc obustronnie przez $x^2$ i grupując wyrazy otrzymujemy

$a(x^2+x^{-2})+b(x+x^{-1})+c=0$

Podstawiając $y=x+x^{-1}$ mamy $x^2+x^{-2}=y^2-2$ . Zatem należy rozwiązać równanie kwadratowe

$a(y^2-2)+by+c=0$

$ay^2+by+c-2a=0$

i korzystając z tych rozwiązań obliczyć $x$ .

Post nr 232

Brak komentarzy:

Prześlij komentarz

Subskrybuj: Komentarze do posta (Atom)