Funkcje wzajemnie odwrotne

Funkcje wzajemnie odwrotne w równaniu, w przesunięciu o wektor

Wyznacz możliwe wszystkie rozwiązania równania dla którego wyrażenie pierwiastkowe jest równe wyrażeniu wielomianowemu.

Rozwiązanie:
- jeżeli funkcja g, jest funkcją odwrotną do funkcji f, to możemy również powiedzieć, że funkcja f jest funkcją odwrotną do funkcji g. Takie dwie funkcje  f i g nazywamy funkcjami wzajemnie odwrotnymi
- jeżeli funkcja jest rosnąca, to funkcja odwrotna też jest rosnąca
- jeżeli funkcje f i g są wzajemnie odwrotnymi, to ich wykresy są symetryczne względem prostej y = x
- należy przekształcić lewą i prawą stronę równania do postaci kanonicznej i wyznaczyć o jaki wektor w=[p, 0] zostały przesunięte te wykresy, wprowadzić pomocniczą t za x-p i sprawdzić czy funkcje są wzajemnie odwrotne
- jeżeli złożenia funkcji f z g [ g(f(x)) ] i funkcji g z f [ f(g(x)) ] są równe [ g(f(x)) = f(g(x))], to o funkcjach f i g mówimy, że są funkcjami wzajemnie odwrotnymi tzn. funkcja f jest funkcją odwrotną do funkcji g i na odwrót, że funkcja g jest funkcją odwrotną do funkcji f.  Zatem dla x-2 = t,  g(f(t)) = f(g(t)) = t, to funkcje są wzajemnie odwrotne
- funkcje wzajemnie odwrotne są równe wtedy i tylko wtedy, gdy przecinają się w punkcie t
- obliczamy x z naszego podstawienia x-2 = t. 

Odpowiedź:   x = 5

Wykres online


 Post nr 389

Równanie pierwiastkowe

Równanie pierwiastkowe z pierwiastkami drugiego stopnia

Wyznacz wszystkie możliwe rozwiązania równania pierwiastkowego. 

Rozwiązanie:

- wyznaczamy dziedzinę dla jakiego x wartość wyrażenia pod pierwiastkami drugiego stopnia jest większa lub równa 0
- korzystamy ze wzoru na kwadrat dwumianu w celu uwolnienia się od pierwiastków drugiego stopnia stosując równanie pomocnicze (a + b)² = c², gdzie:
x√(x+1) = a
√(3-x) = b
2√(x²+1) = c, zatem a²+2ab+b²=c²
- po doprowadzeniu równania do uporządkowanej postaci ponownie korzystamy ze wzoru na kwadrat dwumianu w celu uwolnienia się od pierwiastka drugiego stopnia podnosząc lewą i prawą stronę równania do kwadratu
- otrzymaliśmy równanie wielomianowe szóstego stopnia,  rozkładamy wielomian na czynniki stosując Twierdzenie Bézout (więcej) lub Schemat Hornera (więcej)
- wyznaczamy pierwiastki równania wielomianowego i sprawdzamy czy należą
do dziedziny i jednocześnie czy są wtedy rozwiązaniem równania pierwiastkowego.

 Uwaga: 1-√2 nie spełnia równania. 

 Wykres online



Dowiedz się więcej  Twierdzenie Bézout (więcej)
                                   
                                                 Schemat Hornera (więcej)

II sposób 

Korzystamy z wektorów a i b, które są współliniowe, ponieważ cosinus kąta między wektorami jest równy 1 i są proporcjonalne do współrzędnych. Należy znaleźć długość i iloczyn skalarny tych wektorów.  

Post nr 387

Równanie wykładnicze

Równanie wykładnicze, które łączy ze sobą równanie dwukwadratowe, kwadratowe, pierwiastkowe i wielomianowe

Wyznacz wszystkie możliwe rozwiązania równania wykładniczego.

Rozwiązanie:

Na podstawie podanego równania wykładniczego pokazuję, że matematyka ma strukturę hierarchiczną. Oto przykład, który łączy ze sobą takie tematy jak: równanie dwukwadratowe z wprowadzeniem pomocniczej t, równanie kwadratowe,  równanie pierwiastkowe, równanie wielomianowe - grupowanie wyrazów, wzory skróconego mnożenia.

Etapy rozwiązywania zadania:

- wyznaczany dziedzinę
- podstawę potęgi po lewej stronie równania wykładniczego sprawdzamy do kwadratu różnicy dwóch wyrażeń, po uwzględnieniu warunków zadania otrzymaliśmy układ równań, który należy przekształcić do postaci równania dwukwadratowego i wprowadzić niewiadomą t podstawiając za a²

- dwie potęgi są sobie równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe podstawy i równe wykładniki, otrzymaliśmy równanie aⁿ=a^m, zatem n=m

- równanie pierwiastkowe składa się z pierwiastków drugiego i trzeciego stopnia dlatego, żeby obliczyć x należy pierwiastki sprowadzić do tego samego stopnia, dwa pierwiastki tego samego stopnia są sobie równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe liczby podpierwiastkowe
- równanie wielomianowe rozwiązujemy stosując grupowanie wyrazów
- sprawdzamy wyznaczone wartości x z dziedziną określając liczbę rozwiązań równania.

 

 Wykres online

Post nr 382

Krotność pierwiastka

Sprawdzanie krotności pierwiastka wielomianu

 

Krotność pierwiastka z_o wielomianu W(x)  nazywamy największą liczbę naturalną n taką, że (x- z₀)ⁿ | W(x).

Można łatwo pokazać, że krotność pierwiastka wielomianu może być określona poprzez badanie zachowania się jego pochodnych w punkcie z₀. Pierwiastek z₀ jest pierwiastkiem n-krotnym wielomianu W(x) <=> W(z₀) = 0, W^’(z₀) = 0, W^’’(z₀) = 0, W⁽³⁾(z₀) = 0, W^(n-1)(z₀) = 0, Wⁿ(z₀) ≠ 0. 

Sprawdzamy krotność pierwiastka  z₀ = 1 dla wielomianu W(x)=x⁶-6x⁵+15x⁴-20x³+15x²-6x+1

Liczba z₀ = 1 jest sześciokrotnym pierwiastkiem wielomianu, zatem wielomian możemy zapisać w postaci (x-1)⁶

Post nr 326

Schemat Hornera

Rozkład wielomianu na czynniki schematem Hornera czyli dzielenie wielomianu przez dwumian

Wielomian W(x) = 2x⁴-2x³-6x²+10x-4

I etap

1. Wyznaczamy p dzielniki całkowite wyrazu wolnego a₀= 4 wielomianu W(x) lub dzielniki wymierne postaci p/q, gdzie q to dzielniki całkowite pierwszego wyrazu a_n= 2 przy najwyższej potędze wielomianu W(x).

2. Sprawdzamy dla jakiego p lub p/q wielomian W(x) jest równy 0, czyli W(p) = 0 lub W(p/q) = 0, wtedy jest podzielny przez dwumian (x-p) lub [x-(p/q)].

3. Dzielimy wielomian W(x) przez dwumian (x-p) lub [x-(p/q)] stosując schemat Hornera.

Dzieląc wielomian W(x) przez dwumian (x-p) lub [x-(p/q)] otrzymujemy w pierwszym wyrazie ilorazu wielomianu P(x) potęgę o jeden niższą niż w pierwszym wyrazie wielomianu W(x) i takim samym współczynniku liczbowym co wielomian W(x).

 

II etap, stosujemy schemat Hornera dla wielomianu P(x)=2x³-6x²+4

1. Wyznaczamy p dzielniki całkowite wyrazu wolnego a₀= 4 wielomianu P(x) lub dzielniki wymierne postaci p/q, gdzie q to dzielniki całkowite pierwszego wyrazu a_n= 2 przy najwyższej potędze wielomianu P(x).

2. Sprawdzamy dla jakiego p lub p/q wielomian P(x) jest równy 0, czyli P(p) = 0 lub P(p/q) = 0, wtedy jest podzielny przez dwumian (x-p) lub [x-(p/q)].

3. Dzielimy wielomian P(x) przez dwumian (x-p) lub [x-(p/q)] stosując schemat Hornera.

Dzieląc wielomian P(x) przez dwumian (x-p) lub [x-(p/q)] otrzymujemy w pierwszym wyrazie ilorazu wielomianu Q(x) potęgę o jeden niższą niż w pierwszym wyrazie wielomianu P(x) i takim samym współczynniku liczbowym co wielomian P(x).

III etap, stosujemy schemat Hornera dla wielomianu Q(x)=2x²+2x²-4

1. Wyznaczamy p dzielniki całkowite wyrazu wolnego a₀= 4 wielomianu @(x) lub dzielniki wymierne postaci p/q, gdzie q to dzielniki całkowite pierwszego wyrazu a_n= 2 przy najwyższej potędze wielomianu Q(x).

2. Sprawdzamy dla jakiego p lub p/q wielomian Q(x) jest równy 0, czyli Q(p) = 0 lub Q(p/q) = 0, wtedy jest podzielny przez dwumian (x-p) lub [x-(p/q)].

3. Dzielimy wielomian Q(x) przez dwumian (x-p) lub [x-(p/q)] stosując schemat Hornera.

Dzieląc wielomian Q(x) przez dwumian (x-p) lub [x-(p/q)] otrzymujemy w pierwszym wyrazie ilorazu wielomianu R(x) potęgę o jeden niższą niż w pierwszym wyrazie wielomianu Q(x) i takim samym współczynniku liczbowym co wielomian Q(x).

Skrócony schemat Hornera:

Rozkład wielomianu W(x) = 2x⁴-2x³-6x²+10x-4 na czynniki W(x) = 2(x+2)(x-1)³

Wielomian W(x) = 3x⁴+21x³+39x²-9x-54

I etap

1. Wyznaczamy p dzielniki całkowite wyrazu wolnego a₀= 54 wielomianu W(x) lub dzielniki wymierne postaci p/q, gdzie q to dzielniki całkowite pierwszego wyrazu a_n= 3 przy najwyższej potędze wielomianu W(x).

2. Sprawdzamy dla jakiego p lub p/q wielomian W(x) jest równy 0, czyli W(p) = 0 lub W(p/q) = 0, wtedy jest podzielny przez dwumian (x-p) lub [x-(p/q)].

3. Dzielimy wielomian W(x) przez dwumian (x-p) lub [x-(p/q)] stosując schemat Hornera.

Dzieląc wielomian W(x) przez dwumian (x-p) lub [x-(p/q)] otrzymujemy w pierwszym wyrazie ilorazu wielomianu P(x) potęgę o jeden niższą niż w pierwszym wyrazie wielomianu W(x) i takim samym współczynniku liczbowym co wielomian W(x).

II etap, stosujemy schemat Hornera dla wielomianu P(x)=3x³+24x²+63x+54

1. Wyznaczamy p dzielniki całkowite wyrazu wolnego a₀= 54 wielomianu P(x) lub dzielniki wymierne postaci p/q, gdzie q to dzielniki całkowite pierwszego wyrazu a_n= 3 przy najwyższej potędze wielomianu P(x).

2. Sprawdzamy dla jakiego p lub p/q wielomian P(x) jest równy 0, czyli P(p) = 0 lub P(p/q) = 0, wtedy jest podzielny przez dwumian (x-p) lub [x-(p/q)].

3. Dzielimy wielomian P(x) przez dwumian (x-p) lub [x-(p/q)] stosując schemat Hornera.

Dzieląc wielomian P(x) przez dwumian (x-p) lub [x-(p/q)] otrzymujemy w pierwszym wyrazie ilorazu wielomianu Q(x) potęgę o jeden niższą niż w pierwszym wyrazie wielomianu P(x) i takim samym współczynniku liczbowym co wielomian P(x).

 III etap, stosujemy schemat Hornera dla wielomianu Q(x)=3x²+18x+27

1. Wyznaczamy p dzielniki całkowite wyrazu wolnego a₀= 27 wielomianu Q(x) lub dzielniki wymierne postaci p/q, gdzie q to dzielniki całkowite pierwszego wyrazu a_n= 3 przy najwyższej potędze wielomianu Q(x).

2. Sprawdzamy dla jakiego p lub p/q wielomian Q(x) jest równy 0, czyli Q(p) = 0 lub Q(p/q) = 0, wtedy jest podzielny przez dwumian (x-p) lub [x-(p/q)].

3. Dzielimy wielomian Q(x) przez dwumian (x-p) lub [x-(p/q)] stosując schemat Hornera.

Dzieląc wielomian Q(x) przez dwumian (x-p) lub [x-(p/q)] otrzymujemy w pierwszym wyrazie ilorazu wielomianu R(x) potęgę o jeden niższą niż w pierwszym wyrazie wielomianu Q(x) i takim samym współczynniku liczbowym co wielomian Q(x).

Skrócony schemat Hornera:

 Zobacz także jak rozłożyć wielomian na czynniki za pomocą twierdzenia Bézout (więcej)

Post nr 308