Granica ciągu liczbowego z liczbą e
10 przykładów z wyznaczeniem granicy ciągu liczbowego z liczbą e, gdy n->∞.
Mówimy, że liczba g jest granicą ciągu (an) nϵN+ wtedy i tylko wtedy, gdy do każdego otoczenia liczby g należą prawie wszystkie wyrazy tego ciągu.
Prawie wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu spełniają pewien warunek, wtedy i tylko wtedy, gdy warunku tego nie spełnia co najwyżej skończona liczba wyrazów.
Mówimy, że ciąg (an), gdzie nϵN+, dąży do nieskończoności wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego A (A ϵ R) prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od A.
I przykład
Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞:
an=[(n+7)/(n+9)]3n+8
![Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(n+1)/(n+9)]^3n+8](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEix3NwtsziZXlnFf0LvehzRtn2mvcrFrlsvy7vMZTk0cMvVarDbVRPPvGGJ71V_Pf2lY8fl1bLrQ4hkNtjIwU1XJ7MXLiY77DQmM4obGAXIvx9wdbAHOhMcvCNoPt7F39zuITepbi4zeyU/s1600/Granica+ci%C4%85glu+liczbowego+z+liczb%C4%85+e.+1.gif "Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(n+1)/(n+9)]^3n+8")
II przykład
Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞:
an=[(n+2)/(n-5)]-4n+3
![Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(n+2)/(n-5)]^(-4n+3)](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiwJmIAn6bcDjHFL1nXHHKDfOHqUhr8Z9sJG94ng0ZICeQUWGx4b1O2wqmIGm9dyspLR7AFgA_SDid610YF6rsFezGa9yRGM65HxT6mLyOCIzcHZHToJYXEAOuhlQx1SI2lL78itwlLsFs/s1600/Granica+ci%C4%85glu+liczbowego+z+liczb%C4%85+e.+2.gif "Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(n+2)/(n-5)]^(-4n+3)")
III przykład
Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞:
an=[(3n+4)/(3n-2)]7n+1
![Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(3n+4)/(3n-2)]^(7n+1)](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjmydIn9JRyiNBTs1FmqR4k4DptfZiEgnWC8wJ4nxGfMW57IEkXKiY0rxgB_0WepIgZmMChz9hCEwminHxtDB_LXkw25bOOOOBT-GNyJITec6oxJy2FdEvcpbLB9fOkRKw4g1WcL-RNC0Y/s1600/Granica+ci%C4%85glu+liczbowego+z+liczb%C4%85+e.+3.gif "Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(3n+4)/(3n-2)]^(7n+1)")
IV przykład
Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞:
an=[(5n+7)/(5n-1)](n+1)/9
![Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(5n+7)/(5n-1)]^[(n+1)/9]](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiw1-aH9yyGXg9_Y249Gr_oIDzQ5iuKpL9oe-uksSY-vH2Jmaf1gvBB-m6dSnutJT5aF8JAFYxJgLn-XTkSJPTX_TnmUzMAoY41-NmkGmixNvfIymK7J-58gLaYoUxSdAQyTkEFlvpdKlI/s1600/Granica+ci%C4%85glu+liczbowego+z+liczb%C4%85+e.+4.gif "Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(5n+7)/(5n-1)]^[(n+1)/9]")
V przykład
Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞:
an=[(7n-5)/(7n+6)]-3n+4
![Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(7n-5)/(7n+6)]^(-3n+4)](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh7xQH2GHynboCzWVgns0CNTwe-BvmaYFbFdabaO-qOgAAzJN_-vyNTJ6GxsXM9S2zdbIqXJic5HXwBgpaWbeTugHvhPdhMremsVcbj5dE0kFoNJ_gkmFPuwm2mfTxSnRJ1_-jXlu2lZCE/s1600/Granica+ci%C4%85glu+liczbowego+z+liczb%C4%85+e.+5.gif "Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(7n-5)/(7n+6)]^(-3n+4)")
VI przykład
Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞:
an=[(n2+1)/(n2+5)]2n2+3
![Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(n^2+1)/(n^2+5)]^(2n^2+3)](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjBxXII3cCvme0QqYdPFM3Fu_p_lz3Oi2D37pYNzfwT9leivC0Ep8OrmzEgBfrWBOb1DIhG2g15Hqca_9AyXWZJRGPsNOy53mio8mJwWAexN-2qCyd-Nm8d-txNcKmtpSqq3wKc0Dzl6PU/s1600/Granica+ci%C4%85glu+liczbowego+z+liczb%C4%85+e.+6.gif "Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(n^2+1)/(n^2+5)]^(2n^2+3)")
VII przykład
Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞:
![Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(3n^2-4)/(3n^2+2)]^(7n^2+1)](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEidtKuUNbIYeBHA9wr-MOJ9XTK8nCvOKvLY8GUtsJXqqFzdM_GQUP8vwpDty7fIQaEYP6breNBwSuY9NQgrATZujMziUDNaVFdWSh_0PgtY11m_qLFVbdNdPHD5WWEqZG5S4eLNHrOXKLs/s1600/Granica+ci%C4%85glu+liczbowego+z+liczb%C4%85+e.+7.gif "Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(3n^2-4)/(3n^2+2)]^(7n^2+1)")
VIII przykład
Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞:
![Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(-5n^3+2)/(-5n^3-1)]^(6n^3+5)](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgDJ73QBVefz9GWs-zsAX91drZqTJoMTCW65Roo4xjXOytcidFquivVYgYHb3slgFlvMP9isqAR_-KRAPkytu1LL-yFJemZoxqdFX3ETkqs5b9CmZZXtlR4NqynjNYZMXswPLpaU0LOtIE/s1600/Granica+ci%C4%85glu+liczbowego+z+liczb%C4%85+e.+8.gif "Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(-5n^3+2)/(-5n^3-1)]^(6n^3+5)")
IX przykład
Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞:
![Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(9n^9-5)/(9n^9+2)]^(8n^9+2)](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjkIw0RfcosMbhu675KYr_ZauvcBzA7czPeriKl1Sq1jrK02cK07nUerO7EizmqFfMl58x0PjwbHwjEi8FQDbLKm2Eoe_Fl24NuiA4xQvSsc0A0O3egfjfDfbekXDq-hUItJ5PnXdTggnk/s1600/Granica+ci%C4%85glu+liczbowego+z+liczb%C4%85+e.+9.gif "Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(9n^9-5)/(9n^9+2)]^(8n^9+2)")
X przykład
Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞:
![Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(-7n^21+4)/(-7n^21+1)]^(2n^21+3)](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhkCVoYsN3vQ-gi9-M2I_sS1xwkuNKxEn_PmafzVTRUbMoQcycT3HoQWyI0cGiNtu7DLPnxb0da847WH2SZBzF-XAtnCP8A9b19hiPp4UgVRV7jZT1bVuqWpeAIB7I7pE0z1OS1d_kn358/s1600/Granica+ci%C4%85glu+liczbowego+z+liczb%C4%85+e.+10.gif "Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(-7n^21+4)/(-7n^21+1)]^(2n^21+3)")
Post nr 352
(1 + (2n + 1/(4n^2 + 3)))^(5n−1)
OdpowiedzUsuńA co należy zrobić w takim przypadku?
Ciekawe przykłady, dobrze ilustrujące metody rozwiązań.
OdpowiedzUsuń