Zamiana postaci ogólnej na kanoniczną i postaci kanonicznej na ogólną funkcji homograficznej
Algorytm I
Algorytm II
Zamiana
postaci ogólnej na postać kanoniczną funkcji homograficznej i postaci
kanonicznej na postać ogólną funkcji homograficznej.
Sprawdźmy wyprowadzony wzór na zamianę postaci ogólnej funkcji homograficznej na postać kanoniczną. Należy sprawdzić czy wykresy funkcji homograficznej zapisane w postaci ogólnej i kanonicznej narysowane w układzie współrzędnych pokrywają się. Wtedy wiemy, że postać kanoniczna została prawidłowo wyznaczona.
I przykład - algorytm I
II przykład - algorytm I
![](https://s3.amazonaws.com/calc_thumbs/production/pggtcaiq8k.png)
Wykres online
III przykład - algorytm I
![](https://s3.amazonaws.com/calc_thumbs/production/k6lv0bvmjy.png)
Wykres online
III przykład - algorytm II
![](https://s3.amazonaws.com/calc_thumbs/production/k6lv0bvmjy.png)
Wykres online
IV przykład - algorytm I
![](https://s3.amazonaws.com/calc_thumbs/production/7yt2ic4fmc.png)
Wykres online
IV przykład - algorytm II
![](https://s3.amazonaws.com/calc_thumbs/production/7yt2ic4fmc.png)
Wykres online
Wykres funkcji homograficznej jest przesunięciem równoległym pewnej hiperboli i posiada on dwie asymptoty:
- pionową
i poziomą
.
Punkt
to środek symetrii tego wykresu. Funkcja homograficzna jest monotoniczna na każdym z przedziałów
oraz
.
Funkcja jest:
![S= \left(\frac{-d}{c} ; \frac{a}{c}\right)](https://upload.wikimedia.org/math/2/4/f/24f78fc4f4e47604624913c5078f2ebc.png)
![(-\infty,-\frac{d}{c})](https://upload.wikimedia.org/math/5/2/a/52a37223cad41fb86f143ddc283a92a9.png)
![(-\frac{d}{c},\infty)](https://upload.wikimedia.org/math/f/a/6/fa63074ee30e735e575c3f81cf945cfa.png)
Funkcja jest:
- przedziałami malejąca, gdy
oraz
- przedziałami rosnąca, gdy
.
Wykres funkcji homograficznej
, gdzie
oraz
powstaje w wyniku przesunięcia równoległego wykresu pewnej hiperboli o pewien wektor. Zauważmy w tym celu, że dla wszystkich
mamy
![f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}](https://upload.wikimedia.org/math/9/0/5/9054c66d1614e86182089c3c02b08902.png)
![c \neq 0](https://upload.wikimedia.org/math/e/3/e/e3e37d3d0fb48f0445095bc9afdca32b.png)
![ad - bc \neq 0](https://upload.wikimedia.org/math/a/c/f/acf884608b7497a84bea5a488e8f869b.png)
![x](https://upload.wikimedia.org/math/9/d/d/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png)
.
Zatem wykres funkcji
powstaje w wyniku translacji hiperboli o równaniu
![f](https://upload.wikimedia.org/math/8/f/a/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.png)
o wektor
.
Własności funkcji homograficznej.
Post nr 353
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz