Zamiana postaci ogólnej na kanoniczną i postaci kanonicznej na ogólną funkcji homograficznej

Algorytm I

Funkcja homograficzna - postać ogólna i kanoniczna

Algorytm II

Zamiana postaci ogólnej na postać kanoniczną funkcji homograficznej i postaci kanonicznej na postać ogólną funkcji homograficznej.

Sprawdźmy wyprowadzony wzór na zamianę postaci ogólnej funkcji homograficznej na postać kanoniczną.
Należy sprawdzić czy wykresy funkcji homograficznej zapisane w postaci ogólnej i kanonicznej narysowane w układzie współrzędnych pokrywają się. Wtedy wiemy, że postać kanoniczna została prawidłowo wyznaczona.

I przykład - algorytm I

Wykres online

II przykład - algorytm I

Wykres online

III przykład - algorytm I

Wykres online

III przykład - algorytm II

Wykres online

IV przykład - algorytm I

Wykres online

IV przykład - algorytm II

Wykres online

Wykres funkcji homograficznej jest przesunięciem równoległym pewnej hiperboli i posiada on dwie asymptoty:

pionową $x= \frac{- d}{c}$ i poziomą $y= \frac{a}{c}$ .

Punkt $S= \left(\frac{-d}{c} ; \frac{a}{c}\right)$ to środek symetrii tego wykresu. Funkcja homograficzna jest monotoniczna na każdym z przedziałów $(-\infty,-\frac{d}{c})$ oraz $(-\frac{d}{c},\infty)$ .
Funkcja jest:

przedziałami malejąca, gdy $ad - bc < 0$ oraz
przedziałami rosnąca, gdy $ad - bc > 0$ .

Wykres funkcji homograficznej $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$ , gdzie $c \neq 0$ oraz $ad - bc \neq 0$ powstaje w wyniku przesunięcia równoległego wykresu pewnej hiperboli o pewien wektor. Zauważmy w tym celu, że dla wszystkich $x$ mamy