Zagadka z klientem

Zagadka z klientem i kasjerem. Wyznaczenie cen czterech produktów z warunkiem. Układ równań z czterema niewiadomymi.

Kasjer pomylił się w sklepie i swojemu klientowi zamiast dodać ceny czterech produktów, to pomnożył, prosząc o zapłatę 7,11 zł. Klient, to zauważył i poprosił kasjera o zsumowanie tych cen. Zdziwienie klienta było wielkie bo suma jednak też dała 7,11 zł. Ile kosztowały produkty?

Zakładamy, że każda cena tych produktów dzieli cenę całkowitą bez reszty (0,01). 

I sposób

Rozwiązanie: 

Otrzymujemy układ równań z czterema niewiadomymi.

Z powyższego układu równań wynika jaką wartość musi spełniać suma dwóch cen produktów (zał. cena produktu c i d). 

Ceny poszczególnych produktów muszą dzielić sumę cen tych produktów tj. 7,11.

Pierwszym warunkiem jest znalezienie tych cen dla których iloraz 7,11 przez cenę dowolnego produktu dzieli się bez reszty i otrzymujemy zapis dziesiętny 0,01 lub 0,1. Zatem cd należy do przedziału <0,01; 7,11>.

Wyznaczamy dzielniki wymierne sumy cen produktów 7,11. Kolorem niebieskim zaznaczono ceny, które są dzielnikami wymiernymi sumy cen produktów. 
Wartość delty jest większa lub równa 0 wtedy i tylko wtedy, gdy od wartości 7,11 odejmiemy czwartą kolumnę. Suma cen dwóch produktów (zał. ceny produktów c i d) musi być mniejsza niż w czwartej kolumnie. 
Jeśli delta jest większa lub równa 0, to możemy wyznaczyć cenę produktu c z podanej nierówności. Znajdziemy wtedy przedział do którego należy cena produktu c. Rozpatrujemy wszystkie możliwości ceny produktu c, co jeden grosz. Jest tylko 10 przykładów, które spełniają powyżej opisane warunki.

Z powyższych obliczeń wyznaczono przedziały do których należy cena produktu c. Zatem uwzględniamy możliwości tej ceny co jeden grosz. Zatem c jest parametrem liczbowym należącym do wskazanych przedziałów powyżej.

Obliczamy ze wzoru:

∆= [7,11  –  (c+d)]² - 28,44/cd

a₁={[7,11 – (c+d)] - √[7,11 – (c+d)² – 28,44/cd]}/2
a₂={[7,11 – (c+d)] + √[7,11 – (c+d)² – 28,44/cd]}/2
b₁=[7,11 – (c+d)] – a₁
b₂=[7,11 – (c+d)] – a₂

 

Ceny produktów wynoszą 1,5; 1,25; 1,2; 3,16.
Sprawdzamy warunki zadania:

1,5 + 1,25 + 1,2  +  3,16 = 7,11 zł

   1,5 · 1,25  · 1,2  ·  3,16 = 7,11 zł

W zadaniu należało policzyć ceny produktów, a nie poszczególnych produktów.

II sposób

Rozwiązanie zagadki bez użycia programu:

Post nr 356