Podstawowe wzory i własności ciągu arytmetycznego

Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg, w którym każdy wyraz oprócz pierwszego powstaje przez dodanie do poprzedniego tej samej liczby r. Liczbę r nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego.

Ciąg arytmetyczny nazywamy ciągiem liczbowym, w którym różnica między dowolnym wyrazem ciągu a wyrazem, który go bezpośrednio poprzedza, jest stała dla danego ciągu.

Ciąg arytmetyczny może być ciągiem nieskończonym lub skończonym, ale ciąg skończony musi mieć co najmniej trzy wyrazy.

Jeżeli ciąg (a_n) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy r, to z ogólnie z definicji mamy, że a_n+1-a_n=r, tzn. w ciągu arytmetycznym różnica miedzy dowolnym wyrazem ciągu i wyrazem, który go bezpośrednio poprzedza jest stała.

Można zauważyć, że każdy z wypisanych wyrazów jest sumą wyrazów poprzedniego i pewnej wielokrotności różnicy r. Przy czym liczba różnic jest o jeden mniejsza od wskaźnika porządkowego ciągu. To spostrzeżenie pozwala na sformułowanie twierdzenia:
Dla każdego nϵN₁ a_n = a₁ + (n-1) · r.

Własności ciągu arytmetycznego:

Każdy wyraz ciągu arytmetycznego, poczynając od wyrazu drugiego, jest średnią arytmetyczną jego dwóch wyrazów (wyrazów poprzedniego i następnego) i obliczamy w następujący sposób:

Dowolny wyraz a_n ciągu arytmetycznego (a_n) dla każdego nϵN₁ można przedstawić w postaci sumy wyrazu a_k ciągu arytmetycznego i iloczynu (n-k) · r, tzn. a_n = a_k + (n-k) · r, gdzie k+ (n-k) = n.

Suma dwóch wyrazów ciągu arytmetycznego jednakowo odległych od pierwszego i ostatniego wyrazu ciągu arytmetycznego jest stała. Wniosek jest prawdziwy dla każdego skończonego ciągu arytmetycznego.
W skończonym ciągu arytmetycznym (a_n) suma wyrazów jednakowo odległych od początku (wyraz k-ty od początku a_k) i końca (wyraz k-ty od końca a_n-k-1) jest stała i równa sumie wyrazów pierwszego i ostatniego (a₁ + a_n).
Dowód:
a_n = a₁ + (n-1) · r
a_k = a₁ + (k-1) · r
a_n-k+1 = a₁ + [(n-k+1)-1] · r = a₁ + [n-k+1-1] · r = a₁ + (n-k) · r

a_k+ a_n-k+1 = [a₁ + (k-1) · r] + [a₁ + (n-k) · r]
a_k+ a_n-k+1 = [a₁ + kr - r] + [a₁ + nr – kr]
a_k+ a_n-k+1 = a₁ + kr - r + a₁ + nr – kr
a_k+ a_n-k+1 = a₁ - r + a₁ + nr
a_k+ a_n-k+1 = a₁ + a₁ + nr – r
a_k+ a_n-k+1 = a₁ + a₁ + (n – 1) · r
a_k+ a_n-k+1 = a₁ + [a₁ + (n – 1) · r]
a_k+ a_n-k+1 = a₁ + a_n

Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego równa jest iloczynowi liczby wyrazów przez średnią arytmetyczną wyrazu pierwszego i ostatniego:
S_n = [(a₁ + a_n)/2] · n

Wyprowadzony wzór na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego można napisać z innej postaci.
Ponieważ a_n = a₁ + (n-1) · r, więc:
S_n = [(a₁ + a_n)/2] · n
S_n = [(a₁ + a₁ + (n-1) · r)/2] · n
S_n = [(2a₁ + (n-1) · r)/2] · n

Suma częściowa ciągu arytmetycznego określa sumę n początkowych kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego. Z sumy częściowej ciągu arytmetycznego można obliczyć kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego w sposób następujący: