Tweety na temat @MinorMatematyka

Pomoce dla klasy

Szukaj na tym blogu lub wpisz post nr 1-535

Własności ciągu arytmetycznego

Podstawowe wzory i własności ciągu arytmetycznego

Własności ciągu arytmetycznego




Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg, w którym każdy wyraz oprócz pierwszego powstaje przez dodanie do poprzedniego tej samej liczby r. Liczbę r nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego.
Ciąg arytmetyczny nazywamy ciągiem liczbowym, w którym różnica między dowolnym wyrazem ciągu a wyrazem, który go bezpośrednio poprzedza, jest stała dla danego ciągu.
Ciąg arytmetyczny może być ciągiem nieskończonym lub skończonym, ale ciąg skończony musi mieć co najmniej trzy wyrazy.
Jeżeli ciąg  (an) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy r, to z ogólnie z definicji mamy, że an+1-an=r, tzn. w ciągu arytmetycznym różnica miedzy dowolnym wyrazem ciągu i wyrazem, który go bezpośrednio poprzedza jest stała.
Można zauważyć, że każdy z wypisanych wyrazów jest sumą wyrazów poprzedniego i pewnej wielokrotności różnicy r. Przy czym liczba różnic jest o jeden mniejsza od wskaźnika porządkowego ciągu. To spostrzeżenie pozwala na sformułowanie twierdzenia: 
Dla każdego nϵN₁ an = a1 + (n-1) · r.


Własności ciągu arytmetycznego:


Każdy wyraz ciągu arytmetycznego, poczynając od wyrazu drugiego, jest średnią arytmetyczną jego dwóch wyrazów (wyrazów poprzedniego i następnego) i obliczamy w następujący sposób:

Własności ciągu arytmetycznego



Własności ciągu arytmetycznego


Dowolny wyraz an ciągu arytmetycznego (an) dla każdego nϵN1 można przedstawić w postaci sumy wyrazu ak ciągu arytmetycznego i iloczynu (n-k) · r, tzn. an = ak + (n-k) · r, gdzie k+ (n-k) = n.

Własności ciągu arytmetycznego











Suma dwóch wyrazów ciągu arytmetycznego jednakowo odległych od pierwszego i ostatniego wyrazu ciągu arytmetycznego jest stała. Wniosek jest prawdziwy dla każdego skończonego ciągu arytmetycznego.
W skończonym ciągu arytmetycznym (an) suma wyrazów jednakowo odległych od początku (wyraz k-ty od początku ak) i końca (wyraz k-ty od końca an-k-1) jest stała i równa sumie wyrazów pierwszego i ostatniego (a1 + an).
Dowód:
an = a1 + (n-1) · r
ak = a1 + (k-1) · r
an-k+1 = a1 + [(n-k+1)-1] · r = a1 + [n-k+1-1] · r = a1 + (n-k) · r

ak + an-k+1 = [a1 + (k-1) · r] + [a1 + (n-k) · r]
ak + an-k+1 = [a1 + kr - r] + [a1 + nr – kr]
ak + an-k+1 = a1 + kr - r + a1 + nr – kr
ak + an-k+1 = a1  - r + a1 + nr
ak + an-k+1 = a1  + a1 + nr – r
ak + an-k+1 = a1  + a1 + (n – 1) · r
ak + an-k+1 = a1  + [a1 + (n – 1) · r]
ak + an-k+1 = a1  + an
Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego równa jest iloczynowi liczby wyrazów przez średnią arytmetyczną wyrazu pierwszego i ostatniego:
Sn = [(a1 + an)/2] · n





Wyprowadzony wzór na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego można napisać z innej postaci. 
Ponieważ an = a1 + (n-1) · r, więc:
Sn = [(a1 + an)/2] · n
Sn = [(a1 + a1 + (n-1) · r)/2] · n
Sn = [(2a1 + (n-1) · r)/2] · n



Własności ciągu arytmetycznego




Suma częściowa ciągu arytmetycznego określa sumę n początkowych kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego. Z sumy częściowej ciągu arytmetycznego można obliczyć kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego w sposób następujący:

Własności ciągu arytmetycznego




Sprawdź także podstawowe wzory i własności ciągu geometrycznego (więcej)


Post nr 357

Brak komentarzy:

Prześlij komentarz

WESPRZYJ BLOGA ZRZUTKĄ


Czytelniku, miło kiedy komentujesz posty. Chętnie zapoznam się z Twoim sposobem  rozwiązania zadania. Aby ten blog stanowił dla Czytelników pewną wartość, nie mogę pozwolić, żeby każdy mógł tu pisać co tylko chce. Korzystanie z bloga oznacza akceptację Regulaminu.
Regulamin bloga
1. Myśl zanim coś napiszesz – zanim zechcesz skrytykować moje sposoby rozwiązania zadań zastanów się jak możesz z tego skorzystać. Jeszcze raz – nie twierdzę, że wszystko co napiszę będzie dla Ciebie pomocne. Niemniej niektóre wskazówki po Twojej modyfikacji mogą dobrze Ci służyć. Myśl samodzielnie.
2. Publikuję wskazówki, które mogą pomóc Ci zrozumieć jak można rozwiązywać zadania matematyczne.
3. W ramach kopiowania zdjęć z bloga skorzystaj z przycisków udostępniania dostępnych w postach na blogu.
4. Wszystkie komentarze na blogu są moderowane przez autora bloga.
5. Korzystanie z bloga w całości jest nieodpłatne.