Spirala wyznaczona ciągiem geometrycznym w okręgu

Okrąg o promieniu długości r podzielono na 8 równych części i przez punkty podziału poprowadzono średnice. Z pierwszego punktu podziału poprowadzono odcinek prostopadły do średnicy przechodzącej przez drugi punkt podziału, ze spodka tej prostopadłej poprowadzono z kolei prostopadłą do następnej średnicy itd., do nieskończoności. Wyznaczyć wzór na długość łamanej złożonej z n odcinków prostopadłych do średnic i ich sumę.

Rozwiązanie:

- przy podziale okręgu na 8 równych części wykorzystamy okrąg opisany na kwadracie lub kwadrat wpisany w okrąg

- pierwszy odcinek f₁ jest bokiem kwadratu o przekątnej długości |AO| = r, gdzie wyznaczamy długość odcinka f₁=(r√2)/2 ze wzoru |AO|=f₁√2

- drugi odcinek f₂ jest bokiem kwadratu o przekątnej długości f₁, gdzie wyznaczamy długość odcinka f₂=r/2 ze wzoru f₁=f₂√2

- trzeci odcinek f₃ jest bokiem kwadratu o przekątnej długości f₂, gdzie wyznaczamy długość odcinka f₃=(r√2)/4 ze wzoru f₂=f₃√2

- czwarty odcinek f₄ jest bokiem kwadratu o przekątnej długości f₃, gdzie wyznaczamy długość odcinka f₄=r/4 ze wzoru f₃=f₄√2

- piąty odcinek f₅ jest bokiem kwadratu o przekątnej długości f₄, gdzie wyznaczamy długość odcinka f₅==(r√2)/8 ze wzoru f₄=f₅√2

- szósty odcinek f₆ jest bokiem kwadratu o przekątnej długości f₅, gdzie wyznaczamy długość odcinka f₆==r/8 ze wzoru f₅=f₆√2

- proces prowadzenia prostopadłych opisanych w zadaniu jest nieskończony, wyznaczamy wzór na długość n-tej łamanej z otrzymanego ciągu i sumę n łamanych, który jest ciągiem geometrycznym

- długość łamanej o nieskończenie rosnącej liczbie odcinków jest granicą sumy ciągu geometrycznego nieskończonego w którym f₁=(r√2)/2, q=√2/2.