Wielościany foremne, bryły platońskie
Wielościan foremny (bryła platońska) – wielościan spełniający następujące trzy warunki:
- ściany są przystającymi wielokątami foremnymi,
- w każdym wierzchołku zbiega się jednakowa liczba ścian,
- jest bryłą wypukłą[1].
Wielościany foremne są szczególnym przypadkiem wielościanów półforemnych (archimedesowskich), w których foremne ściany nie muszą być identyczne (tj. wzajemnie przystające).
Wielościanem foremnym (bryłą platońską) nazywamy wielościan wypukły, którego wszystkie ściany są przystającymi wielokątami foremnymi i wszystkie katy dwuścienne wyznaczone przez ściany są równe.
Istnieje tylko pięć wielościanów foremnych - czworościan, sześcian, ośmiościan, dwunastościan, dwudziestościan.
Czworościan (tetraedr)
4 ściany trójkątne, 4 wierzchołki, 6 krawędzi.
4 ściany trójkątne, 4 wierzchołki, 6 krawędzi.
Każda z jego ścian jest trójkątem równobocznym. Jest on szczególnym
przypadkiem ostrosłupa prawidłowego trójkątnego.
Sześcian (heksaedr)
6 ścian kwadratowych, 8 wierzchołków, 12 krawędzi.
Sześcian foremny to wielościan foremny o sześciu ścianach w
kształcie
identycznych kwadratów. Kąt między ścianami sześcianu jest kątem
prostym. Sześcian foremny jest szczególnym przypadkiem graniastosłupa
prawidłowego, prostopadłościanu i romboedru.
Ośmiościan (oktaedr)
8 ścian trójkątnych, 6 wierzchołków, 12 krawędzi.
Ośmiościan foremny to wielościan foremny o ośmiu ścianach w kształcie
identycznych trójkątów równobocznych. Ma cztery pary ścian do siebie
równoległych. Jest także antygraniastosłupem.
Dwunastościan (dodekaedr)
12 ścian pięciokątnych, 20 wierzchołków, 30 krawędzi.
12 ścian pięciokątnych, 20 wierzchołków, 30 krawędzi.
Dwudziestościan (ikosaedr)
20 ścian trójkątnych, 12 wierzchołków, 30 krawędzi
20 ścian trójkątnych, 12 wierzchołków, 30 krawędzi
Dlaczego wielościanów foremnych
nie może być więcej niż pięć?
Suma wszystkich kątów płaskich kąta bryłowego musi być mniejsza od 360°.
Z trójkątów można zbudować trzy wielościany foremne, gdzie z jednego wierzchołka mogą wychodzić:
- 3 krawędzie (60° × 3 = 180° < 360°)
- 4 krawędzie (60° × 4 = 240° < 360°)
- 5 krawędzi (60° × 5 = 300° < 360°).
Z kwadratów składać się może tylko jeden wielościan (3 × 90° = 270°).
Z pięciokątów foremnych składać się może również tylko jeden, gdyż kąt pięciokąta foremnego ma miarę 108° (3 × 108° < 360°).
Z sześciokątów, ani tym bardziej z wielokątów o większej liczbie boków, wielościanu foremnego zbudować się nie można.
Wielościany foremne w przestrzeni trójwymiarowej:
Suma wszystkich kątów płaskich kąta bryłowego musi być mniejsza od 360°.
Z trójkątów można zbudować trzy wielościany foremne, gdzie z jednego wierzchołka mogą wychodzić:
- 3 krawędzie (60° × 3 = 180° < 360°)
- 4 krawędzie (60° × 4 = 240° < 360°)
- 5 krawędzi (60° × 5 = 300° < 360°).
Z kwadratów składać się może tylko jeden wielościan (3 × 90° = 270°).
Z pięciokątów foremnych składać się może również tylko jeden, gdyż kąt pięciokąta foremnego ma miarę 108° (3 × 108° < 360°).
Z sześciokątów, ani tym bardziej z wielokątów o większej liczbie boków, wielościanu foremnego zbudować się nie można.
Wielościany foremne w przestrzeni trójwymiarowej:
Post nr 438
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz