Wielościany foremne, bryły platońskie

 

                                               Źródło: Animacja Walter Fendt

Wielościan foremny (bryła platońska) – wielościan spełniający następujące trzy warunki:

• ściany są przystającymi wielokątami foremnymi,
• w każdym wierzchołku zbiega się jednakowa liczba ścian,
• jest bryłą wypukłą^[1].

Wielościany foremne są szczególnym przypadkiem wielościanów półforemnych (archimedesowskich), w których foremne ściany nie muszą być identyczne (tj. wzajemnie przystające).

Wielościanem foremnym (bryłą platońską) nazywamy wielościan wypukły, którego wszystkie ściany są  przystającymi wielokątami foremnymi i wszystkie katy dwuścienne wyznaczone przez ściany są równe.
Istnieje tylko pięć wielościanów foremnych - czworościan, sześcian, ośmiościan, dwunastościan, dwudziestościan.

Czworościan (tetraedr)
4 ściany trójkątne, 4 wierzchołki, 6 krawędzi.

Każda z jego ścian jest trójkątem równobocznym. Jest on szczególnym przypadkiem ostrosłupa prawidłowego trójkątnego.
  

Sześcian (heksaedr)
6 ścian kwadratowych, 8 wierzchołków, 12 krawędzi.

Sześcian foremny to wielościan foremny o sześciu ścianach w kształcie identycznych kwadratów. Kąt między ścianami sześcianu jest kątem prostym. Sześcian foremny jest szczególnym przypadkiem graniastosłupa prawidłowego, prostopadłościanu i romboedru.

Ośmiościan (oktaedr)
8 ścian trójkątnych, 6 wierzchołków, 12 krawędzi.

Ośmiościan foremny to wielościan foremny o ośmiu ścianach w kształcie identycznych trójkątów równobocznych. Ma cztery pary ścian do siebie równoległych. Jest także antygraniastosłupem.

Dwunastościan (dodekaedr)
12 ścian pięciokątnych, 20 wierzchołków, 30 krawędzi.

Dwudziestościan (ikosaedr)
20 ścian trójkątnych, 12 wierzchołków, 30 krawędzi

Dlaczego wielościanów foremnych nie może być więcej niż pięć?
Suma wszystkich kątów płaskich kąta bryłowego musi być mniejsza od 360°.

Z trójkątów można zbudować trzy wielościany foremne, gdzie z jednego wierzchołka mogą wychodzić:
- 3 krawędzie (60° × 3 = 180° < 360°)
- 4 krawędzie (60° × 4 = 240° < 360°)
- 5 krawędzi (60° × 5 = 300° < 360°).

Z kwadratów składać się może tylko jeden wielościan (3 × 90° = 270°).

Z pięciokątów foremnych składać się może również tylko jeden, gdyż kąt pięciokąta foremnego ma miarę 108°  (3 × 108° < 360°).

Z sześciokątów, ani tym bardziej z wielokątów o większej liczbie boków, wielościanu foremnego zbudować się nie można.  

Wielościany foremne w przestrzeni trójwymiarowej:

 

 Źródło: Zdjęcie Wikipedia

Post nr 438