Tweety na temat @MinorMatematyka

Pomoce dla klasy

Szukaj na tym blogu lub wpisz post nr 1-535

Pierwiastkowanie liczb zespolonych

Jak pierwiastkować liczby zespolone wzorem de Moivre'a na pierwiastki?





Pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby zespolonej  z  nazywamy każdą liczbę zespoloną  w, która podniesiona do n-tej potęgi daje liczbę  z, to znaczy wn=zSpróbujmy znaleźć sposób na obliczanie pierwiastka n-tego stopnia z liczby zespolonej z. Załóżmy, że liczba zespolona  z  zapisana jest w postaci trygonometrycznej
z = r (cosφ + i sinφ )
Chcemy znaleźć taką liczbę zespoloną w, w postaci trygonometrycznej
w = R (cosβ + i sinβ),
aby
wn=z.
Wyliczając wn ze wzoru de Moivre'a, a następnie porównując moduły i argumenty po obu stronach równości  wn=z  dostajemy
Rn = r
oraz
nβ = φ+2kp.
Dodanie składnika 2kp wynika z niejednoznaczności argumentu (może się on różnić o wielokrotność 2p). Zatem:

Pierwiastkowanie liczb zespolonych

Wynika stąd, że pierwiastek n-tego stopnia z liczby zespolonej  z  istnieje, ale nie jest wyznaczony jednoznacznie. Wszystkie pierwiastki dostaniemy biorąc 
k = {0, 1, 2, ...} 
Wśród argumentów
Pierwiastkowanie liczb zespolonych

istnieje dokładnie n takich, których różnice nie są wielokrotnościami liczby 2p. Są to np. liczby k = {0, 1, ... , n-1}. Zatem istnieje zawsze dokładnie n różnych pierwiastków stopnia n z liczby zespolonej z różnej od zera.  Dane są one wzorami



Wzór ten określamy wzorem de Moivre'a na pierwiastki z liczb zespolonych.


Obliczyć pierwiastki z podanych liczb zespolonych.















Pierwiastkowanie liczb zespolonych

Pierwiastkowanie liczb zespolonych



Pierwiastkowanie liczb zespolonych



Dowiedz się więcej o liczbach zespolonych.


Post nr 470

2 komentarze:

  1. Przykład pierwiastka z liczby zespolonej -16 sin phi = b/|z| = 0/16, skąd się wziął tam tg phi = 0 = tg180.

    OdpowiedzUsuń
    Odpowiedzi
    1. Funkcję tg liczymy dzieląc sinus przez cosinus. Znak i wartości tych trzech funkcji określają już nam stopień kąta i zapisujemy w radianach.
      Proszę sprawdzić zagadnienie https://www.matematyczny-swiat.pl/2015/11/okrag-trygonometryczny-funkcji-sinus-i.html

      Usuń

WESPRZYJ BLOGA ZRZUTKĄ


Czytelniku, miło kiedy komentujesz posty. Chętnie zapoznam się z Twoim sposobem  rozwiązania zadania. Aby ten blog stanowił dla Czytelników pewną wartość, nie mogę pozwolić, żeby każdy mógł tu pisać co tylko chce. Korzystanie z bloga oznacza akceptację Regulaminu.
Regulamin bloga
1. Myśl zanim coś napiszesz – zanim zechcesz skrytykować moje sposoby rozwiązania zadań zastanów się jak możesz z tego skorzystać. Jeszcze raz – nie twierdzę, że wszystko co napiszę będzie dla Ciebie pomocne. Niemniej niektóre wskazówki po Twojej modyfikacji mogą dobrze Ci służyć. Myśl samodzielnie.
2. Publikuję wskazówki, które mogą pomóc Ci zrozumieć jak można rozwiązywać zadania matematyczne.
3. W ramach kopiowania zdjęć z bloga skorzystaj z przycisków udostępniania dostępnych w postach na blogu.
4. Wszystkie komentarze na blogu są moderowane przez autora bloga.
5. Korzystanie z bloga w całości jest nieodpłatne.