Pierwiastkowanie liczb zespolonych

Jak pierwiastkować liczby zespolone wzorem de Moivre'a na pierwiastki?

Pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby zespolonej  z  nazywamy każdą liczbę zespoloną  w, która podniesiona do n-tej potęgi daje liczbę  z, to znaczy wⁿ=z. Spróbujmy znaleźć sposób na obliczanie pierwiastka n-tego stopnia z liczby zespolonej z. Załóżmy, że liczba zespolona  z  zapisana jest w postaci trygonometrycznej

z = r (cosφ + i sinφ )

Chcemy znaleźć taką liczbę zespoloną w, w postaci trygonometrycznej

w = R (cosβ + i sinβ),

aby

wⁿ=z.

Wyliczając wⁿ ze wzoru de Moivre'a, a następnie porównując moduły i argumenty po obu stronach równości  wⁿ=z  dostajemy

Rⁿ = r

oraz

nβ = φ+2kp.

Dodanie składnika 2kp wynika z niejednoznaczności argumentu (może się on różnić o wielokrotność 2p). Zatem:

Wynika stąd, że pierwiastek n-tego stopnia z liczby zespolonej  z  istnieje, ale nie jest wyznaczony jednoznacznie. Wszystkie pierwiastki dostaniemy biorąc 
k = {0, 1, 2, ...} 
Wśród argumentów

istnieje dokładnie n takich, których różnice nie są wielokrotnościami liczby 2p. Są to np. liczby k = {0, 1, ... , n-1}. Zatem istnieje zawsze dokładnie n różnych pierwiastków stopnia n z liczby zespolonej z różnej od zera.  Dane są one wzorami

Wzór ten określamy wzorem de Moivre'a na pierwiastki z liczb zespolonych.


Obliczyć pierwiastki z podanych liczb zespolonych.

Dowiedz się więcej o liczbach zespolonych.


Post nr 470