Jak przedstawić liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej

Postać trygonometryczna liczby zespolonej.

Zamiast określać liczbę zespoloną z = a+bi różną od zera poprzez podanie jej części rzeczywistej i urojonej możemy ją określić inaczej - współrzędnymi biegunowymi - podając odległość r=|z| punktu M(a, b) od początku układu współrzędnych oraz kąt φ jaki tworzy wektor z dodatnim kierunkiem osi Ox.

Liczbę r, która jest długością wektora jest modułem liczby zespolonej z=a+bi, co zapisujemy r=|z|=|a+bi|

Widać stąd, że liczba zespolona jest równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy moduł jej jest równy zeru.

Kąt φ nazywamy argumentem liczby zespolonej z, co zapisujemy φ = arg z

Dla liczby zespolonej o module równym zero, argument nie jest określony.

Argument określamy z dokładnością do wielokrotności składnika 2π, gdyż obrót o kąt 2π stanowi obrót o kąt pełny. Wartość argumentu φ spełniającą warunek 0≤φ<2π nazywamy wartością główną argumentu, lub po prostu argumentem głównym.

Na podstawie związków określających moduł i argument liczby zespolonej (wymienionych wyżej) liczbę zespoloną można wyrazić poprzez jej moduł i argument w postaci:

Postać z=a+bi=|z|(cosφ+isinφ) nazywamy postacią (przedstawieniem) trygonometryczną liczby zespolonej. Postać trygonometryczna ułatwia w szczególności mnożenie i dzielenie liczb zespolonych. Jeżeli liczby zespolone z₁ i z₂dane są w postaci trygonometrycznej.

Widać więc, żeby pomnożyć (podzielić) dwie liczby zespolone wystarczy pomnożyć (podzielić) ich moduły i dodać ich argumenty (odjąć od argumentu licznika argument mianownika).

Przedstaw liczy zespolone w postaci trygonometrycznej: