Postać wykładnicza liczby zespolonej

Jak wyznaczyć postać wykładniczą liczby zespolonej?

W szczególności liczby zespolone można zapisać w tzw. postaci wykładniczej.

przy czym symbole |z|, φ  oznaczają odpowiednio moduł i argument główny danej liczby zespolonej. Dla liczb zespolonych zapisanych w tej postaci łatwo można więc podać moduł i argument. Postać ta w bardzo dobry sposób obrazuje mnożenie, dzielenie liczb zespolonych. Od razu widać, że w wyniku mnożenia otrzymamy liczbę, której moduł będzie równy iloczynowi modułów tych liczb, a argument równy sumie argumentów.

Wyznacz postać wykładniczą liczb zespolonych.

Dowiedz się więcej o liczbach zespolonych.



Post nr 471

Pierwiastkowanie liczb zespolonych

Jak pierwiastkować liczby zespolone wzorem de Moivre'a na pierwiastki?

Pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby zespolonej  z  nazywamy każdą liczbę zespoloną  w, która podniesiona do n-tej potęgi daje liczbę  z, to znaczy wⁿ=z. Spróbujmy znaleźć sposób na obliczanie pierwiastka n-tego stopnia z liczby zespolonej z. Załóżmy, że liczba zespolona  z  zapisana jest w postaci trygonometrycznej

z = r (cosφ + i sinφ )

Chcemy znaleźć taką liczbę zespoloną w, w postaci trygonometrycznej

w = R (cosβ + i sinβ),

aby

wⁿ=z.

Wyliczając wⁿ ze wzoru de Moivre'a, a następnie porównując moduły i argumenty po obu stronach równości  wⁿ=z  dostajemy

Rⁿ = r

oraz

nβ = φ+2kp.

Dodanie składnika 2kp wynika z niejednoznaczności argumentu (może się on różnić o wielokrotność 2p). Zatem:

Wynika stąd, że pierwiastek n-tego stopnia z liczby zespolonej  z  istnieje, ale nie jest wyznaczony jednoznacznie. Wszystkie pierwiastki dostaniemy biorąc 
k = {0, 1, 2, ...} 
Wśród argumentów

istnieje dokładnie n takich, których różnice nie są wielokrotnościami liczby 2p. Są to np. liczby k = {0, 1, ... , n-1}. Zatem istnieje zawsze dokładnie n różnych pierwiastków stopnia n z liczby zespolonej z różnej od zera.  Dane są one wzorami

Wzór ten określamy wzorem de Moivre'a na pierwiastki z liczb zespolonych.


Obliczyć pierwiastki z podanych liczb zespolonych.

Dowiedz się więcej o liczbach zespolonych.


Post nr 470

Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Jak przedstawić liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej

Postać trygonometryczna liczby zespolonej.

Zamiast określać liczbę zespoloną   z = a+bi  różną od zera poprzez podanie jej części rzeczywistej i urojonej możemy ją określić inaczej - współrzędnymi biegunowymi - podając odległość  r=|z|  punktu M(a, b) od początku układu współrzędnych oraz kąt  φ  jaki tworzy wektor  z dodatnim kierunkiem osi Ox.

Liczbę  r,  która jest długością wektora jest modułem liczby zespolonej  z=a+bi, co zapisujemy r=|z|=|a+bi|

Widać stąd, że liczba zespolona jest równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy moduł jej jest równy zeru.

Kąt  φ  nazywamy argumentem liczby zespolonej  z, co zapisujemy φ = arg z

Dla liczby zespolonej o module równym zero, argument nie jest określony.

Argument określamy z dokładnością do wielokrotności składnika 2π, gdyż  obrót o kąt 2π stanowi obrót o kąt pełny. Wartość argumentu  φ  spełniającą warunek  0≤φ<2π nazywamy wartością główną argumentu, lub po prostu argumentem głównym.

Na podstawie związków określających moduł i argument liczby zespolonej (wymienionych wyżej) liczbę zespoloną można wyrazić poprzez jej moduł i argument w postaci:

Postać z=a+bi=|z|(cosφ+isinφ) nazywamy postacią (przedstawieniem) trygonometryczną liczby zespolonej. Postać trygonometryczna ułatwia w szczególności mnożenie i dzielenie liczb zespolonych. Jeżeli liczby zespolone  z₁ i z₂ dane są w postaci trygonometrycznej. 

Widać więc, żeby pomnożyć (podzielić) dwie liczby zespolone wystarczy pomnożyć (podzielić) ich moduły i dodać ich argumenty (odjąć od argumentu licznika argument mianownika).

Przedstaw liczy zespolone w postaci trygonometrycznej: 

Dowiedz się więcej o liczbach zespolonych.

Post nr 469

Działania na liczbach zespolonych

Działania na liczbach zespolonych w postaci algebraicznej. Usuwanie liczby zespolonej z mianownika ułamka poprzez jej sprzężenie.
Potęgowanie liczb zespolonych wzorem de Moivre'a.
Pierwiastkowanie liczb zespolonych ze wzoru na pierwiastki stopnia n-tego.

Definicja liczby zespolonej:

Liczbą zespoloną nazywamy parę uporządkowaną liczb rzeczywistych (a,b). Często taką parę zapisuje się w postaci sumy:

z = a+bi , gdzie  i²=-1.

Tą postać liczby zespolonej nazywamy postacią kanoniczną. Liczbę a nazywamy częścią rzeczywistą, zaś liczbę b częścią urojoną liczby zespolonej z. Część rzeczywista oznaczamy Re z, a część urojoną symbolem Im z, mamy więc:

Re z = a

Im z = b.

Liczba zespolona jest równa zero wtedy i tylko wtedy, gdy Re z = 0 i Im z = 0. 

Dwie liczby zespolone są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są równe odpowiednio ich części rzeczywiste i urojone.

Liczbę zespoloną postaci   a-bi  nazywamy liczbą sprzężoną do liczby z=a+bi,
i oznaczamy ją z reguły symbolem. Liczbie tej odpowiada na płaszczyźnie punkt, który jest położony symetrycznie do punktu (a,b) względem osi Ox.  

Liczby zespolone postaci a+0i zapisujemy jako a  i utożsamiamy z liczbami rzeczywistymi. 

Liczbom rzeczywistym  a = a+0i odpowiadają punkty na płaszczyźnie o rzędnej równej zeru, tzn. punkty osi odciętych (osi Ox). Dlatego oś odciętych nazywamy osią rzeczywistą.

Jeżeli część rzeczywista liczby zespolonej jest równa zero, to liczba ma postać bi  i nazywamy ją liczbą urojoną. Liczbom urojonym bi = 0 +bi  odpowiadają punkty o odciętej równej zeru, tzn. punkty osi rzędnych (osi Oy). Dlatego oś rzędnych nazywamy osią urojoną.

Działania na liczbach zespolonych.

Na liczbach zespolonych możemy wykonywać podobnie jak na liczbach rzeczywistych podstawowe działania. 

Liczby zespolone dodajemy, odejmujemy i mnożymy tak, jak wyrażenia algebraiczne pamiętając, że i²=-1.  

Działania arytmetyczne na liczbach zespolonych są rozszerzeniem działań na liczbach rzeczywistych, tzn. w przypadku liczb rzeczywistych jest obojętne czy np. mnożymy je jako liczby rzeczywiste czy zespolone z częścią urojoną równą zero. Z podanych definicji działań na liczbach zespolonych wynika, że działania dodawania i mnożenia liczb zespolonych są łączne i przemienne oraz mnożenie jest rozdzielne względem dodawania. Zachowane są również znane własności odejmowania i dzielenia. Powyższe stwierdzenia powodują, że dla liczb zespolonych prawdziwe są wzory skróconego mnożenia, wzór dwumianowy Newtona, twierdzenie Bezout itd.. Nie określamy natomiast nierówności liczb zespolonych innych niż rzeczywiste. 

W działaniach na liczbach zespolonych wykorzystujemy:

1. Usuwanie liczby zespolonej z mianownika ułamka poprzez jej sprzężenie.
Sprzężenie zespolone z¯=a−bi,to jednoargumentowe działanie algebraiczne określone na liczbach zespolonych polegające na zmianie znaku części urojonej danej liczby zespolonej z=a+bi.
2. Potęgowanie liczb zespolonych wzorem de Moivre'a. Postać trygonometryczna liczby zespolonej jest szczególnie przydatna przy podnoszeniu do potęgi i obliczaniu pierwiastka z tej liczby. Gdy weźmiemy wzór na mnożenie liczb zespolonych w tej postaci  dla   z₁ = z₂ i rozszerzymy na dowolną ilość liczb zespolonych, to otrzymamy wzór na n-tą (n – liczba naturalna) potęgę liczby zespolonej zwany wzorem  Moivre’a. Dzięki temu wzorowi w bardzo prosty sposób możemy podnosić liczby zespolone do potęgi i to dowolnie dużej.
3. Pierwiastkowanie liczb zespolonych ze wzoru na pierwiastki stopnia n-tego.

21 przykładów z działań na liczbach zespolonych.
W przykładach wykorzystano także własność, że i²=-1.

Sprawdź także jak wyznaczyć potęgi o wykładniku naturalnym jednostki urojonej.

Post nr 468

Potęgi o wykładniku naturalnym jednostki urojonej

Potęgi o wykładniku naturalnym jednostki urojonej w liczbach zespolonych

 

W działaniach na liczbach zespolonych, gdy wykładnik w potędze jest dużą liczbą naturalną, to zawsze da się je uprościć.
Korzystając z podstawowych działań na potęgach otrzymujemy własności mnożenia potęg o tych samych podstawach lub tych samych wykładnikach czyli potęgowanie potęgi.
Wynika, że i podniesione do dowolnej potęgi zawsze daje jedną z czterech liczb: 1, i, -1, -i.

Na 16 poniższych przykładach można wyznaczyć regułę, jaka występuje w kolejnych potęgach jednostki urojonej. Wyniki tych potęg są cyklicznymi i powtarzającymi się liczbami 1, i, -1, -i.
Tą obserwację można sformułować w następującym twierdzeniu:

Twierdzenie Niech n będzie liczbą naturalną. Wówczas:

• i^n = i, jeżeli reszta z dzielenia liczby n przez 4 jest równa 1.
• i^n = -1, jeżeli reszta z dzielenia liczby n przez 4 jest równa 2.
• i^n = -i, jeżeli reszta z dzielenia liczby n przez 4 jest równa 3.
• i^n = 1, jeżeli reszta z dzielenia liczby n przez 4 jest równa 0. 

 

II sposób
Korzystamy z własności potęgowania potęgi:

Post nr 445