Tweety na temat @MinorMatematyka

Pomoce dla klasy

Szukaj na tym blogu lub wpisz post nr 1-535

Pola wielokątów - wzór Picka

Aplet 1 
Otwórz aplet 1 


Aplet 2 
Otwórz aplet 2

Punkt kratowy to miejsce przecięcia się linii kwadratowej siatki. 
Pole wielokąta, którego wierzchołki znajdują się w punktach kratowych kwadratowej siatki na płaszczyźnie, można obliczyć ze
wzoru Picka

gdzie 
P –  oznacza pole wielokąta, 
W – liczbę punktów kratowych leżących wewnątrz wielokąta, a 
B – liczbę punktów kratowych leżących na brzegu tego wielokąta.

Twierdzenie Picka:
Austriacki matematyk George Pick odkrył w 1889 roku prosty sposób, pozwalający wyznaczyć pole wielokąta, którego wierzchołki leżą na punktach kratowych. 
Okazuje się, że o tym decyduje liczba punktów kratowych znajdujących się na brzegu wielokąta i liczba punktów znajdująca się w jego wnętrzu. 
Zauważył on, że jeśli umieścić wielokąt na kratkowanej planszy w taki sposób, że jego wierzchołki leżą w punktach kratowych (czyli na przecięciu linii tworzących kratki), to jego pole jest zależne tylko od liczby punktów kratowych które leżą wewnątrz i na brzegu wielokąta. 
Powyższy wzór jest prawdziwy jedynie dla wielokątów prostych (złożonych z jednego kawałka i bez dziur).


Oblicz pole podanych wielokątów.
Na rysunku przedstawione są trzy wielokąty, których pola są równe. Punkty kratowe leżące na brzegach wielokątów zaznaczone są kolorem niebieskim, a we wnętrzu – pomarańczowym.



P = W + B/2 - 1              P = W + B/2 - 1                    P = W + B/2 - 1
W = 3                                W = 5                                      W = 4
B = 12                               B = 8                                       B = 10
P = 3 + 12/2 - 1             P = 5 + 8/2 - 1                      P = 4 + 10/2 - 1
P = 3 + 6 - 1                   P = 5 + 4 - 1                          P = 4 + 5 - 1
P = 8                               P = 8                                      P = 8
Teraz sprawdź klikając na powyższy rysunek  (lub tutaj etap 2 z 9) jak będzie zmieniało się pole wielokąta w zależności od ilości punktów kratowych leżących wewnątrz i na brzegu tego wielokąta. 
Obserwując zmianę wielkości pola wielokąta, zauważamy, że zwiększając liczbę punktów kratowych wewnętrznych o 1, zwiększamy pole o 1.
Dowód:
P = W + B/2 - 1                        P = (W + 1) + B/2 - 1 
P₂ - P₁ = W + 1 + B/2 - 1 - (W + B/2 - 1)
P₂ - P₁ = W + 1 + B/2 - 1 - W - B/2 + 1
P₂ - P₁ = W - W + B/2 B/2 + 1 - 1 + 1
P₂ - P₁ = 1
Natomiast gdy zwiększa się liczba punktów kratowych brzegowych o 1, to pole wielokąta zwiększy się o 1/2. 
Dowód:
P = W + B/2 - 1                        P = W  + (+1)/2 - 1 
P₂ - P₁ = W  + (+1)/2 - 1  - (W + B/2 - 1)
P₂ - P₁ = W  + B/2 +1/2 - 1  - W - B/2 + 1
P₂ - P₁ = W B/2 B/2 + 1/2 - 1 + 1
P₂ - P₁ = 1/2
Oznaczmy
W - liczbę punktów brzegowych,
B - liczbę punktów wewnętrznych wielokąta.
George Pick stwierdził, że pole wielokąta umieszczonego na sieci kwadratowej jest o 1 mniejsze od sumy punktów wewnętrznych i połowy punktów brzegowych.
Własność ta zwana jest wzorem Picka.

Zadanie 1
Wierzchołki wielokąta leżą na punktach kratowych. Oblicz pole tego wielokąta, przyjmując, że zaznaczone długości odcinków między kolejnym punktami są równe 1.
I Pole wielokąta - wzór Picka
Przykład 1, etap 1 z 4




Przykład 2, etap 2 z 4


Przykład 3, etap 3 z 4

Przykład 4, etap 4 z 4


                II Pole wielokąta - wzór Picka
Przykład 5, etap 1 z 4


Przykład 6, etap 2 z 4



Przykład 7, etap 3 z 4



Przykład 8, etap 4 z 4



Zadanie 2
Policz punkty kratowe znajdujące się wewnątrz wielokąta (W) oraz na jego brzegu (B). Wskaż na suwakach otrzymane liczby, a dowiesz się, jakie jest pole danego wielokąta. 
Kliknij na poniższy rysunek i oblicz pole kolejnych 4 wielokątów.
               III Pole wielokąta - wzór Picka

Przykład 1 z 4

Zadanie 3
W tym przykładzie możesz zmieniać położenie punktów z podwójną obwódką. Wierzchołki wielokąta muszą być uporządkowane w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. 
Policz punkty kratowe znajdujące się wewnątrz wielokąta (W) oraz na jego brzegu (B). Oblicz pole podanego wielokąta.
                IV Pole wielokąta - wzór Picka




Zadanie 4
W tym przykładzie połączono twierdzenie Pitagorasa ze wzorem Picka.
Za pomocą suwaka możesz zmieniać długość przyprostokątnych trójkąta prostokątnego. Zaznacz pokaż a, b i pole. Wtedy dowiesz się jak zmienia się pole i ilość punktów kratowych. Postępując zgodnie z Twierdzeniem Pitagorasa, sprawdź czy suma pól kwadratów zaznaczonych kolorem zielonym i czerwonym, jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej tego trójkąta. 
          Twierdzenie Pitagorasa i wzór Picka





Przygotuj własne figury na geoplanie i oblicz ich pola korzystając ze wzoru Picka






Post nr 511

Brak komentarzy:

Prześlij komentarz

WESPRZYJ BLOGA ZRZUTKĄ


Czytelniku, miło kiedy komentujesz posty. Chętnie zapoznam się z Twoim sposobem  rozwiązania zadania. Aby ten blog stanowił dla Czytelników pewną wartość, nie mogę pozwolić, żeby każdy mógł tu pisać co tylko chce. Korzystanie z bloga oznacza akceptację Regulaminu.
Regulamin bloga
1. Myśl zanim coś napiszesz – zanim zechcesz skrytykować moje sposoby rozwiązania zadań zastanów się jak możesz z tego skorzystać. Jeszcze raz – nie twierdzę, że wszystko co napiszę będzie dla Ciebie pomocne. Niemniej niektóre wskazówki po Twojej modyfikacji mogą dobrze Ci służyć. Myśl samodzielnie.
2. Publikuję wskazówki, które mogą pomóc Ci zrozumieć jak można rozwiązywać zadania matematyczne.
3. W ramach kopiowania zdjęć z bloga skorzystaj z przycisków udostępniania dostępnych w postach na blogu.
4. Wszystkie komentarze na blogu są moderowane przez autora bloga.
5. Korzystanie z bloga w całości jest nieodpłatne.