Aplet 1
Otwórz aplet 1
Pole wielokąta, którego wierzchołki znajdują się w punktach kratowych kwadratowej siatki na płaszczyźnie, można obliczyć ze
wzoru Picka
gdzie
P – oznacza pole wielokąta,
W – liczbę punktów kratowych leżących wewnątrz wielokąta, a
B – liczbę punktów kratowych leżących na brzegu tego wielokąta.
Twierdzenie Picka:
Austriacki matematyk George Pick odkrył w 1889 roku prosty sposób, pozwalający wyznaczyć pole wielokąta, którego wierzchołki leżą na punktach kratowych.
Okazuje się, że o tym decyduje liczba punktów kratowych znajdujących się na brzegu wielokąta i liczba punktów znajdująca się w jego wnętrzu.
Zauważył on, że jeśli umieścić wielokąt na kratkowanej planszy w taki sposób, że jego wierzchołki leżą w punktach kratowych (czyli na przecięciu linii tworzących kratki), to jego pole jest zależne tylko od liczby punktów kratowych które leżą wewnątrz i na brzegu wielokąta.
Powyższy wzór jest prawdziwy jedynie dla wielokątów prostych (złożonych z jednego kawałka i bez dziur).
Oblicz pole podanych wielokątów.
Na rysunku przedstawione są trzy wielokąty, których pola są równe. Punkty kratowe leżące na brzegach wielokątów zaznaczone są kolorem niebieskim, a we wnętrzu – pomarańczowym.
P₁ = W + B/2 - 1 P₂ = W + B/2 - 1 P₃ = W + B/2 - 1
W = 3 W = 5 W = 4
B = 12 B = 8 B = 10
P₁ = 3 + 12/2 - 1 P₂ = 5 + 8/2 - 1 P₃ = 4 + 10/2 - 1
P₁ = 3 + 6 - 1 P₂ = 5 + 4 - 1 P₃ = 4 + 5 - 1
P₁ = 8 P₂ = 8 P₃ = 8
Teraz sprawdź klikając na powyższy rysunek (lub tutaj etap 2 z 9) jak będzie zmieniało się pole wielokąta w zależności od ilości punktów kratowych leżących wewnątrz i na brzegu tego wielokąta.
Obserwując zmianę wielkości pola wielokąta, zauważamy, że zwiększając liczbę punktów kratowych wewnętrznych o 1, zwiększamy pole o 1.
Dowód:
P₁ = W + B/2 - 1 P₂ = (W + 1) + B/2 - 1
P₂ - P₁ = W + 1 + B/2 - 1 - (W + B/2 - 1)
P₂ - P₁ = W + 1 + B/2 - 1 - W - B/2 + 1
P₂ - P₁ = W - W + B/2 - B/2 + 1 - 1 + 1
P₂ - P₁ = 1
Natomiast gdy zwiększa się liczba punktów kratowych brzegowych o 1, to pole wielokąta zwiększy się o 1/2.
Dowód:
P₁ = W + B/2 - 1 P₂ = W + (B +1)/2 - 1
P₂ - P₁ = W + (B +1)/2 - 1 - (W + B/2 - 1)
P₂ - P₁ = W + B/2 +1/2 - 1 - W - B/2 + 1
P₂ - P₁ = W - W + B/2 - B/2 + 1/2 - 1 + 1
P₂ - P₁ = 1/2
Oznaczmy
W - liczbę punktów brzegowych,
B - liczbę punktów wewnętrznych wielokąta.
George Pick stwierdził, że pole wielokąta umieszczonego na sieci kwadratowej jest o 1 mniejsze od sumy punktów wewnętrznych i połowy punktów brzegowych.
Własność ta zwana jest wzorem Picka.
Zadanie 1
Wierzchołki wielokąta leżą na punktach kratowych. Oblicz pole tego wielokąta, przyjmując, że zaznaczone długości odcinków między kolejnym punktami są równe 1.
Przykład 2, etap 2 z 4
Przykład 3, etap 3 z 4
Przykład 4, etap 4 z 4
II Pole wielokąta - wzór Picka
Przykład 5, etap 1 z 4
Przykład 6, etap 2 z 4
Przykład 7, etap 3 z 4
Przykład 8, etap 4 z 4
Zadanie 2
Policz punkty kratowe znajdujące się wewnątrz wielokąta (W) oraz na jego brzegu (B). Wskaż na suwakach otrzymane liczby, a dowiesz się, jakie jest pole danego wielokąta.
Kliknij na poniższy rysunek i oblicz pole kolejnych 4 wielokątów.
III Pole wielokąta - wzór Picka
Przykład 1 z 4
Zadanie 3
W tym przykładzie możesz zmieniać położenie punktów z podwójną obwódką. Wierzchołki wielokąta muszą być uporządkowane w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
Policz punkty kratowe znajdujące się wewnątrz wielokąta (W) oraz na jego brzegu (B). Oblicz pole podanego wielokąta.
IV Pole wielokąta - wzór Picka
Zadanie 4
W tym przykładzie połączono twierdzenie Pitagorasa ze wzorem Picka.
Za pomocą suwaka możesz zmieniać długość przyprostokątnych trójkąta prostokątnego. Zaznacz pokaż a, b i pole. Wtedy dowiesz się jak zmienia się pole i ilość punktów kratowych. Postępując zgodnie z Twierdzeniem Pitagorasa, sprawdź czy suma pól kwadratów zaznaczonych kolorem zielonym i czerwonym, jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej tego trójkąta.
Twierdzenie Pitagorasa i wzór Picka
Post nr 511
Twierdzenie Picka:
Austriacki matematyk George Pick odkrył w 1889 roku prosty sposób, pozwalający wyznaczyć pole wielokąta, którego wierzchołki leżą na punktach kratowych.
Okazuje się, że o tym decyduje liczba punktów kratowych znajdujących się na brzegu wielokąta i liczba punktów znajdująca się w jego wnętrzu.
Zauważył on, że jeśli umieścić wielokąt na kratkowanej planszy w taki sposób, że jego wierzchołki leżą w punktach kratowych (czyli na przecięciu linii tworzących kratki), to jego pole jest zależne tylko od liczby punktów kratowych które leżą wewnątrz i na brzegu wielokąta.
Powyższy wzór jest prawdziwy jedynie dla wielokątów prostych (złożonych z jednego kawałka i bez dziur).
Oblicz pole podanych wielokątów.
Na rysunku przedstawione są trzy wielokąty, których pola są równe. Punkty kratowe leżące na brzegach wielokątów zaznaczone są kolorem niebieskim, a we wnętrzu – pomarańczowym.
P₁ = W + B/2 - 1 P₂ = W + B/2 - 1 P₃ = W + B/2 - 1
W = 3 W = 5 W = 4
B = 12 B = 8 B = 10
P₁ = 3 + 12/2 - 1 P₂ = 5 + 8/2 - 1 P₃ = 4 + 10/2 - 1
P₁ = 3 + 6 - 1 P₂ = 5 + 4 - 1 P₃ = 4 + 5 - 1
P₁ = 8 P₂ = 8 P₃ = 8
Teraz sprawdź klikając na powyższy rysunek (lub tutaj etap 2 z 9) jak będzie zmieniało się pole wielokąta w zależności od ilości punktów kratowych leżących wewnątrz i na brzegu tego wielokąta.
Obserwując zmianę wielkości pola wielokąta, zauważamy, że zwiększając liczbę punktów kratowych wewnętrznych o 1, zwiększamy pole o 1.
Dowód:
P₁ = W + B/2 - 1 P₂ = (W + 1) + B/2 - 1
P₂ - P₁ = W + 1 + B/2 - 1 - (W + B/2 - 1)
P₂ - P₁ = W + 1 + B/2 - 1 - W - B/2 + 1
P₂ - P₁ = W - W + B/2 - B/2 + 1 - 1 + 1
P₂ - P₁ = 1
Natomiast gdy zwiększa się liczba punktów kratowych brzegowych o 1, to pole wielokąta zwiększy się o 1/2.
Dowód:
P₁ = W + B/2 - 1 P₂ = W + (B +1)/2 - 1
P₂ - P₁ = W + (B +1)/2 - 1 - (W + B/2 - 1)
P₂ - P₁ = W + B/2 +1/2 - 1 - W - B/2 + 1
P₂ - P₁ = W - W + B/2 - B/2 + 1/2 - 1 + 1
P₂ - P₁ = 1/2
Oznaczmy
W - liczbę punktów brzegowych,
B - liczbę punktów wewnętrznych wielokąta.
George Pick stwierdził, że pole wielokąta umieszczonego na sieci kwadratowej jest o 1 mniejsze od sumy punktów wewnętrznych i połowy punktów brzegowych.
Własność ta zwana jest wzorem Picka.
Zadanie 1
Wierzchołki wielokąta leżą na punktach kratowych. Oblicz pole tego wielokąta, przyjmując, że zaznaczone długości odcinków między kolejnym punktami są równe 1.
I Pole wielokąta - wzór Picka
Przykład 1, etap 1 z 4Przykład 2, etap 2 z 4
Przykład 3, etap 3 z 4
Przykład 4, etap 4 z 4
II Pole wielokąta - wzór Picka
Przykład 5, etap 1 z 4
Przykład 6, etap 2 z 4
Przykład 7, etap 3 z 4
Przykład 8, etap 4 z 4
Zadanie 2
Policz punkty kratowe znajdujące się wewnątrz wielokąta (W) oraz na jego brzegu (B). Wskaż na suwakach otrzymane liczby, a dowiesz się, jakie jest pole danego wielokąta.
Kliknij na poniższy rysunek i oblicz pole kolejnych 4 wielokątów.
III Pole wielokąta - wzór Picka
Przykład 1 z 4
Zadanie 3
W tym przykładzie możesz zmieniać położenie punktów z podwójną obwódką. Wierzchołki wielokąta muszą być uporządkowane w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
Policz punkty kratowe znajdujące się wewnątrz wielokąta (W) oraz na jego brzegu (B). Oblicz pole podanego wielokąta.
IV Pole wielokąta - wzór Picka
Zadanie 4
W tym przykładzie połączono twierdzenie Pitagorasa ze wzorem Picka.
Za pomocą suwaka możesz zmieniać długość przyprostokątnych trójkąta prostokątnego. Zaznacz pokaż a, b i pole. Wtedy dowiesz się jak zmienia się pole i ilość punktów kratowych. Postępując zgodnie z Twierdzeniem Pitagorasa, sprawdź czy suma pól kwadratów zaznaczonych kolorem zielonym i czerwonym, jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej tego trójkąta.
Twierdzenie Pitagorasa i wzór Picka
Przygotuj własne figury na geoplanie i oblicz ich pola korzystając ze wzoru Picka
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz